第二章：年金
练习题 1．证明 v n − v m = i am − an 。
(
)
i ( am − an )
1− vm 1− vn = i( − ) = vn − vm i i
2．某人购买一处住宅，价值 16 万元，首期付款额为 A，余下的部分自下月起每月月初付 1000 元，共付 10 年。年计息 12 次的年名义利率为 8.7% 。计算购房首期付款额 A。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
i (3) 3*5 3(1 + ) = 3*1.0215 = 4.0376 3
12.甲向银行借款 1 万元，每年计息两次的名义利率为 6% ，甲第 2 年末还款 4000 元，则此次还款后所余
2
本金部分为（ ）元。 A.7 225 B.7 213
C.7 136
D.6 987
i (2) 2*2 (1 + ) = 1.034 = 1.1255 2
8．已知第 1 年的实际利率为 10%，第 2 年的实际贴现率为 8%，第 3 年的每季度计息的年名义利率为 6%， 第 4 年的每半年计息的年名义贴现率为 5%，求一常数实际利率，使它等价于这 4 年的投资利率。
i (4) 4 i (2) 2 ) (1 + ) 4 2 = 1.1*1.086956522 *1.061363551*1.050625 = 1.333265858 ⇒ i = 0.74556336
i1 =
A(1) − A(0) A(3) − A(2) A(5) − A(4) = 0.1, i3 = = 0.1, i5 = = 0.1 A(0) A(2) A(4)
3．已知投资 500 元，3 年后得到 120 元的利息，试分别确定以相同的单利利率、复利利率投资 800 元在 5 年后的积累值。
a1 (t ) = (1 + i )
t
t
0.01t 2 +0.1t 2
δ t dt a2 (t ) = e ∫0 = e
⇒ (1 + i ) = e
20
0.01*202 + 0.1*20 2
= e4
(1 + i )3 = 1.8221
11. 某人 1999 年初借款 3 万元，按每年计息 3 次的年名义利率 6%投资，到 2004 年末的积累值为（ 万元。 A. 7.19 B. 4.04 C. 3.31 D. 5.21 ）
1 − v120 = 79962.96(i = 8.7% /12) i ∴160000 − 79962.96 = 80037.04 1000a120 = 1000
3. 已知 a7 = 5.153 , a11 = 7.036 , a18 = 9.180 , 计算 i 。
⎛ 1 ⎞ a18 = a7 + ⎜ ⎟ a11 ⎝1+ i ⎠ ∴ i = 0.08299
(1 + i) 4 = (1 + i1 )(1 − d 2 ) −1 (1 +
9．基金 A 以每月计息一次的年名义利率 12%积累，基金 B 以利息强度 δ t = 基金存入的款项相同，试确定两基金金额相等的下一时刻。
t 积累，在时刻 t (t=0)，两笔 6
a1 (t ) = (1.01)
t
12t
δ t dt a2 (t ) = e ∫0 = e12
t2
⇒ (1.01)
12t
= e , t = 1.432847643
t2 12
10. 基金 X 中的投资以利息强度 δ t = 0.01t + 0.1 (0≤t≤ 20), 基金 Y 中的投资以年实际利率 i 积累； 现分别 投资 1 元，则基金 X 和基金 Y 在第 20 年年末的积累值相等，求第 3 年年末基金 Y 的积累值。
4．已知某笔投资在 3 年后的积累值为 1000 元，第 1 年的利率为 i1 = 10% ，第 2 年的利率为 i2 = 8% ， 第 3 年的利率为 i3 = 6% ，求该笔投资的原始金额。
A(3) = 1000 = A(0)(1 + i1 )(1 + i2 )(1 + i3 )
⇒ A(0) = 794.1
5．确定 10000 元在第 3 年年末的积累值: (1)名义利率为每季度计息一次的年名义利率 6%。 (2)名义贴现率为每 4 年计息一次的年名义贴现率 6%。
1
10000a (3) = 10000(1+
i (4) 12 ) = 11956.18 4
3
1 ⎞4 ⎛ ( ) ⎜ i4 ⎟ 10000a (3) = 10000⎜ 1+ = 11750.08 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 4 ⎠
500a (3) = 500(1 + 3i1 ) = 620 ⇒ i1 = 0.08 ∴ 800a (5) = 800(1 + 5i1 ) = 1120 500a (3) = 500(1 + i2 )3 = 620 ⇒ i1 = 0.0743363 ∴ 800a (5) = 800(1 + i3 )5 = 1144.97
2．(1)假设 A(t)=100+10t, 试确定 i1 , i3 , i5 。
i1 =
A(1) − A(0) A(3) − A(2) A(5) − A(4) = 0.1, i3 = = 0.0833, i5 = = 0.0714 A(0) A(2) A(4)
n
(2)假设 A ( n ) = 100 × (1.1) ，试确定 i1 , i3 , i5 。
6．设 m＞1，按从大到小的次序排列 d < d ( m ) < δ < i ( m ) < i 。 7．如果 δ t = 0.01t ，求 10 000 元在第 12 年年末的积累值。 、
δ t dt 10000a (12) = 10000e∫0 = 10000e0.72 = 20544.33
12
第一章：利息的基本概念
练 习 题 1．已知 a ( t ) = at 2 + b ，如果在 0 时投资 100 元，能在时刻 5 积累到 180 元，试确定在时刻 5 投资 300 元， 在时刻 8 的积累值。
a (0) = b = 1 a (5) = 25a + b = 1.8 0.8 ⇒a= ,b = 1 25 300 *100 ∵ a(5) = 300 180 300 *100 300 *100 ⇒ a(8) = (64 a + b) = 508 180 180