河北工业大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数 （ A 卷）一、填空题（每小题3分，共15分）1、3-；2、12d b c a -⎛⎫ ⎪-⎝⎭； 3、k(12ξξ-),k ∈R ； 4、3； 5、 3. 二、选择题（每小题3分，共15分）1、C2、A3、B4、D 5 、D 三、解答题（每小题8分，共32分） 1、1323333112513232011251A A A ----+=-- ………………………………………………………………（3分）0= ………………………………………………………………（8分） 2、由X AX B =+ 得()E A X B -= ……………………………………………………………（2分）因(,)E A B -=110111012010253--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭～101200111100333-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭～100310102000111-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………（6分） 所以X=312011-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭………………………………………………………………（8分）3、 因*112A A A A --==， ……………………………………………………………（2分）所以*1111()233A A A A ---+=+ …………………………………………………………（4分）=15A - =5n1A - …………………………………………………………（6分）=5n1A -=52n………………………………………………………………（8分） 4、记()123,,A ααα=，设112233x x x βααα=++. ……………………………………… （2分）解法一： 1111(,)22230323A a b a a b β-⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭ ～ 1111010323a b a a b -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-+-⎝⎭～111101000a b a b -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭………………… …………………（4分） 故当 0a ≠且b a ≠时，方程组有唯一解，即β能由123,,ααα线性表示，且表示式唯一； ………（6分）此时，(,)A β ～1100110100010a a ⎛⎫-⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，1211(1)a aβαα=-+. ………………… …………………（8分）解法二：111222()032A a b a a b aa b-=+--=--+ ………………… …………………（2分）故当 0a ≠且b a ≠时，方程组（1）有唯一解，即β能由123,,ααα线性表示，且表示式唯一；……（4分）此时，1111(,)22230323A a b a a b β-⎛⎫ ⎪=+-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭ ～ 1111010323a b a a b -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-+-⎝⎭～111101000a b a b -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭～1100110100010a a ⎛⎫-⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭………… …………………（4分）1211(1)a aβαα=-+ ………… ……………………………………（8分）四（14分）、系数矩阵为 111111a A a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，增广矩阵为113112112a a B a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭， （1）解法一B～2112011001133a a a a a a -⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭～112011000(1)(2)33a a a a a a -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-+-⎝⎭… …………………（4分） 当1a ≠且2a ≠-时，()()3R B R A ==，方程组有唯一解；当2a =-时，B ～112203300009--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，()3,()2R B R A ==，方程组无解；当1a =时，B ～111200000000-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，()()13R B R A ==<，方程组有无穷多个解。

………………（7分）解法二21111(2)(1),11a A a a a a==+- … ………… … …………………（4分）当1a ≠且2a ≠-时，0A ≠,()3()R A R B ==，方程组有唯一解；当2a =-时，211512121122B --⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭ ～112203300009--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，()3,()2R B R A ==，方程组无解；当1a =时，111211121112B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭ ～111200000000-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，()()13R B R A ==<，方程组有无穷多个解。

… …………… ……………… ………………（7分）(2) 在方程组有无穷多个解时，得同解方程组1232x x x =---，取230x x ==，得原方程组一特解()*2,0,0Tη=-； ………………………………………………………………（9分） 在123x x x =--中取()()()23,1,0,0,1T T Tx x =，得原方程组对应齐次线性方程组的基础解系为()11,1,0Tξ=-，()21,0,1Tξ=-； ………………………………………………（12分）所以原方程组的通解为*1122x c c ξξη=++，12,c c 为任意常数。

…………………………………（14分）注：此题基础解系有很多种表示形式，改卷时需注意。

五（14分）、（1）f 的矩阵5222A ⎛⎫= ⎪⎝⎭； …………………………………………………………………（2分）（2）因52104022A ==-≠，()2R A =,所以f 的秩为2； …………………………………………（3分） （3）由 52(1)(6)22A E λλλλλ--==---，得A 的特征值为11λ=，26λ=。

……………（6分）当11λ=时，解方程()0A E x -=，由6A E -=4221⎛⎫⎪⎝⎭～2100⎛⎫⎪⎝⎭，得基础解系1(1,2)T ξ=-；当26λ=时，解方程(6)0A E x -=，由6A E -=1224-⎛⎫⎪-⎝⎭～1200-⎛⎫⎪⎝⎭，得基础解系2(2,1)T ξ= ；把1,2ξξ单位化，得112p -⎫=⎪⎭，221p ⎫=⎪⎭…………………………………………（12分）则有正交阵1221P ⎛ -⎫ ==⎪⎭ ⎝和正交变换 x Py =，把f 化为标准形 22126f y y =+. ………………………………………………………………………（14分）注：此题基础解系有很多种表示形式，故正交阵P 有多种形式，改卷时需注意。

六、证明题1、（6分）证法一：由其次线性方程组解的性质知1123βααα=++，2234βααα=++，3341βααα=++，434βαα=+ 都是0Ax =的解； ……………………………………………………………（2分） 则有B AK =, B =1234(,,,)ββββ, 1234(,,,)A αααα=,1010110011110111K ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 因10,K =-≠所以 K 可逆， 或 K ～ 1010011000110001⎛⎫ ⎪- ⎪⎪⎪-⎝⎭，()4,R K =所以 K 可逆，从而()()R B R A = .又因为1234,,,αααα是0Ax =的一个基础解系，故它们线性无关，()4R A =，于是()4R B =，解向量组1234,,,ββββ线性无关，故是该方程组的一个基础解系。

………………………………………………（6分）证法二：由其次线性方程组解的性质知1123βααα=++，2234βααα=++，3341βααα=++，434βαα=+ 都是Ax =的解； ……………………………………………………………（2分） 设112233440k k k k ββββ+++=，则有131122123432344()()()()0k k k k k k k k k k k αααα++++++++++=，因为1234,,,αααα是0Ax =的一个基础解系，它们线性无关，故有131223412340000k k k k k k k k k k k +=⎧⎪+=⎪⎨++=⎪⎪+++=⎩ 其系数行列式为10101100111110111=-, 方程组有唯一零解12340k k k k ====，所以解向量组1234,,,ββββ线性无关，故是该方程组的一个基础解系。

………………………………………………（6分）2、证法一：因为,0T A A E A =>,所以1A =， ……………………………………………………………（1分）则有21(1)T n A E A E A E A A E A E +-=-=-=--=--， 故有0A E -=。

………………………………………………………………………………（4分）证法二：21(1)T n A E A E A A E A A A E A A E +-=-=-=--=-，因此(1)0A A E +-=。

………………………………………………………………………………（3分）又因为A >，所以有0A E -=。

………………………………………………………………（4分）。