注意：根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和
小试身手
应该怎样拆项？
[思考探究]
用裂项相消法求数列前n项和的前提是什么？ 提示：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用 裂项相消法的前提.一般地，形如{ }({an}是等差数
列)的数列可选用此法来求.
Hale Waihona Puke 项法求和1 1 1 1 * 例：求数列 1, , , , , , (n N ) 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 n
，
＝n＋ ＋2≥4，当且仅当n＝
，即n＝1时取
等号.任意n∈N*，不等式成立，故λ≤4，
∴λ的最大值为4.
∴
1 1 1 1 4 4 7 (3n 2)(3n 1) 1 1 1 1 1 1 [(1 ) ( ) ( )] 3 4 4 7 3n 2 3n 1 1 1 n (1 ) 3 3n 1 3n 1
当堂测试
在等差数列{an}中，a5＝5，S3＝6.
(1)若Tn为数列{ }的前n项和，求Tn；
(2)若an＋1≥λTn对任意的正整数n都成立，求实数λ的最大值. [思路点拨]
[课堂笔记] (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
解得：a1＝1，d＝1，
所以an＝n， 所以 Tn= ，
(2)若an＋1≥λTn，即n＋1≥λ ∴λ≤ 又 ，
裂项相消法求和
所谓”裂项相消法”就是把数列的各项分裂成两项之差,相 项彼此相消,就可以化简后求和. 邻的两
一些常用的裂项公式:
1 1 1 (1) nn 1 n n 1
1 1 1 1 (2) ( ) (2n 1)2n 1 2 2n 1 2n 1
1 1 1 1 1 n 1 n (3) ( ) (4) n 1 n n(n 2) 2 n n 2
的前n项和
1 2 1 1 an 2( ) 提示： 1 2 n n(n 1) n n 1
1 2n 1 1 1 1 1 Sn 2[1 21 2 2 3 n n 1 n 1 n 1
当堂训练
1.数列{an}的前n项和为Sn，若an＝ ，则S5等于
(
A.1 B.
)
C.
D.
解析：∵an＝
∴S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5
，
答案：B
当堂训练 求和
裂项法求和
1 1 1 1 1 4 4 7 7 10 (3n 2)(3n 1)
1 1 1 1 ( ) 提示： (3n 2)(3n 1) 3 3n 2 3n 1