1
ε0
Φ e
qi (内)
E dS 1
S
ε0
qi(内 )
q1
qi q2
dS E
qi(内) 是指面内电荷代数和。
qn
1 n
高斯定理说明：
Φe
EdS
S
0
qi内
i1
静电场是有源场。
qi 0 Φ e0
表明：电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面， 所以正电荷是静电场的源头。
qi 0 Φ e0
的Φ
有贡献
e
？
高斯定理可用库仑定律和场强叠加原理导出。
高斯定理的导出
q
1）点电荷位于球面 S中心
E 4πε0r 2
Φ e S E d S S E dc S 0 o s
r
r dS
E
E SdS4πqε0r2 SdS
4πqε0r2
4πr2
q ε0
q
+ r
S
结果与球面半径无关，即以点电荷q 为中心的任一球 面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。
y
n
Φe右Φe下 Φ e前Φ e后 Φ e下
sE dS 0
n
z
o
n
E
x
Φ e 左 s 左 E d S E 左 c S π o E s 左 S
Φ e 右 s 右 E d S E 右 c S o E s 左 S
Φ e Φ e 前 Φ e 后 Φ e 左 Φ e 右 Φ e 下 0
Φe
EdS
S
为通过 S 面的电通量。
dS 有两个法线方向，dφ 可正可负。
S为封闭曲面
规定：闭合面上各面元的
E
dS1
外法线方向为正向。
d Φ e E d S Ecd θ oss
Φ 通e 过闭S E 合d 曲S 面 的S 电E 通c 量为o d ：S s dS2
E2
2
1 E1
θ1
1855年2月23日在格丁根逝世。
高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、 天文学和大地测量学等领域的研究，主要成就：
(1) 物理学和地磁学：关于静电学、温差电和摩擦 电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量 度非力学量以及地磁分布的理论研究。
(2) 光学 ：利用几何学知识研究光学系统近轴光线 行为和成像，建立高斯光学。
表明：有电力线穿入闭合曲面而终止于负电荷，
所以负电荷是静电场的尾。
d Φ 1 E 1d S 1 0
d Φ 2 E 2d S 2 0
q
dΦ 1dΦ 20
Φ e
EdS0
S"

E2
dS2
dS1 E1
4）在点电荷系的电场中，通过任意闭合曲面的电通量
E E i E 1 E k E k 1 E n
i
面内电荷产生
面外电荷产生
Φeqε01S EdSqε0k S0 Eid0Si(内 )q kS E 1 dSi(外 ) S EdS
大学一年级（19岁）时就解决了几何难题： 用直尺与圆规作正十七边形图。1799年以论文 《所有单变数的有理函数都可以解成一次或二次 的因式这一定理的新证明》获得博土学位。
1807年起任格丁根大学数学教授和天文台台 长，一直到逝世。1838年因提出地球表面任一点 磁势均可以表示为一个无穷级数，并进行了计算 ，从而获得英国皇家学会颁发的科普利奖章。
(3) 天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计算， 地球大小和形状的理论研究等。
(4) 试验数据处理：结合试验数据的测算，发展了 概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高 斯误差曲线。
(5) 高斯还创立了电磁量的绝对单位制。
一、电通量
1、电场线 ( Electric Field Line ) （电场的几何描述） 规定：
7.3 高斯定理
高斯（Carl Friedrich Gauss，1777～1855）
德国数学家、天文学 家、物理学家
高斯在数学上的建树颇
丰，有 “数学王子” 美称。
1777年4月30日生于布伦 瑞克。童年时就聪颖非凡， 10岁发现等差数列公式而 令教师惊叹。
因家境贫寒，父亲靠短工为生，在一位贵族资 助下与1795～1798年入格丁根大学学习。
定义：通过电场中某一 曲面的电场线数，叫做 通过这个面的电通量。
均匀电场 ，E垂直平面 S
Φe ES
均匀电场 ，E与平面夹角
E
S
n
Φe ESES coθs
ES，
S=Sn
S θ
E
非均匀电场，S 为任意曲面（不闭合的）
dS dSn 为面元矢量
dΦ eEdS
Φe dΦe
EdS
n
E
S E cos dS
2）点电荷在任意闭合曲面 S ' 内
S ' 和 S包围同一个点电荷。由于电场线的连续性，
通过两个闭合曲面的电场线的数目是相等的，所以
通过 S '的电通量：
Φ'e SE 'dSΦeεq0
即：通过任一个包围点 电荷的闭合曲面的电通 量与曲面无关，结果都
等于 q ε0
R
q
S S'
3）点电荷在闭合曲面之外
电场线的这些性质是由静电场的基本性质 和场的单值性决定的。可用静电场的基本性质 方程加以证明。
点电荷的电场线
正点电荷
负点电荷
+
一对等量异号点电荷的电场线
+
一对等量正点电荷的电场线
+
+
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
q
带电平行板电容器的电场线 ++++++++++++
2、电场强度通量（Electric Flux）
1）曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向； 2）通过垂直于电场方向单位面积的电场线条数等
于该点电场强度的大小。 EdN /dS
ddSS ⊥
E
E
电场线稀疏的地方场强小，电场线密集的地方场强大。
电场线的特性
1） 电场线起始于正电荷(或无穷远处)， 终止于负电荷，不会在没有电荷处中断；
2） 电场线不相交。 3） 静电场电场线不闭合。
二、静电场中的高斯定理（Gauss’ Law）
1、高斯定理
在真空中的静电场内，通过任一闭合曲面的电
场强度通量，等于该曲面所包围的所有电荷的代数
和除以 ε 0
。
Φe
SE dS10
n
qi内
i1
（与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面） 请思考：1）高斯面上的 E与那些电荷有关 ？
s 2）哪些电荷对闭合曲面
π, 2
dΦe 10
电场线穿出闭合面为正通量，
θ2
π, 2
dΦe 20
电场线穿入闭合面为负通量。
Φ e 表示穿出与穿入闭合曲面的电场线的条数
之差，也就是净穿出闭合曲面的电场线的总条数。
例：一个三棱柱体处在电场强度 E 2i 0 N C 0 1的
匀强电场中。求：通过此三棱柱体表面的电通量。
解： Φe Φe前Φe后Φe左