定理 任给二次型
f x Ax( A A) , 总 存在正交变换 x Py，使 f 化为标准形 2 2 2 f 1 y1 2 y2 n yn ,
T T
其中 1 , 2 ,, n是 f 的矩阵 A 的特征值.
即任何二次型都可用正交变换化为标准形.
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1 3 2 1 0 0 －1
例3：已知二次型 f 的秩为2，求参数c。
f ( x1 , x2 , x3 ) 5 x 5 x cx 2 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3
2 1 2 2 2 3
5 1 3 解：A 1 5 3 3 3 c
取 a ji aij ,
则
2a x x a x x a x x ,
ij i j ij i j ji j i
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则（1）式可以表示为
2 f a11 x1 a12 x1 x2 a1n x1 xn 2 a21 x2 x1 a22 x2 a2 n x2 xn
称为二次型.
当aij 是复数时, f称为复二次型
当aij 是实数时, f称为 实二次型
（我们仅讨论实二次型）
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例如： f ( x , y ) x 2 4 xy 5 y 2
都是二次型。 f ( x , y , z ) 2 x 2 y 2 xz yz f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x1 x2 x2 x3 x2 x4
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化二次型为标准形
对二次型 f x Ax 作可逆变换 x 相当于对对称阵 A 作合同变换；
T
Cy，
把二次型化成标准形相当于把对称阵 A用合 同变换化成对角阵(称为把对称阵合同对角化)， T 即寻找可逆阵 C , 使 C AC diag(k1 , k2 ,, kn ).
A.
说明
对称阵与二次型一一对应； 若 f x Ax ( A A)，则对称阵 A 称为 二次型 f 的矩阵；二次型 f 称为对称阵 A的 二次型；
T
T
二次型的矩阵 A 满足： ⑴ ⑵
A 的对角元 a ii 是 x
2 i 的系数；
A 的 ( i , j ) ( i j ) 元是 x i x j 系数的一半.
称为由变量x1 , x2 ,, xn到变量y1 , y2 ,, yn 的一个线性变换.
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记C (cij),
c11 系数 c 21 矩阵 C c n1 c12 c1 n c 22 c 2 n c n 2 c nn
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f x Ax, 求出A;
T
2. 求出A的所有特征值1 , 2 ,, n ;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 , 2 ,, n ;
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经可逆变换后，新旧二次型的矩阵的关系：
f x Ax
T
x Cy
f y By
T
因为有
f x Ax T (Cy ) A(Cy )
T
T T
y (C AC ) y, T 所以 A与 B 的关系为： C AC . B
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则
(1) B C AC 仍是对称矩阵 (2) r ( B) r ( A)
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结束x2 3x3 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵.
解
a11 1, a22 2 , a33 3 , a12 a21 2 , a13 a31 0 , a 23 a 32 3.
0 1 2 A 2 2 3 . 0 3 3
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三、二次型的矩阵及秩
在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵;
f 叫做对称矩阵A的二次型;
对称矩阵A的秩叫做二次型 f 的秩.
解：
1 1 A 0 0
1 2 1 0
0 1 0 2
0 0 2 7
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( 3) f ( x1 ,, xn ) x1 x2 x2 x3 xn1 xn
解：A 0 1 2 0 0 0 1 2 0 1 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 1 2
所以 r ( B) r ( A)
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以上说明：
二次型 f X T AX 经过可逆线性变换 X CY后， 二次型 f 的矩阵由对称矩阵 A 变为对称矩阵 B C T AC, 且二次型 f 的秩不变.
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矩阵的合同关系
定义 设 A 和 B 是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C ， 使 T B C AC , 则称矩阵 A 与 B 合同.
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注释：
1. 二次型 f 的矩阵 A 必为对称矩阵.
2. 在变换二次型时，要求所作的线性变换是非退化的（可逆的）
3. “合同”定义中，矩阵A 、B为一般方阵，但实际中， 多针对对称矩阵考虑合同关系 4. 任一对称矩阵，都存在对角矩阵与它合同 与对角矩阵合同的矩阵必是对称矩阵
第八章 二次型
一、二次型及其标准形的概念
定义1 含有n个变量 x1 , x2 ,, xn的二次齐次函数
2 2 2 f x1 , x2 , , xn a11 x1 a22 x2 ann xn
2a12 x1 x2 2a13 x1 x3 2an 1, n xn 1 xn
二次型用和号表示

2 an1 xn x1 an 2 xn x2 ann xn

i , j 1
a
n
ij
xi x j
x1 (a11 x1 a12 x2 a1n xn ) x2 (a21 x1 a22 x2 a2 n xn ) xn (an1 x1 an 2 x2 ann xn )
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二次型研究的主要问题是： 寻找可逆变换
n
x Cy，使
n
f ( x ) aij xi x j
i 1 j 1
2 2 x Cy f (Cy) k1 y12 k2 y2 kn yn .
这种只含平方项的二次型称为二次型的标 准形(法式). 标准形的矩阵是对角阵. 特别地，如果标准形中的系数 k i只在 1,1,0 三个数中取值，那么这个标准形称为二次型 的规范形.
a1n x1 a2 n x2 , x , x ann n
则二次型可记作 f xT Ax, 其中A为对称矩阵.
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则 f x Ax,
T
——二次型的矩阵表示式
其中 A为对称阵：AT
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0 0 0 1 2 0

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－2 例2：求对称矩阵 A 所对应的二次型。A 3 1 2 f ( x1 , x2 , x3 ) 解：
2 2 2 2 x1 x2 x3 2 3 x1 x2 x1 x3
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a11 a12 a 21 a 22 x1 , x 2 ,, x n a n1 a n 2
a11 a12 a21 a22 记 A a n1 an 2
a1 n x1 a 2 n x 2 a nn x n
说明
合同关系是一个等价关系. 设A 与 B 合同，若 A 是对称阵，则B 也对称阵. 若 A 与 B合同，则 R( A) R( B ) . 经可逆变换 x Cy 后，二次型的矩阵由 A变 T 为与A 合同的矩阵 C AC , 且二次型的秩不变. 对称阵一定合同, 相似与一个对角阵.
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练习 求二次型 f 的矩阵
2 2 (1) f ( x1 , x2 , x3 ) x1 2 x2 2 x1 x2 3 x2 x3
1 解： A 1 0
1 2 3 2
0 3 2 0
2 2 (2) f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) x12 2 x2 7 x4 2 x1 x2 2 x2 x3 4 x3 x4
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x1 (a11 x1 a12 x 2 a1n x n ) x 2 (a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n ) x n (a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n )
a11 x1 a12 x 2 a1n x n a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n ( x1 , x 2 ,, x n ) a n 2 x 2 a nn x n a n1 x1