AW=
=
=nW
W是A的……
即n是A的一个特征根，每只西瓜的重量是A对应于特 征根n的特征向量的各个分量。
很自然，我们会提出一个相反的问题： 如果事先不知道每只西瓜的重量，也没有衡器去称量，我 们如能设法得到判断矩阵（比较每两只西瓜的重量是最容易 的），能否得出西瓜的相对重量呢？ 显然是可以的，在判断矩阵具有完全一致的条件下，我们 可以通过解特征值问题
第四章
层次分析法 AHP
Analytic Hierarchy Process T.L.saaty
李沛豪
Pumalph@
一 问题的提出
例1 购物 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、 外形等方面的因素选择某一支钢笔。 选择餐馆，则要依据餐馆的饭菜质量、区位条件、 档次、饭菜价格、服务质量等方面因素来选择。
义
１ ３ ５ ７ ９
第i个因素与第j个因素的影响相同
第i个因素比第j个因素的影响稍强 第i个因素比第j个因素的影响强 第i个因素比第j个因素的影响明显强 第i个因素比第j个因素的影响绝对地强
2,4,6,8表示第i个因素相对于第j个因素的影响介于上述
两个相邻等级之间。
为什么采用1～9级的指标比例呢？
max 计算对于上一层某 因素而言本层次与之有联系的因素的重要性次序的权值。 可以归结为，求解矩阵的最大特征值和对应的特征的向量， 即对判断矩阵B，计算满足: BW = maxW 的特征根与特征向量。式中，λmax为B的最大特征根； W为对应于λmax的正规化特征向量；W的分量Wi即是相应因 素单排序的权值。
（1）心理学的实验表明，大多数人对不同事物在相同属性 上差别的分辨能力在5～9级之间，采用1 ～ 9的标度反映了 大多数人的判断能力；
（2）大量的社会调查表明，1～9的比例标度早已为人们所 熟悉和采用；
（3）科学考察和实践表明，1～9的比例标度已完全能区分 引起人们感觉差别的事物的各种属性。
显然，任何判断矩阵都应满足：
AW= λmaxW
求出正规化特征向量（即假设西瓜总重量为1），从而得 到n只西瓜的相对重量。
所谓判断矩阵的一致性，即判断矩阵是否满足如下关 系:
aij =aik/ajk,
i、j、k= 1，2，…，n
上式完全成立时，称判断矩阵具有完全一致性。 此时矩阵的最大特征值λmax=n，其余特征值均为零。 在一般情况下可以证明判断矩阵的最大特征根为单根， 且λmax≥n。当判断矩阵具有满意一致性时，λmax稍 大于矩阵阶数n，其余特征值接近于零。这时AHP得出 的结论才基本合理。
22,752
基于模糊层次分析法的航空项目风险管理研究
周平,朱松岭,姜寿山 文献来自：计算机集成制造系统-CIMS 2003年 第12期
大气环境质量综合评价的层次分析法
何斌，谢开贵 文献来自：环境保护 1997年 第08期 文献来自：电力系统及其自动化学报 2003年 第04期
基于模糊层次分析法的城市电网规划决策综合评判
三、层次分析法基本原理
假定我们已知n只西瓜的重量和为1，每只西瓜的重量分 别为W1，W2，…，Wn。把这些西瓜两两比较，很容易得到表示 n只西瓜相对重量关系的比较矩阵：
A=
=（aij）nxn
A*W=?
显然aii= 1，aij =1/aji，aij =aik/ajk，i、j、k= 1，2，…，n
那么就有：
陈大宇,肖峻,王成山 刘军,姚军 谢全敏,夏元友
层次分析法在兰州经济结构评价中的应用
文献来自：西北师大学报(社会科学版) 2001年 第02期 文献来自：岩石力学与工程学报 2003年 第07期
岩体边坡治理决策的模糊层次分析方法研究 中长期地震预测方案综合信度评价的层次分析法
王晓青，高孟潭 文献来自：中国地震 1995年 第03期
（2）、查找相应的平均随机一致性指标：RI 对n=1、2、3…9，Saaty给出了的值，如下表所示：
n RI 1 0 2 0 3 4 5 1.12 6 7 8 9
0.58 0.90
1.24 1.32 1.41 1.45
（3）计算一致性比例：CR
CI CR RI
当CR<0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的， 否则应对判断矩阵作适当修正。
城市旅游竞争力是现在旅游研究 的重点问题，请你选出适当的指标体 系，建立城市旅游竞争力的层析结构 体系
张争胜.城市旅游竞争力的实证研究——以广东省为例［J］ 资源开发与市场.2005（1）
莫邦宏，杨建川. 城市旅游竞争力 分析框架初探［J］ 社会科学家， 2005增刊
2 构造成对比较矩阵
判断矩阵表示针对上一层次某因素而言，本层次与 之有关的各因素之间的相对重要性。假定A层中因素Ak 与下一层次中因素B1，B2，…，Bn有联系，则我们构造 的判断矩阵如下表。
别为a1，a2，… am，下一层次B包含n个元素B1，B2，… Bn， 它们对于因素Aj的层次单排序权值分别为bj1，bj2，… bjn （当Bi与Aj无联系时，bji＝0），此时B层次总排序权值由下 表给出。
层次总排序的一致性检验
(1)
(2)
(3)
在(1)式中，CI为层次总排序的一致性指标，CIj为与aj对应 的Ｂ层次中判断矩阵的一致性指标；在(2)式中，RI为层次总排 序的随机一致性指标，RIj为与aj对应的Ｂ层次中判断矩阵的随 机一致性指标；在(3)式中，CR为层次总排序的随机一致性比例。 同样当CR≤0.10时，我们认为层次总排序的计算结果具有 满意的一致性。
Ak B1 B2 … … Bn B1 B 2 …… Bn
b11 b12 …… b1n b21 b22 …… b2n … … …… … … … …… … bn1 bn2 …… bnn
bij是对于Ak而言，Bi对Bj的相对重要性的数值表示。
bij通常取1、3、5、7、9及其他们的倒数，其含义为：
尺度
含
苏州、杭州、桂林
若上层的每个因素都支配着下一层的所有因素，或被下一层所 有因素影响，称为完全层次结构，否则称为不完全层次结构。
此外，还可以建立子层次。
例3 层次结构模型
目标层：
选购电冰箱
准则层：
信誉T1
型式T2
价格T3
容量 T4
制冷级别 T5
耗电量 T6
方案层：
A
B
C
D
例4 层次结构模型
目标层
合理选择科研课题A
四、 层次分析法的基本步骤
1 建立层次结构模型 一般分为三层，最上面为目标层，最下面为方案层， 中间是准则层或指标层。 例1 的层次结构模型 买钢笔 质 量 颜 色 价 格 外 形 实 用 目标层 准则层 方案层
可供选择的笔
例2 层次结构模型
选择 旅游地
目标层Z
景色
费用
居住
饮食
旅途
准则层A 方案层B
层次分析法建模举例
（一）资金分配决策 某个工厂可以使用一笔企业留成利润，由厂领导 和职工代表大会决定如何使用，可以选择的方案有： 发奖金、扩建福利设施和引进新的设备，为了进一步 促进企业的发展，如何合理的使用这笔利润？
（二）、城市主导产业决策分析
对判断矩阵一致性检验的步骤：
（1）计算一致性指标(Consisteney Index)：CI
CI
max n
n 1
完全一致时，CI的值？
显然当判断矩阵具有完全一致性时，CI=0，λmax-n 越大，CI越大，矩阵的一致性就越差。为了检验判断矩阵 是否具有满意的一致性，需要将CI与平均一致性指标RI (Random Index)进行比较。
准则层1
成果贡献B1 应 用 价 值 科 学 意 义
人才培养B2
课题可行性B3 难 易 程 度 c3 研 究 周 期 c4 财 政 支 持 c5
准则层2
c1
方案层
课题D1
c2
课题D2
课题D3
层次分解时注意事项：
如果所选的要素不合理，其含义混淆不清，或 要素间的关系不正确，都会降低 AHP 法的结果质量， 甚至导致AHP法决策失败。 为保证递阶层次结构的合理性，需注意以下问题： 1 、要对问题的影响因素有充分的理解，必要的时候 可以咨询相关的专家； 2、分解简化问题时把握主要因素 3 、注意相比较元素之间的强度关系，相差太悬殊的 要素不能在同一层次比较。
1 1.769 0.974 0.268 ( ) 3.009 3 0.587 0.324 0.089
, 0.322, 0.090), 3.013 精确计算，得 w (0.588
*六、层次分析法的应用
决策支持系统在旅游景区优先开发中的应用
王军伟,才书训 文献来自：东北大学学报(自然科学版) 2002年 第07期
bij>0 ,bii = 1，bij = 1/bji，i，j = 1，2，…，n
因此，对于这样的判断矩阵来说，作n(n-1)/2 次两两判断就可以了。
判断过程中的问题
1、合理选择咨询对象；（专长及熟悉的领域） 2、创造适合于咨询工作的良好环境；（介绍AHP方法， 提供信息，独立思考） 3、正确的咨询方法；（通过咨询确定递阶层次结构， 设计好表格） 4、及时分析专家咨询信息，必要时要进行反馈及多轮 次咨询 5、专家数量根据实际情况确定，一般为20—50位
例2 旅游 假期旅游，是去风光秀丽的苏州，还是去迷人的 北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般会依据景 色、费用、食宿条件、旅途等因素选择去哪个地方。
例3 择业 面临毕业，可能有高校、科研单位、企业等单位可以 去选择，一般依据个人兴趣、工作环境、工资待遇、发展 前途、住房条件等因素择业。 例4 科研课题的选择 由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般
平均随机一致性指标RI是多次（500次以上） 重复进行随机判断矩阵特征值的计算之后，取算 术平均数得到的。 为了检验判断矩阵是否具有满意的一致性， 需要将CI与平均随机一致性指标RI进行比较。