第五章 二次型在解析几何中，为了便于研究二次曲线122=++cy bxy ax的几何性质，可以选择适当的坐标旋转变换⎩⎨⎧'+'='-'=θθθθcos sin sin cos y x y y x x把方程化为标准形式122='+'y c x m .这类问题具有普遍性，在许多理论问题和实际问题中常会遇到，本章将把这类问题一般化，讨论n 个变量的二次多项式的化简问题.第一节 二次型及其矩阵分布图示★ 引言★ 二次型的定义 ★ 例1★ 二次型的矩阵形式 ★ 例2 ★ 例3★ 例4 ★ 例5★ 线性变换 ★ 例6 ★ 矩阵的合同 ★ 内容小结 ★ 习题5-1内容要点一、二次型的概念定义1 含有n 个变量n x x x ,,,21 的二次齐次函数nn n n n n n n nnn n x x a x x a x x a x x a x x a x a x a x a x x x f 1,12232231121122222221112122222),,,(--+++++++++++=称为二次型. 当ij a 为复数时，f 称为复二次型；当ij a 为实数时，f 称为实二次型.在本章中只讨论实二次型.只含有平方项的二次型 2222211n n y k y k y k f +++= 称为二次型的标准型(或法式).二、二次型的矩阵取ij ji a a =,则,2i j ji j i ij ji ij x x a x x a x x a +=于是∑==++++++++++++=nj i ji ij nnn n n n n nn nn n x x ax a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f 1,222112222221221112112211121),,,()()()(22112222121212121111n nn n n n n n n n x a x a x a x x a x a x a x x a x a x a x ++++++++++++=.),,,(),,,(212122221112112122112222121121211121AX X x x x a a aa a aa a a x x x x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x T n nn n n n n n n nn n n n n n n n =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++=其中 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n n a a aa a aa a a A x x x X 21222211121121,.称AX X x f T =)(为二次型的矩阵形式. 其中实对称矩阵A 称为该二次型的矩阵.二次型f 称为实对称矩阵A 的二次型. 实对称矩阵A 的秩称为二次型的秩. 于是，二次型f 与其实对称矩阵A 之间有一一对应关系.三、线性变换定义2 关系式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=nnn n n n nn n n y c y c y c x y c y c y c x y c y c y c x 21122212121121111称为由变量n x x x ,,,21 到n y y y ,,,21 的线性变换. 矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n c c cc c c c c c C 212222111211称为线性变换矩阵. 当0||≠C 时，称该线性变换为可逆线性变换.对于一般二次型AX X X f T =)(,我们的问题是：寻求可逆的线性变换CY X =将二次型化为标准型，将其代入得AX X X f T =)(Y AC C Y CY A CY T T T )()()(==这里，Y AC C Y T T )(为关于n y y y ,,,21 的二次型，对应的矩阵为AC C T .注: 要Y AC C Y T T )(为标准型，即要AC C T 为对角矩阵。

由上章实对称矩阵对角化的方法，可取C 为正交变换矩阵P .对于简单的二次型，也可以用用配方法解之.四、矩阵的合同定义3 设A ,B 为两个n 阶方矩阵,如果存在n 阶非奇异矩阵C ,使得,B AC C T =则称矩阵A 合同于矩阵B ,或A 与B 合同,记为.B A ≅易见, 二次型AX X x x x f T n =),,,(21 的矩阵A 与经过非退化线性变换CY X =得到的二次型的矩阵AC C B T =是合同的.矩阵的合同关系基本性质:(1) 反身性 对任意方阵)(;,A AE E A A A T =≅因为; (2) 对称性 若,B A ≅则;A B ≅(3) 传递性 若,,C B B A ≅≅则.C A ≅例题选讲例1 (1)223),(y xy x y x f ++=是一个含有2个变量的实二次型.(2)22254223),,(z yz y xz xy x z y x f +--++=是一个含有3个变量的实二次型.(3)242322214321),,,(x x x x x x x x f -++=是一个4个变量的实二次型.(4) 424131214321342),,,(x x x x x x x x x x x x f +-+=是一个含有4个变量的实二次型.(5) 15),(22++-+=x y xy x y x f 不是一个实二次型, 因为它含有一次项x 5及常数项1.(6) 312131321),,(x x x x x x x x f ++=不是一个实二次型, 因为它含有3次项.31x(7) )1(),(22-=+=i iy x y x f 不是一个实二次型, 因为i 是虚数, 但它是一个复二次型.例2 写出下列是二次型相应的对称阵.(1) ,23233),(2222y xy xy x y xy x y x f +++=++= 其矩阵为.12/32/31⎪⎪⎭⎫⎝⎛ (2) 22254223),,(z yz y xz xy x z y x f +--++=22252222223z yz xz xy y xy xz xy x +-+--+++= 相应的实对称阵为 .522/22112/213⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---(3),),,,(242322214321x x x x x x x x f -++= 相应的实对称阵是一个对角阵:.1000010000100001⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-(4) 424131214321342),,,(x x x x x x x x x x x x f +-+=相应的对称阵为.002/3200012/3002/1212/10⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--例3 设有实对称矩阵,22/102/101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=A 求A 对应的实二次型.解 A 是三阶阵，故有3个变量，则实二次型为),,(),,(321321x x x x x x f =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---32122/102/101011x x x .2223322121x x x x x x +-+-=例4 (E01) 二次型3222312132x x x x x x x -++的矩阵;02/32/12/322/12/12/10⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A反之, 对称矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=02/32/12/322/12/12/10A 所对应的二次型是.3202/32/12/322/12/12/10),,(32223121321321x x x x x x x x x x x x x Ax x T -++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=例5 (E02) 求二次型23223121213216224),,(x x x x x x x x x x f +-+-=的秩. 解 先求二次型的矩阵.2212312121321222),,(x x x x x x x x x x x f --+-=23231332600x x x x x x x ++++所以=A ,601022121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---对A 作初等变换A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--520260121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1700520121 即,3)(=A r 所以二次型的秩为3.例6 设二次型3231213211042),,(x x x x x x x x x f +-=, 且⎪⎩⎪⎨⎧=++=--=.,2,53332123211y x y y y x y y y x (1)求经过上述线性变换后新的二次型.解 因)(321x x x f 相对应的矩阵=A .052501210⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--而变换(1)所决定的变换矩阵=C ,100211511⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=AC C T ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100211511052501210125011011=.2000020002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛- 于是新的二次型为.2022232221y y y +-。