第八章 Lyapunov稳定性分析
8.3.2 Lyapunov第二法 由力学经典理论可知，对于一个振动系统，当系统总能量 （正定函数）连续减小（这意味着总能量对时间的导数为 负定），直到平衡状态时为止，则此振动系统是稳定的。 Lyapunov第二法是建立在更为普遍意义的基础上的，即如 果系统有一个渐近稳定的平衡状态，则当其运动到平衡状 态的吸引域内时，系统存储的能量随着时间的增长而衰减， 直到在平稳状态达到极小值为止。然而对于一些纯数学系 统，毕竟还没有一个定义“能量函数”的简便方法。为了克 服这个困难，Lyapunov定义了一个虚构的能量函数，称为 Lyapunov函数。当然，这个函数无疑比能量更为一般，且 其应用也更广泛。实际上，任一纯量函数只要满足 Lyapunov稳定性定理的假设条件，都可作为Lyapunov函数 （其构造可能十分困难）。
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线性系统稳定性概念与Lyapunov意义下的稳定性概念
经典控制理论 ( 不稳定 线性系统) (Re(s)>0) Lyapunov 意 义 不稳定 下
临界情况 (Re(s)=0) 稳定
稳定 (Re(s)<0) 渐近稳定
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8.3 Lyapunov稳定性理论 1892年，A.M.Lyapunov提出了两种方法（称为第一法和第 二法），用于确定由常微分方程描述的动力学系统的稳定 性。 第一法包括了利用微分方程显式解进行系统分析的所有步 骤，也称为间接法。 第二法不需求出微分方程的解，也就是说，采用Lyapunov 第二法，可以在不求出状态方程解的条件下，确定系统的 稳定性。由于求解非线性系统和线性时变系统的状态方程 通常十分困难，因此这种方法显示出极大的优越性。第二 法也称为直接法
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8.2.2 Lyapunov意义下的稳定性定义 下面首先给出Lyapunov意义下的稳定性定义，然后回顾某 些必要的数学基础，以便在下一小节具体给出Lyapunov稳 定性定理。
（a）稳定平衡状态及一条典型轨迹;（b）渐近稳定平衡状态 及一条典型轨迹;（c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹
第八章 Lyapunov稳定性分析
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常数V圆和典型轨迹 定理 是Lyapunov第二法的基本定理，下面对这一重要定理作 如下几点说明。 (1) 这里仅给出了充分条件，也就是说，如果我们构造出了 Lyapunov函数 ，那么系统是渐近稳定的。但如果我们找不 到这样的Lyapunov函数，我们并不能给出任何结论，例如 我们不能据此说该系统是不稳定的。 (2) 对于渐近稳定的平衡状态，则Lyapunov函数必存在。
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目录 8.1概述 8.2 Lyapunov意义下的稳定性问题 8.3 Lyapunov稳定性理论 8.4 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析
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8.1概述 线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性 系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能 非常困难，甚至不可能。Lyapunov稳定性分析是解决非线 性系统稳定性问题的一般方法。 8.2 Lyapunov意义下的稳定性问题 对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。 如果系统是线性定常的，那么有许多稳定性判据，如 Routh-Hurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可资利用。 然而，如果系统是非线性的，或是线性时变的，则上述稳 定性判据就将不再适用。
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本节所要介绍的Lyapunov第二法（也称Lyapunov直接法）是 确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法。当然， 这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。此外， 它还可应用于线性二次型最优控制等许多问题。 8.2.1 平衡状态、给定运动与扰动方程之原点 任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定 (x f , t ) 都可通过坐标变换，统一化为扰动方程 x (t ) 运动 x (0, t ) 0 或 x e 0 。在本章中，除非特别申 之坐标原点，即 f 明，我们将仅讨论扰动方程关于原点处之平衡状态的稳定 性问题。这种所谓“原点稳定性问题”，由于使问题得到极 大简化，又不会丧失一般性，从而为稳定性理论的建立奠 定了坚实的基础，这是Lyapunov的一个重要贡献。
f1 f1 x2 xn f2 f2 x2 xn

fn x2
fn xn nn
为Jacobian矩阵
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Lyapunov证明了三个定理，给出了明确的结论。这些定理为 线性化方法奠定了理论基础，从而具有重要的理论与实际 意义。 定理3.1 (Lyapunov) 如果线性化系统的系统矩阵 的所有特征 值都具有负实部，则原非线性系统的平衡状态 总是渐近稳 定的，而且系统的稳定性与高阶导数项无关。 定理3.2 (Lyapunov) 如果线性化系统的系统矩阵 的特征值中， 至少有一个具有正实部，则不论高阶导数项的情况如何， 原非线性系统的平衡状态 总是不稳定的。 定理3.3 (Lyapunov) 如果线性化系统的系统矩阵 实部为零的 特征值，而其余特征值实部均为负，则在此临界情况下， 原非线性系统平衡状态 的稳定性决定于高阶导数项，即可 能不稳定，也可能稳定。此时不能再用线性化方程来表征 原非线性系统的稳定性了。
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8.3.1 Lyapunov第一法 基本思路是：首先将非线性系统线性化，然后计算线性化 方程的特征值，最后根据线性化方程的特征值判定原非线 性系统的稳定性。 设非线性系统的状态方程为
f ( x, t ) x
其中
f1 x 1 f2 f ( x, t ) A x1 T x fn x1
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8.4 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析 考虑如下线性定常自治系统 x=Ax n nn x R , A R 式中 。假设 A为非奇异矩阵，则有唯一的平衡 状态xd=0 ，其平衡状态的稳定性很容易通Lyapunov第二法 进行研究。
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第八章 Lyapunov稳定性分析
(3) 对于非线性系统，通过构造某个具体的Lyapunov函数，可 以证明系统在某个稳定域内是渐近稳定的，但这并不意味 着稳定域外的运动是不稳定的。对于线性系统，如果存在 渐近稳定的平衡状态，则它必定是大范围渐近稳定的。 (4) 我们这里给出的稳定性定理，既适合于线性系统、非线性 系统，也适合于定常系统、时变系统，具有极其一般的普 遍意义。 8.3.3 线性系统的稳定性与非线性系统的稳定性比较 在线性定常系统中，若平衡状态是局部渐近稳定的，则它 是大范围渐近稳定的。然而在非线性系统中，不是大范围 渐近稳定的平衡状态可能是局部渐近稳定的。因此，线性 定常系统平衡状态的渐近稳定性的含义和非线性系统的含 义完全不同。
第八章 L给出了明确的结论。应该指出， 这些定理为线性化方法奠定了理论基础，从而具有重要的 理论与实际意义。 定理8.1 (Lyapunov) 如果线性化系统的系统矩阵 的所有特征 值都具有负实部，则原非线性系统的平衡状态 总是渐近稳 定的，而且系统的稳定性与高阶导数项无关。 定理8.2 (Lyapunov) 如果线性化系统的系统矩阵 的特征值中， 至少有一个具有正实部，则不论高阶导数项的情况如何， 原非线性系统的平衡状态 总是不稳定的。 定理8.3 (Lyapunov) 如果线性化系统的系统矩阵 实部为零的 特征值，而其余特征值实部均为负，则在此临界情况下， 原非线性系统平衡状态 的稳定性决定于高阶导数项，即可 能不稳定，也可能稳定。此时不能再用线性化方程来表征 原非线性系统的稳定性了。