第1题．已知A B C ，，三点的坐标分别是(30)(03)(cos sin )A B C αα，，，，，，其中π3π22α<<． （1）若AC BC =u u u r u u u r，求α的值；（2）若1AC BC =-u u u r u u u r ·，求22sin sin 21tan ααα++的值． 解：（1）有(30)(03)(cos sin )αα，，，，，A B C ． (cos 3sin )AC αα=-u u u r ，，(cos sin 3)BC αα=-u u u r ，．AC BC =u u u r u u u rQ ，2222(cos 3)sin cos (sin 3)αααα∴-+=+-，cos sin αα∴=，tan 1α∴=． π3π22α<<Q ，5π4α∴=． （2）由（1）知(cos 3sin )(cos sin 3)ACBC αααα=--u u u r u u u r，，· (cos 3)cos sin (sin 3)αααα=-+-·· 22cos 3cos sin 3sin αααα=-+-13(cos sin )αα-+， 1AC BC =-u u u r u u u r Q ·，13(cos sin )1αα∴-+=-，2cos sin 3αα∴+=．平方，得52sin cos 9αα=-，222sin sin 22sin 2sin cos 2sin (sin cos )52sin cos sin cos sin 1tan 91cos cos αααααααααααααααα+++∴====-+++．第2题．向量12，e e 是夹角为60o 的两个单位向量，求向量122a e e =+与1232b e e =-+的夹角．解：1212(2)(32)=+-+··a b e e e e 221121226432e e e e e e =-+-+··1274cos602e e =-+=-o ，122a e e =+==1232b e e =-+==．夹角θ满足71cos 2a b a b θ-===-·． ∴向量a 与b 的夹角为120o ．第3题．我们知道，函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、奇偶性等，请你选择适当的顺序探究函数()f x 的性质，并在此基础上，作出函数()f x 在[ππ]-，上的图象． 解：①1sin 01sin 0x x -⎧⎨+⎩Q ，，≤≥()f x ∴的定义域为R ；②()1sin()1sin()f x x x -=--++-Q 1sin 1sin ()x x f x =++-=， ()f x ∴为偶函数．③(π)()f x f x +=Q ，()f x ∴是周期为π的周期函数；④22()sin cos sin cos sin cos sin cos 22222222x x x x x x x x f x ⎛⎫⎛⎫=-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，∴当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()2cos 2x f x =；当ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()2sin 2x f x =．∴当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 单调递减，当ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 单调递增．又()f x Q 是周期为π的偶函数，()f x ∴在πππ()2k k k ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦Z ，上单调递减．⑤Q 当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()2cos [22]2x f x =∈，；当ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()2sin [22]2x f x =∈，，()f x ∴的值域为[22]，； 由以上性质可得()f x 在[ππ]-，上的图象如图所示．第4题．已知π3cos 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π3π22α<≤，则cos α= ．yx2O π-π2- π2π答案：第5题．给出下列命题：①存在实数x ，使πsin cos 3+=x x ；②若αβ，是锐角ABC △的内角，则πsin cos 2αβ>；③函数27πsin 32y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数；④函数sin 2y x =的图象向右平移π4个单位长度，得到πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．其中正确命题的序号是 ．答案：①②③第6题．tan 29tan3129tan31+=o o oo ·．第7题．函数cos 1sin 2x y x -=+的值域是 ．答案：403⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，第8题．要由函数1πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象得到函数sin y x =的图象，下列变换正确的是（ ）Ａ．向左平移π6个单位长度，再将各点横坐标变为2倍 Ｂ．向左平移π6个单位长度，再将各点横坐标变为12 Ｃ．向右平移π3个单位长度，再将各点横坐标变为2倍 Ｄ．向右平移π3个单位长度，再将各点横坐标变为12答案：Ｄ第9题．已知函数()(sin cos )f x a x x b =++，若0a <，且[0π]x ∈，时，()f x 的值域是[34]，，则a b ，的值分别是（ ）Ａ．1-+ Ｂ．1Ｃ．1-+Ｄ．1答案：Ｂ第10题．定义在R 上的函数()f x ，既是偶函数又是周期函数，若()f x 的最小正周期是π，且当π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()sin f x x =，则5π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（ ） Ａ．12-Ｂ．3 Ｃ．3-Ｄ．12答案：Ｂ第11题．设2132tan131cos50cos6sin 621tan 132-=-==-o o o oo ，，a b c ，则有（ ）Ａ．a b c >> Ｂ．a b c << Ｃ．b c a << Ｄ．a c b <<答案：Ｄ第12题．在平面上，已知点(21)(02)(21)(00)A B C O -，，，，，，，，给出下面的结论：①AB CA BC -=u u u r u u u r u u u r ；②OA OC OB +=u u u r u u u r u u u r ；③2AC OB OA =-u u u r u u u r u u u r．其中正确结论的个数是（ ）Ａ．1个 Ｂ．2个 Ｃ．3个 Ｄ．0个 答案：Ｂ第13题．2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图1所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1，小正方形的面积是125，则22sin cos θθ-的值等于（ ）Ａ．1 Ｂ．2425-Ｃ．725Ｄ．725-答案：Ｄ第14题．已知向量a (cos75sin 75)=o o ，，b (cos15sin15)=o o ，，则-a b 的值为（ ） Ａ．12 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．1答案：Ｄ 第15题．若α为三角形的内角，且1sin cos 5αα+=-，则tan2α等于（ ）Ａ．247 Ｂ．247-Ｃ．247±Ｄ．724答案：Ｂ 第16题．已知(32)(51)M N ---，，，，且12MP MN =u u u r u u u u r，则P 点坐标为（ ）Ａ．(81)-， Ｂ．312⎛⎫-- ⎪⎝⎭， Ｃ．312⎛⎫ ⎪⎝⎭， Ｄ．(81)-， 答案：Ｂ第17题．已知1=a ，2b =，a 与b 的夹角为60o ，3c a b =+，λ=-d a b ，若c d ⊥，则实数λ的值为（ ）Ａ．72 Ｂ．72-Ｃ．74Ｄ．74-答案：Ｃ 第18题．若π3cos 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，17π7π124x <<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值． 解：原式22sin cos 2sin 1tan πsin 2sin 2tan 1tan 1tan 4x x x x x x x x x ++⎛⎫===+ ⎪--⎝⎭··，17π7π124x <<Q，5ππ2π34x ∴<+<． 又π3cos 45x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π4sin 45x ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，π4tan 43x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 212cos 2425x x x ⎛⎫⎛⎫=-+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故原式742825375⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭．第19题．某船以6km/h 的速度向东航行，船上有人测得风自北方来；若船速加倍，则测得风自东北来，求风速大小．解：分别取正东、正北方向为x 轴，y 轴，建立直角坐标系，令x 轴，y 轴正方向上的单位向量分别为，i j ，并设表示风速的向量为x i +y j ，起初船速为6i ，船上的人测得的风速为-p j (0)p >，则x i +y j 6-i =-p j ，可解得6=x ． 后来船上的人测得风速为-q ()+i j (0)>q ， ∴x i +y j 12-i q =-()+i j ， 于是126x y q -==-=-， ∴表示风速的向量为66-i j ，风速大小为66i j -=即所求风速为．第20题．已知213()cos24sin cos 22222θθθθ=--+++f a a a ，若()f θ的最小值为()g a ．（1）求()g a 的表达式；（2）当()2g a =时，求a 的值． 解：（1）21cos2()2sin 212f a a a θθθ-=-+++ 222sin 2sin 21(sin )21a a a a a θθθ=-+++=-++，若11a -≤≤，则当sin a θ=时，()21g a a =+； 若1a >，则当sin 1θ=时，2()2g a a =+； 若1a <-，则当sin 1θ=-时，2()42g a a a =++， 22421()21112 1.a a a g a a a a a ⎧++<-⎪∴=+-⎨⎪+>⎩，，， ，，≤≤ （2）当1a <-时，令2422a a ++=，得4a =-或0a =（舍去）．当11a -≤≤时，令212a +=，得12a =；当1a >时，令222a +=，得0a =（舍去）．综上所述，当()2g a =时，4a =-或12a =．第21题．已知函数()sin =·f x x x ，则π4f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1)f 及π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系为（ ） Ａ．ππ(1)43f f f ⎛⎫⎛⎫->>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ Ｂ．ππ(1)34f f f ⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Ｃ．ππ(1)34f f f⎛⎫⎛⎫>>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Ｄ．ππ(1)34f f f ⎛⎫⎛⎫>-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答案：Ｃ第22题．ABC △中D 为BC 边的中点，已知AB =u u u r a ，AC =u u u r b ，则在下列向量中与u u u r AD 同向的向量是（ ）Ａ．++a b a b Ｂ．a b a b -Ｃ．a b a b+ Ｄ．b a a b +答案：Ａ。