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2.平衡方程
设圆板承受轴对称横向分布载荷 q(r )。通常薄板弯曲的
平衡方程以内力表示，因此可沿坐标(r，θ)截取中面上的微
小面积作为微元体，其受力如图2-26所示。图中弯矩以双箭
头表示，方向遵循右手螺旋法则。
M q Qr
d
Mr r
0 z
dr M
Mr dMr Qr dQr
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§3.1 基本概念与假设
变形特点：双向弯曲，变形后中面常被弯成不可展曲面，存
在翘曲，且其周长也有所改变。因此，一般板中的内力除弯 矩、扭矩和剪力外还有薄膜力(沿中面的拉压力)。
挠度：中面各点沿中面法线方向的位移，常用w表示。
当中面的wmax远小于板厚 t 时，通常称为板的小挠度问 题，此时板内的薄膜力很小，可略去不计，认为中面无伸缩； 当wmax与 t 为同一量级时，则为板的大挠度问题，此时板内 的薄膜力较大，因而不能忽略。
c
r
M d 2
0
图2-26 圆板的微体受力
M
M r
c 0：
dMr r
drd
M r rd
2M
dr
d
2
Qr
r
dr 2
ddr
0
Mrdrd dMrrd Mdrd Qrrdrd 0
r dM r dr
Mr
M
Qrr 或
drMLeabharlann drrMQrr
(2-56)
式(2-55、56)即为圆板轴对称弯曲问题的平衡方程，含
t
(a)受纵向载荷的板
(b)受横向载荷的板
第一种载荷情况为弹性力学平面应力问题，第二种载荷 情况为板的弯曲问题，本节将讨论第二种情况。当两种外载 同时作用时，可通过叠加求解。
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§3.1 基本概念与假设 §3.2 圆板轴对称弯曲基本方程 §3.3 圆板与环板的计算 §3.4 带有平盖圆筒的边缘分析 §3.5 平盖的工程设计
②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同
一法线上，且法线上各点间的距离不变。
类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍 保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。
③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应 力较小，可忽略不计。
本章主要讨论圆形薄板(简称圆板)在轴对称横向载荷作
图2-26 圆板的微体受力
Fz 0： Qr dQr r drd Qrrd qrddr 0
Qr
r dQr dr
qr 或
dQrr qr
dr
(2-55)
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cM q Qr
d
Mr r
Mr dMr
dr
M
c
Qr dQr
0 z
Mr dMr
d 2
c M
M r d
t 2
t2
t 2
(e)
Qr rzdz
M
t 2
以上各内力的正向如图2-28(b)所示， 且它们都只是r的函数，而与z无关。
Mr Qr
另外，由于弯曲应力不引起厚度的
Qr d
Mr
rz
M dr
(b)
改变，因而中面同一法线上各点的挠度 相等，位移 w也就是中面的挠度。
图2-28 各应力沿 板厚的分布与合成
基本假设：对于小挠度薄板，除假设材料是均匀连续和各向
同性的外，还采用了以下与梁弯曲理论类似的假设
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弹性薄板的小挠度理论建立基本假设---克希霍夫Kirchhoff ① 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切
变形，只有沿中面法线 w 的挠度 。 只有横向力载荷
且其它位移、应变和应力分量均与 无关，因而不存在扭矩。
根据中性面假设：uz0 0， r z0 z0 0 ；
直法线假设表明 rz很小，相应的变形可不计，即： rz 0 ；
互不挤压假设认为： z 0 。
因此，圆板在轴对称小挠度弯曲情况下，只有三个应力
分量 r , , rz。 r , 为弯曲应力，沿板厚线性分布， rz 与
现考察距离中面为z的微小线段AB。 w
ab
AB
a1
b1 z B1
r
－dw
变形前AB=ab=dr；变形后ab→a1b1， A1
AB→A1B1，且位于变形后的法线上。 z r z
直法线假设
又根据中性面假设，a1b1=ab=AB，则A点处的两向应变为
r
A1B1 AB z d (a)
AB
dr
2πr z 2πr
用下的小挠度弯曲问题。
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§3.2 圆板轴对称弯曲基本方程
对于圆板，常取柱坐标 r,, z ，原点位于中面圆心。
1.圆板的变形与内力
在轴对称载荷作用下，圆板中的
0
t2 t 2x
变形和内力也一定轴对称。因此
r
z
v 0， r z 0， r z 0 图2-25 圆形薄板
2πr
z
r
(b)
将(c)代入得
r
z
d2w dr 2
，
z r
dw dr
(2-57)
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梁中的剪应力一样为抛物线分布，如下图所示。
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于是，可将各应力分量沿板厚合成
为相应的内力。 r , 可分别合成为弯
矩 M r , M ， rz可合成为横向剪力Qr，
它们之间的关系为
t2
t2
rz
M r r zdz，M zdz
r
d
t2 r z
t2
dr
(a)
一般在工程要求的精度范围内，当 wmax t 1 5 时，按
小挠度问题计；当1 5 wmax t 5时，按大挠度问题考虑。
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薄板与厚板：一般认为当板厚t小于其它最小尺寸的1/5时，
属于薄板；否则为厚板。对于薄板，在作出一些假设后，其 分析可以简化且能给出满意的结果。至于厚板，则须按三维 问题来分析，其求解过程较为复杂。
有 M r , M ,Qr 3个未知量，须考虑圆板弯曲后的变形关系。
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3.几何方程
图2-27 圆板的变形
圆板在轴对称载荷作用下，中面
将弯曲成以0z为轴的旋转面，如图所 示。设中面上任意一点a 变形后的挠
d
r dr
z
+d
度为w，转角为 。由图可知
tan dw dr (c) 0 z
引子
工程应用 平封头： 常压容器、高压容器； 贮槽底板： 可以是各种形状； 换热器管板：薄管板、厚管板； 板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板； 反应器触媒床支承板等。
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什么是板？？
板：厚度远小于其它两个方向尺寸(圆板为其直径)且中面
为平面的物体。
板类结构是工程中最常见的部件之一，通常承受两种不 同作用方式的外载，如图所示。