2
y
即 : 189.325.612.74(1.52a/2) 时合理
a4.32 cm
求临界力：

L 0.76
i Iz 2A1

0.76 396.610 212.74104
8
106.5
2 E 220010 9 p 99.3 6 P 20010
2 EI
(2l ) 2
=1
0.7
=0.5
=2
2l
l
例1钢质细长杆，两端铰支，长l=1.5m，横截面是矩形截面， h=50 mm，b=30 mm，材料是A3钢，弹性模量E=200GPa； 求临界力和临界应力。 解：
(1)由于杆截面是矩形，杆在不同方向发生弯曲的难易程度不同， 如下图
因为 Iy<Iz，所以在各个方向上发生弯曲时约束条件相同的情况下， 压杆最易在xz平面内发生弯曲；
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
2 EI min Pcr ( L) 2
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
1.一端固定一端自由的细长压杆，它相当于两端铰支长为2l的 压杆的挠曲线的一半部分；
2 EI 2 EI
4l
2
Pcr
2l
2

P l l
2.二端固定的细长压杆，其中间部分(0.5l) 相当于两端铰支长为 0.5l的压杆；
②挠曲线近似微分方程： M P y y EI EI P y y y k 2 y0 EI P 2 其中 :k EI
y
P x
M
P
③微分方程的解： ④确定积分常数：
y Asin xBcosx y(0) y( L)0
A0B0 即 : AsinkLBcoskL0
二、中小柔度杆的临界应力计算 1.直线型经验公式 ①P<<S 时：
cr ab

cr ab s
s
s a
b
s P 的杆为中柔度杆，其临 界应力用经验公式求。
②S< 时：
cr s
S 的杆为小柔度杆，其临 界应力为屈服极限。
cr
2E 即： cr 2
3.柔度：
I i ——惯性半径。 A

L
i
——杆的柔度（或长细比 ）
4.大柔度杆的分界：
2E cr 2 P
2E P P
满足 P 的杆称为大柔度杆（或 长细杆），其临界力用 欧拉公式求。
P 的杆为中小柔度杆，其 临界力不能用欧拉公式 求。
(2)计算临界压力
(3)计算临界应力
对A3钢 σp≈200MPa，细长压杆在失稳时，强度是有余的.
例2 求下列细长压杆的临界力。 y x z y
z L1 L2
h
b
b3h , 解：①绕 y 轴，两端铰支： =1.0， I y 12 ②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
Pcry
2
EI y
Pcr
0.5l 2
2 EI
P 0.5l
3.一端固定一端铰支的细长压杆，其中的一部分(0.7l) 相当于两 端铰支长为0.7l的压杆；
P 0.7l
临界压力公式是：
Pcr
0.7l
2 EI
2
各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式
支承情况
两端铰支
一端固定 另端铰支 Pcr B
i IHale Waihona Puke A (D 4 d 4 )
64
4 2 2 (D d )
D2 d 2 4
(0.045) 2 (0.036) 2 0.0144 m 4 l 1 ( 2 1) 98.1 i 0.0144
(c) 判别压杆的性质。由已知求得
2E 1 102 p
对于小柔度杆或中柔度杆压杆，其临界压力与材料的 比例极限和屈服强度有关，这时选用高强度材料会使 临界压力提高。
1m A 450
1m B
C
F
解：(a) 受力分析。以梁AC为研究对象， 由静力平衡方程可求得
FAX
F A
450 FGB
B
C
G
FAY
0 M 0 ; F sin 45 1 F 2 0 C GB
FGB
2F 2 2 F 33.9 KN 0 sin 45
(b) 计算压杆的柔度。
sinkL 0

0
1
sinkL coskL
0
k
n P L EI
临界力 Pcr 是微弯下的最小压力，故，只能取n=1 ；且
杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
P cr
2 EImin
L
2
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
Pcr
2 EI min
L2
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
二、此公式的应用条件： 1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
稳 定 平 衡
不 稳 定 平 衡
3.压杆失稳：
4.压杆的临界压力 临界状态
稳 定 过 平 衡
对应的
压力
临界压力:
Pcr
不 稳 度 定 平 衡
2
细长压杆临界力的欧拉公式
假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，
从挠曲线入手，求临界力。
一、两端铰支压杆的临界力:
P
x
M ( x, y) Py P ①弯矩：
(2)判别压杆的性质并计算临界力:
压杆是大柔度杆，用欧拉公式计算临界力；
(a)当l1=0.75l时，λ=0.75×120=90 ，而
压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力:
(b)当l2=0.5l时，λ=0.5×120=60 ，而
压杆是小柔度杆，临界应力就是屈服应力；
4
压杆的稳定校核及其合理截面
大柔度杆，由欧拉公式求临界力。
2 EI 2200 396.610 Pcr 443.8kN 2 2 ( l ) (00.76)
例5图示钢结构，承受载荷F作用，试校核斜撑杆的稳定性。已知 载荷F＝12kN，其外径D＝45mm，内径d=36 mm，稳定安全系数 nst=2.5。斜撑杆材料是Q235钢，弹性模量E=210 GPa， σ p=200 MPa， σ s=235 MPa.
2
L2 2
2
=0.7 ，
③压杆的临界力
bh3 Iz , 12
Pcrz
EI z
(0.7 L1 )
P P cr min( cry , P crz )
3
压杆临界应力
一、 基本概念
1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
Pcr cr A
2.细长压杆的临界应力：
Pcr 2 EI 2E 2E cr 2 2 2 A ( L) A ( L/i)
查表得a＝304MPa，b＝1.12 MPa。求得
a s 304 235 2 62 b 1.12 2 1
压杆是中柔度杆，选用经验公式计算临界力。
(d) 计算临界应力。
Fcr cr A a b A (304 1.12 98.1) 106
(0.0452 0.0362 )
4
194.1 106 5.726 104 111 kN
(e) 稳定性校核。
Fcr 111 103 n 3.27 nst (nst 2.5) 3 FGB 33.9 10
满足稳定要求
三、提高压杆稳定性的措施
1.减小压杆的支承长度；因为临界应力与杆长平方成反比， 因此可以显著地提高压杆承载能力。 2. 改变压杆两端的约束；使长度系数减小，相应地 减小柔度，从而增大临界应力。
S
P
cr ab
③临界应力总图
2E cr 2
L
i

s s a
b
P

2E P
例3两端铰支的压杆，长l=1.5 m，横截面直径d=50 mm，材料是 Q235钢，弹性模量E=200 GPa， σp =190 MPa；求压杆的临界 力；如果：(1) l1=0.75l；(2) l2=0.5l，材料选用优质碳钢；压杆 的临界力变为多大? 解： (1)计算压杆的柔度：
A1 12.74cm2 ,z0 1.52cm, I z1 198.3cm4 ,I y1 25.6cm4
a
L C1 z0 y1 z
两根槽钢图示组合之后，
I z 2I z12198.3396.6cm4
I y 2[I y1A1 ( z0 a/2)2 ]
2[25.612.74(1.52a/2)2 ]
3. 选择合理的截面形状；可以在不增加 截面面积的情况下，增加横截面的惯性 矩I，从而减小压杆柔度，起到提高压杆 稳定性的作用。如图所示。
4.压杆在各纵向平面内相当长度相同时,要使得在两个主 惯性平面内的柔度接近相等。从而有接近相等的稳定性。 5. 合理选择材料；选用弹性模量较大材料可以提高压 杆的稳定性。但须注意，由于一般钢材的弹性模量E一 般大致相同，故选用高强度钢不能起到提高细长压杆 稳定性的作用。
第十章 压杆稳定 Buckling and Stability
1 压杆稳定性的概念
构件的承载能力： ①强度
②刚度
③稳定性 工程中有些构件具有足够的强度、刚度， 却不一定能安全可靠地工作。
P
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
二、压杆失稳与临界压力 ： 1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：