收稿日期:2003-03-03
作者简介:孙学农(1971-),男,山东省东营市人,山东东营职业学院讲师1
第24卷第3期济宁师范专科学校学报2003年6月V ol124N o13Journal of Jining T eachers’C ollege Jun12003文章编号:1004-1877(2003)03-0005-02
谈齐次线性方程组的基础解系的求法
孙学农
(东营职业学院,山东东营257091)
摘　要:本文首先陈述求齐次线性方程组的基础解系的简化解法,进一步利用矩阵的初等变换给出了一种很有使用价值的简便方法。

关键词:基础解系;初等变换;线性无关;向量
中图分类号:　O241.6　文献标识码:A
考虑齐次线性方程组
a11x1+a12x2+…+a1n x n=0
a21x1+a22x2+…+a2n x n=0
………
a m1x1+a m2x2+…+a mn x n=0
(1)
定义　设a1,a2,…,a s是方程组(1)的解向量,并且:
(1)a1,a2,…,a s线性无关:
(2)方程组(1)的任一解向量a都可由向量组a1,a2,…,a s线性表出,
则称a1,a2,…,a s是线性方程组(1)的一个基础解系。

定理　若齐次线性方程组(1)中的系数矩阵的秩r<n(r≥0),那么方程组(1)有基础解系,且基础解系所含解向量的个数等于n-r。

算法　先将系数矩阵A进行初等行变换,化成阶梯阵U=
3
,显然AX=0当且仅当UX=0.然后将矩阵进行列变换,变成
T=
C113
C22
ω3
0C rr
00
注意此时自变量x1,x2,…,x n的次序有可能发生变化,我们把改变顺序的向量组成新向量Y,因此AX=0当且仅当TY=0。

设Y=(y1,y2,…,y r,y r+1,…,y n),取(y r+1,…y n)分别为(1,0,0,…,0),(0,1,0,…,0),(0,0,1,…,0),(0,0,0,…, 1),分别代入TY=0可得n-r组(y1,y2,…,y r),将每组(y1,y2,…,y r)与其对应的组(y r+1,…,y n)合起来,可得TY=0的一个基础解系Y1,Y2,…,Y n-r,将Y1,Y2,…,Y n-r中分量的顺序调整到X的顺序,分别得到a1,a2,…,a n-r,即为AX=0的基础解系。

例　求齐次线性方程组
x1-x2+5x3-x4=0
x1+x2-2x3+3x4=0
3x1-x2+8x3+x4=0
x1+3x2-9x3+7x4=0
的一个基础解系。

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5
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解　A=1　-1 5　-1
1 1　-2 3
3　-1 8 1
1 3　-9 7
———
1　-1 5　-1
0 2　-7 4
0 0 0 0
0 0 0 0
取x3,x4为自由未知量,得方程组为
x1-x2=-5x3+x4 2x2=7x3-4x4
令　x3=1,x4=0,得x1=-3/2,x2=7/2
x3=0,x4=1,得x1=-1,x2=-2
则a1=(-3/2,7/2,1,0),a2=(-1,-2,0,1)为所求的一个基础解系。

下面我们来导出一个求基础解系的简便方法。

为变换上的方便,不妨把线性方程组写成矩阵方程X1×n A n×m=01×m,因n×m矩阵A必有n阶和m阶可逆阵P和
Q,使PAQ=I r　0
0　0
,其中r=秩A,I r为阶单位矩阵,故PA=
I r　0
0　0
Q1=
D r
,这里D r为满秩矩阵。

而n阶可逆矩阵P
的后n-r行必线性无关,且为[0,I n-r]P,这里I n-r为n-r阶单位矩阵。

因[0,I n-r]PA=[0,I n-r]D r
=0。

此示,P的后n
-r行就是(1)的解向量,从而P的后n-r行就是(1)的一个基础解系。

从而我们得到一个求(1)的一个基础解系的简便方法是:
[A n×m,I n]— D r
,P,
其中,D r为一行满秩矩阵,r=秩(A),P为n阶可逆阵,则P的后n-r行即为(1)的一个基础解系。

下面我们用此方法来解上述例题
解:　1 1 3 1　1　0　0　0
-1 1　-1 3　0　1　0　0
　5　-2 8　-9　0　0　1　0
-1 3 1 7　0　0　0　1
—
1 1 3 1 1　0　0　0
0 2 2 4 1　1　0　0
0　-7　-7-14　-5　0　1　0
0 4 4 8 1　0　0　1
1　1　3　1 1 0　0　0 0　2　2　4 1 1　0　0
0　0　0　0　
-3
2
　7
2
　1　0 0　0　0　0　-1　-2　0　1
于是,a1=(-3/2,7/2,1,0)　a2=(-1,-2,0,1)为所求的一个基础解系。

因可逆矩阵可表示成一系列初等矩阵的乘积,由初等矩阵与初等变换的关系及本文的定理即得上述齐次线性方程组的基础解系的一种简便求法。

参考文献:
[1]北京大学数学系.高等代数[M].高等教育出版社,1988.
[2]刘树利等编.计算机数学基础[M].高等教育出版社,2000.
(责任编辑　庞新琴)—
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