四边支承矩形薄板自振频率计算1. 基本假定及振动微分方程弹性板是假定其厚度远小于其他两尺寸的板，且材料假设为各向同性。

板的振动理论是以以下几个假定为基础的：1）板中原来在中面法线上的各点，在板弯曲变形后仍在中面的法线上。

这个假设称为直法线假设，表示横向剪切变形忽略不计。

2）板的挠度比板厚小很多，板弯曲时中面不产生变形，即中面为中性面。

3）板的横向正应力与其他两个方向正应力相比较，可以忽略不计。

在此基础上，若假定板的挠度不从平面位置算起，而从平衡位置算起，对板内平行六面体进行微元分析，由平衡条件、变形协调条件和物理方程得板的弯曲平衡方程式，然后分析板在振动过程中的动力平衡，可得板的自由振动微分方程[1]：022********=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂twm y x w D y w D x w D （1） 等式中)1(1223ν-=Eh D ，式中： m 为板的单位面积的质量；D 为板的弯曲刚度,E ,ν分别为板的弹性模量和泊松比，h 为板的厚度。

微分方程(1)的解答形式为薄板上每一点),(y x 的挠度),()sin cos (1y x W t B t A w m m m m m m ωω+=∑∞=。

被表示成无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的圆频率是m ω。

另一方面，薄板在每一瞬时t 的挠度，则表示成为无数多种振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数),(y x W m 表示的，为求出各种振形下的振形函数m W ，以及与之相应的圆频率m ω，我们取),()sin cos (y x W t B t A w ωω+=代入方程（1）消除因子)sin cos (t B t A ωω+得到振形微分方程：0222244444=-∂∂+∂∂+∂∂W m yx WD y W D x W D ω (2) 2. 边界条件振形函数需要满足各边界条件，板的边界一般有固支边，简支边，自由边三种情况，这里以x=0的边为例，其相应的边界条件为：固定边：沿固定边的位移和转角为0，即0)(0==x W ，0)(0=∂∂=x xW； 简支边：沿简支边的位移和弯矩为0，即0)(0==x W ，0)(022=∂∂=x xW；自由边：沿自由边的弯矩和剪力为0，即0)(02222=∂∂+∂∂=x y W x W ν，0))2((02333=∂∂∂-+∂∂=x yx Wx W ν 对于四边支承板有如下6中不同边界条件：（a ） （b ）（c ） （d ）（e ） （f ）一般而言，假定合适的位移函数，利用边界条件可以求解上述微分方程。

对于四边简支矩形板板，一对边简支，另两边任意的矩形板，可以采用的重三角级数和的单三角级数经典解法，但代数运算和数值计算都比较繁琐。

在工程应用时仍然不是很方便。

由于最低自振频率对应的振形比较易于假定。

因此能量法在工程中经常用来计算最低自振频率值。

本文采用能量法推导出不同边界条件下最低自振频率计算公式。

3.能量法能量法是由提出的一个计算薄板最低自然频率的近似方法。

其基本原理如下：当板以某一圆频率ω及其振形),(y x W 进行自由振动时它的瞬时挠度可以表示成为：),()sin cos (),,(y x W t B t A t y x w ωω+= （3）这里研究自振频率为主，假定不受外荷载作用；薄板发生自由振动时，当板经过平衡位置时，我们有1cos ,0sin ,0±===t t w ωω，速度达到最大值为W ω±，这时板的形变势能为零，动能达到最大值，即：dxdy W m T 22max 21ω⎰⎰=（4） 当薄板振动距离平衡位置最远时，我们有0cos ,1sin ,=±=±=t t W w ωω，这时板的动能为零，而板的形变势能为最大，即：⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-∂∂∂∂--∇=dxdy y x w y w x w w D U 22222222max )()1(2)(2ν （5）按照格林定理：可以推导出⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂-∂∂∂∂dxdy y x w y w x w 222222)( ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂∂∂∂=dy y w x w dx y x w x w 222 （6） 对于一个矩形薄板没有自由边，而只有简支边和固支边，则在x 为常量的边界上有0=dx 及022=∂∂y w，在y 为常量的边界上有0=dy 及0=∂∂xw，则（6）可简化为得到 ⎰⎰∇=dxdy w D U 22max )(2（7）根据能量守恒定理，最大动能等于最大势能，即 max max T U = （8）利用该等式就可以求出自振频率。

4. 矩形薄板自振频率计算公式推导采用能量法在工程中计算最低自振频率。

一般来说，设定的振形函数只须满足位移边界条件，而不一定要满足内力边界条件，因为内力边界条件是平衡条件，而在能量法中，已经用能量关系代替了平衡条件。

当然，如果能够同时满足一部分或全部内力边界条件，则求得的最低自振频率可以具有较好的精度。

如果振形曲线是精确的，相应的振动频率也是精确值。

如果振形曲线是近似值，相应的频率也是近似值。

本文将根据假定振型函数推导6种不同边界条件的四边支承矩形板的自振频率计算公式 1）四边简支矩形板四边简支板如图（a ）；取振形函数为提出的重三角级数：bxn a x m C W mn n m ππsin sin11∑∑∞=∞== 可以满足位移边界条件（同时也能满足内力边界条件），代入公式（4）（7）可以得到2112max 8mn n m C abm T ∑∑∞=∞==ω，222222114max )(8bn a m C abDU mnn m +=∑∑∞=∞=π求最低频率，可以令1==n m 由0max max =-T U 得到：mDb a )11(2221+=πω。

四边简支板采用的振形函数是精确的，振形函数不仅能满足位移边界条件，还满足内力边界条件；计算得到的振动频率也是精确解。

2三边简支一边固支三边简支一边固支如图（b ），振形函数byx a ax x W πsin )32(334+-=满足x=a 边固支，x=0，y=0，y=b三边简支支边界条件。

由公式（4）（7）（8）得：b a m T 92max630419⨯=ω)352463019536(42224445max b a b a b Da U ππ++= mDb a b a a )1261972436(19126144422221ππω++= 3 相邻边简支，另相邻边固支相邻边简支，另相邻边固支如图（c ），取振形函数)32)(32(3343341y a ay y x a ax x C W +-+-=满足x=0，y=0相邻边简支，x=a ，y=b 相邻边固支边界条件。

由公式（4）（7）（8）得：99222max630219b a m T ⨯=ω )351226305193663051936(222224455maxb a b a b Da U ⨯+⨯⨯+⨯⨯= mDb a b a a )1331441(191266442221++=ω 4 一对边简支，一对边固支一对边简支，一对边固支如图（d ），取振形函数)2cos1(sin byaxW ππ-=，满足x=0，x=a 边简支，y=0，y=b 边固支边界条件，由公式（4）（7）（8）得：mDb a b a a 4422221316381++=πω 5．三边固支一边简支三边简支一边固支如图（e ），取振形函数)2cos 1)(32(334byx a ax x W π-+-=满足x=0边固支，x=a ，y=0，y=b 三边简支边界条件。

由公式（4）（7）（8）得：ba m T 92max6304193⨯⨯=ω)352426302191625336(22224425maxb a b a b Da U ππ⨯+⨯⨯+⨯⨯=mDb a b a a)6301523548554(19420144422221ππω++= 6.四边固支矩形板四边固支矩形板如图（f ），矩形板的的边长分别为2a 和2b ，四边固支时振形函数为......)()()(23221222222+++--=y C x C C b y a x W 假定只取一个系数，即2222221)()(b y a x C W --=可以满足位移边界条件，由公式（4）（7）（8）得：99215max72592b a m T ⨯⨯=ω)74(72592)(22244551422max b a b a b Da dxdy W D U bbaa++⨯⨯=∇=⎰⎰--mDb a b a a)741(2631442221++=ω 对于四边固支矩形板还可以满足边界条件的采用振形函数)cos1)(cos1(1byaxC W ππ++=求解自振频率。

mDba b a a 442222132334++=πω 通过上述分析，得到四边支承6种不同边界条件矩形板自振频率计算公式。

假定矩形边长a=b ，自振频率写为mDak f 22==πω，不同边界条件下k 值如下表：。