M r F r ( F1 F2 ) r F1 r F2 r F1 只能引起轴的
F1
转动 平面
F
F2
r
变形, 对转动无贡献。 注：在定轴动问题中，如不加说 明，所指的力矩是指力在转动平面 内的分力对转轴的力矩。
t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度
构成的平面。
切向加速度 向心加速度
v v r 78.5m / s 的方向垂直于 和 v r
O a
an
v r
at r 3.14m / s
2
2 2
at
an r 6.16 10 m / s a an a，其中 a 的方向与v 边缘上该点的加速度 an的方向指向轴心， a 的大小为 的方向相反，
转动平面
z
vi
mi ri
参考轴
x
切向加速度
法向加速度
dvi a ri dt
v 2 an ri ri
2 i


a
an ri
v a


角速度
例4-1 一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀地减 速，经t=50s后静止。（1）求角加速度α和飞轮从制动 开始到静止所转过的转数N；（2）求制动开始后t=25s 时飞轮的角速度 ；（3）设飞轮的半径r =1m，求在t 0 =25s 时边缘上一点的速度和加速度。 解：（1）设初角度为0方向如图所示，
j f ji
Mij M ji fd
4）在转轴方向确定后，力对转轴的力矩方向可用+、号表示。
2. 刚体定轴转动的角动量 刚体上质元 mi 相对于转轴
的角动量为
Li
O
z
ri
vi
mi
Li mi ri vi mi ri ri 是质元 mi到转轴的距离。
0=21500/60=50 rad/s
已知t=50S 时刻 =0 ， 代入方程 =0+αt 得
O

0
t
50 rad / s 2 3.14 rad / s 2 50
角速度
从开始制动到静止，飞轮的角位移
1 2 0 0t at 1250 rad 2 转数N 为 N 625转 2
2
x
2πh r dr 0 1 1 4 2 πhR mR 2 2
R 3
4. 刚体定轴转动的应用
讨论：
d M J J dt
α 转动惯量是转动惯性大小的量度； （1） M 一定，J （2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的力矩为 正； （3）J 和质量分布有关；J 和转轴有关，同一个物体 对不同转轴的转动惯量不同。 （4）分析问题，选定转轴正方向；对于质点-刚体组成的 系统，质点运动正方向选择要与刚体转动正方向自洽。 （5）对质点运用牛顿定律，对刚体运用转动定律。 （6）列出关联方程，一般在质点加速度与刚体角加速度 之间寻找。
一个质点的运动，都可代表整个刚体的运动。
平动和转动
刚体的平动过程
c
a b
平动和转动
刚体的平动过程
c
a b
平动和转动
刚体的平动过程
c
a b b
平动和转动
刚体的平动过程
c
a b
平动和转动
刚体的平动过程
c
a b
平动和转动
刚体的平动过程
c
a
b
平动和转动
刚体的平动过程
c
a b
平动和转动
刚体的平动过程
由此可见飞轮作的是变加速转动。
§4-2 刚体定轴转动定律 1.力矩 力不在转动平面内
F 对O 点的力矩：M r F
Z
M
转 动 平 面
M rF sin F
M
MZ

r
A
M 沿Z 轴分量为 F 对Z 轴力矩 M Z
F
O r
力矩
力不在转动平面内
3
12
O l/2 x dx l/2
l m 1 2 J ml 12
转动惯量的计算
（ 2 ）当转轴通过棒的一端 A 并和 棒垂直时
A
x l
J A x dx
2 0
l
dx
ml 3 3
l / 2 h
l
3
2
h
A
B
（ 3 ）当转轴通过棒上距中心为 h 的B点并和棒垂直时
2
O x l
（2）求制动开始后t=25s 时飞轮的角速度 ；
0
O
0 t 50 25rad / s 25rad / s 78.5rad / s
的方向与0相同 ；
角速度
v r
0
（3）设飞轮的半径r=1m，求在t=25s 时边缘上一点 的速度和加速度。
a
定轴转动定律
1 m2 m1 m 2 而 1 m1 2m 2 m g M f / r 2 T1 m1 g a 1 m 2 m1 m 2 1 m 2 2m1 m g＋M f / r 2 T2 m1 g－a 1 m 2 m1 m 2
§4-2刚体的定轴转动定律
力矩
刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F
作用在刚体上点 P , 且在转动 平面内, r 为由点O 到力的 作用点 P 的径矢 . Z 的力矩 F 对转轴
M
M
O
z
M Fr sin Fd
M r F
r
F
*
d
P

d
: 力臂
1）若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂 直于转轴方向的两个分量 z F F F z F 其中 Fz 对转轴的力 F k z
刚体质量体分布
§4- 1 刚体的运动学 2. 平动和转动
刚体最基本的运动形式是平动和转动。 如果刚体在运动中，连接刚体上任意两点的直线 在各时刻始终保持彼此平行，这种运动叫平动。 刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体中所
质点的位移都是相同的。而且在任何时刻，各个质
点的速度和加速度也都是相同的。所以刚体内任何
c
a b
平动和转动刚体的平动过程cFra biblioteka b
平动和转动
如果刚体上所有质元都绕同一直线作圆周运动， 则称为刚体的转动，这一直线就叫做转轴。
刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的 定轴转动： 圆周运动，且在相同时间内转过相同的角度。
刚体的一般运动
平动
+
绕某心的转动
定轴转动
3. 刚体的定轴转动
z
A
特点： 质点在垂直转轴的平面内做圆周运动； 角位移，角速度和角加速度均相同。
3
角速度
a 的大小为
a a a (6.16 10 ) 3.14 m / s
2 t 2 n 3 2 2
2
6.16 10 m / s
3
2
a
的方向几乎和
相同。 an
角速度
例4-2 一飞轮在时间t内转过角度＝at+bt3-ct4 , 式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。
A
l/2 O x dx l/2 h A x l dx B O x l dx
A
转动惯量的计算
解 （1）在棒上离轴 x 处，取一长度元 dx，如棒的质 量线密度为，这长度元的质量为dm=dx。 当转轴通过中心并和棒垂直时
J o r dm
2
l / 2
l / 2
x dx
2
A
l
物体的加速度。滑轮边缘上的切向 从以上各式即可解得 加速度和物体的加速度相等，即
T1 T1 m1
T2 T2
a
m2 m gr M f / r m 2 m1 g M f / r a1
J m 2 m1 2 r 1 m 2 m1 m 2
G1
a m2 G2
第四章. 刚体力学
§4- 1 刚体的运动学
1. 刚体
刚体是一种特殊的质点系统，无论它在多大外力 作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。 * 刚体研究方法： 质量连续分布的质点系统，采用微 积分方法，刚体分割为无数质量为 dm 的质点系。 * 刚体微元质量
dm V dV dV 刚体质量面分布 dm s dS dS 刚体质量线分布 dm l dl dl
dx
ml 2 J B l / 2 h x dx mh 12
2
这个例题表明，同一刚体对不同位置的转轴， 转动惯量并不相同。
[例]求均质圆盘(m,R)过圆心且与板面垂直的转轴的转 z 动惯量 . dr [解] 盘由许多环组成 y r 2
dI r dm
2
I r dm r 2 πr h dr
刚体对转轴的角动量
dt
dt
dt
刚体绕某一定轴转动，它受的合外力矩等于刚体 的转动惯量与角加速度的乘积。 注意 3. 转动惯量J 转动惯量的 2 2 J mi ri r dm 大小取决于刚体的 质量、形状及转轴 r 是质元 dm 到转轴的距离。 的位置 .


例4-3 求质量为m、长为 l 的均匀细棒对下面三种转 轴的转动惯量：（1）转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2）转轴通过棒的一端并和棒垂直;（3）转轴通过 棒上距中心为h的一点并和棒垂直。
A r1 o1
B
B r2 o2