课时跟踪检测（二十八）不等式选讲1．(·广州模拟)已知定义在R 上的函数f (x )＝|x －m |＋|x |，m ∈N *，存在实数x 使f (x )<2成立．(1)求实数m 的值；(2)若α≥1，β≥1，f (α)＋f (β)＝4，求证：4α＋1β≥3.解：(1)因为|x －m |＋|x |≥|(x －m )－x |＝|m |. 所以要使不等式|x －m |＋|x |<2有解，则|m |<2， 解得－2<m <2.因为m ∈N *，所以m ＝1. (2)证明：因为α≥1，β≥1，所以f (α)＋f (β)＝2α－1＋2β－1＝4， 即α＋β＝3，所以4α＋1β＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋1β(α＋β)＝13⎝⎛⎭⎪⎫5＋4βα＋αβ≥13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋24βα·αβ＝3.当且仅当4βα＝αβ，即α＝2，β＝1时等号成立，故4α＋1β≥3.2．(·唐山模拟)设f (x )＝|x |＋2|x －a |(a >0)． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤4； (2)若f (x )≥4，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x |＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3x ，x <0，2－x ，0≤x ≤1，3x －2，x >1.当x <0时，由2－3x ≤4，得－23≤x <0；当0≤x ≤1时，由2－x ≤4，得0≤x ≤1； 当x >1时，由3x －2≤4，得1<x ≤2.综上，不等式f (x )≤4的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，2. (2)f (x )＝|x |＋2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －3x ，x <0，2a －x ，0≤x ≤a ，3x －2a ，x >a .可见，f (x )在(－∞，a ]上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． 当x ＝a 时，f (x )取得最小值a . 若f (x )≥4恒成立，则应a ≥4. 所以a 的取值范围为[4，＋∞)．3．(·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.4．(·开封模拟)已知函数f (x )＝|x －m |，m <0. (1)当m ＝－1时，求解不等式f (x )＋f (－x )≥2－x ； (2)若不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空，求m 的取值范围． 解：(1)设F (x )＝f (x )＋f (－x )＝|x －1|＋|x ＋1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x <1，G x ＝2－x ，2x ，x ≥1，由F (x )≥G (x )解得{x |x ≤－2或x ≥0}． (2)f (x )＋f (2x )＝|x －m |＋|2x －m |，m <0. 设g (x )＝f (x )＋f (2x )，当x ≤m 时，g (x )＝m －x ＋m －2x ＝2m －3x ，则g (x )≥－m ； 当m <x <m2时，g (x )＝x －m ＋m －2x ＝－x ，则－m2<g (x )<－m ；当x ≥m2时，g (x )＝x －m ＋2x －m ＝3x －2m ，则g (x )≥－m2.则g (x )的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－m2，＋∞，不等式f (x )＋f (2x )<1的解集非空， 即1>－m2，解得m >－2，由于m <0，则m 的取值范围是(－2,0)．5．(·昆明模拟)设函数f (x )＝|x －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2a (a ≠0，a ∈R)．(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤5；(2)记f (x )的最小值为g (a )，求g (a )的最小值． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|， 故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x >1，3，－2≤x ≤1，－2x －1，x <－2.①当x >1时，由2x ＋1≤5，得x ≤2，故1<x ≤2； ②当－2≤x ≤1时，由3≤5，得x ∈R ，故－2≤x ≤1； ③当x <－2时，由－2x －1≤5，得x ≥－3，故－3≤x <－2. 综上，不等式的解集为[－3,2]． (2)f (x )＝|x－a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋2a ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a －⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x －a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2a ≤0时等号成立，所以g (a )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋2a ＝|a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a ≥2|a |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a＝22，当且仅当|a |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a， 即a ＝±2时等号成立， 所以g (a )min ＝2 2.6．(·陕西模拟)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|. (1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，证明：t 2＋1≥3t＋3t .解：(1)依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12，于是f (x )≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3，解得－1≤x ≤1.故不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)证明：g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|＝3， 当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时取等号， ∴M ＝[3，＋∞)．t 2＋1≥3t ＋3t 等价于t 2－3t ＋1－3t≥0，t 2－3t ＋1－3t ＝t 3－3t 2＋t －3t＝t －3t 2＋1t.∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1>0， ∴t －3t 2＋1t ≥0，∴t 2＋1≥3t＋3t .7．(·福州模拟)设函数f (x )＝|x －1|. (1)求不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集；(2)已知关于x 的不等式f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |的解集为M ，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆M ，求实数a的取值范围．解：(1)因为f (x )≤3－f (x －1)， 所以|x －1|≤3－|x －2|， 即|x －1|＋|x －2|≤3，则⎩⎪⎨⎪⎧x <1，3－2x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤2，1≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －3≤3，解得0≤x <1或1≤x ≤2或2<x ≤3， 所以0≤x ≤3，故不等式f (x )≤3－f (x －1)的解集为[0,3]．(2) 因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32⊆M ，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |恒成立，而f (x )≤f (x ＋1)－|x －a |⇔|x －1|－|x |＋|x －a |≤0⇔|x －a |≤|x |－|x －1|，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32，所以|x －a |≤1， 即x －1≤a ≤x ＋1，由题意，知x －1≤a ≤x ＋1对于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32恒成立， 所以12≤a ≤2，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 8．(·郑州模拟)已知f (x )＝|2x －1|＋|ax －5|(0<a <5)． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥9的解集； (2)若函数y ＝f (x )的最小值为4，求实数a 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧6－3x ，x <12，x ＋4，12≤x <5，3x －6，x ≥5，∴f (x )≥9⇔⎩⎪⎨⎪⎧x <12，6－3x ≥9或⎩⎪⎨⎪⎧12≤x <5，x ＋4≥9或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥5，3x －6≥9.解得x ≤－1或x ≥5，即所求不等式的解集为(－∞，－1]∪[5，＋∞)．(2)∵0<a <5，∴5a>1，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2x ＋6，x <12，2－a x ＋4，12≤x ≤5a，a ＋2x －6，x >5a.∵当x <12时，f (x )单调递减，当x >5a时，f (x )单调递增，∴f (x )的最小值在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上取得，∵在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5a 上，当0<a ≤2时，f (x )单调递增，当2<a ≤5时，f (x )单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a ≤2，f x min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝4或⎩⎪⎨⎪⎧2<a ≤5，f x min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5a ＝4.解得a ＝2.。