高二数学二面角专项练习题及参考答案班级_____________姓名_____________一、定义法：直接在二面角的棱上取一点，分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角. 例1 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。

二、垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例2 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的正切。

三、垂面法：作棱的垂直平面，则这个垂面与二面角两个面的交线所夹的角就是二面角的平面角 例3 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，求B-PC-D 的大小。

四、投影面积法:一个平面α上的图形面积为S ，它在另一个平面β上的投影面积为S'，这两个平面的夹角为θ，则S'=Scos θ或cos θ=/SS .例4 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。

五、补形法：对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。

例5、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。

方法归纳：二面角的类型和求法可用框图展现如下： [基础练习]1． 二面角是指 （ ） A 两个平面相交所组成的图形B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形C 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2．平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能有 （ ） A 1条或2条交线 B 2条或3条交线C 仅2条交线D 1条或2条或3条交线3．在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是( )A 5B 20C 210 D225 4．在直二面角α-l-β中，RtΔABC 在平面α内，斜边BC 在棱l 上，若AB 与面β所成的角为600，则AC 与平面β所成的角为 （ ） A 300 B 450 C 600 D 1200 5．如图，射线BD 、BA 、BC 两两互相垂直，AB=BC=1，BD=26， 则弧度数为3的二面角是（ ） A D-AC-B B A-CD-BC A-BC-D D A-BD-C6．△ABC 在平面α的射影是△A 1B 1C 1，如果△ABC 所在平面和平面α成θ，则有（ ） A S △A1B1C1=S △ABC ·sinθ B S △A1B1C1= S △ABC ·cosθC S △ABC =S △A1B1C1·sinθD S △ABC =S △A1B1C1·cosθ7．如图，若P 为二面角M-l-N 的面N 内一点，PB ⊥l ，B 为垂足，A 为l 上一点，且∠PAB=α，PA 与平面M 所成角为β，二面角M-l-N 的 大小为γ，则有 （ ）A.sinα=sinβsinγB.sinβ=sinαsinγC.sinγ=sinαsinβ D 以上都不对AB C DAB M NP l C1A1B1D8．在600的二面角的棱上有两点A 、B ，AC 、BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，则CD= 。

9．已知△ABC 和平面α，∠A=300，∠B=600，AB=2，AB α，且平面ABC 与α所成角为300，则点C 到平面α的距离为 。

10．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，平面AA 1C 1C 和平面A 1BCD 1所成的二面角（锐角）为 。

11．已知菱形的一个内角是600，边长为a ，沿菱形较短的对角线折成大小为600的二面角，则菱形中含600角的两个顶点间的距离为 。

12．如图，△ABC 在平面α内的射影为△ABC 1，若∠ABC 1=θ，BC 1=a,且 平面ABC 与平面α所成的角为φ，求点C 到平面α的距离13.ΔABC 中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC 外一点P 在平面ABC 内的射影是AB 中点M ，二面角P —AC —B 的大小为45°。

求（1）二面角P —BC —A 的大小；（2）二面角C —PB —A 的大小14．在二面角α-AB-β的一个平面α内，有一直线AC ，它与棱AB 成450角，AC 与平面β成300角，求二面角α-AB-β的度数。

15．若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为a 和a 2，到棱的距离为2a ，则此二面角的度数是 。

16．把等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，若∠BAC=600，则此二面角的度数是 。

17．如图，已知正方形ABCD 和正方形ABEF 所在平面成600的二面角，求直线BD 与平面ABEF 所成角的正弦值。

18．如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：（1）面A 1ABB 1与面ABCD 所成角的大小；（2）二面角C 1—BD —C 的正切值。

ABCDA D C B二面角专项训练例题分析1. 过B 作BH⊥PC 于H ，连结DH DH ⊥PC 故∠BHD 为二面角B-PC-D 的平面角cos ∠BHD ＝()2222226623312266233a a a BH DH BD BH BD a a⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭==-⨯⨯ ，∠BHD= 23π2. PA⊥平面BD ，过A 作AH⊥BC 于H ，连结PH ，则PH⊥BC又AH⊥BC，故∠PHA 是二面角P-BC-A 的平面角，在Rt△PHA 中，tan∠PHA=PA/AH=22aa = 3.过BD 作平面BDH ⊥PC 于H ∠BHD 为二面角B-PC-D 的平面角. 图及计算同例1 4. AD ⊥面PBA 于A ，BC ⊥平面BPA 于B ，故△PBA 是△PCD 在平面PBA 上的射影 设平面PBA 与平面PDC 所成二面角大小为θ，则cosθ=22PBA PCD s S ∆∆=θ=45°5．将四棱锥P-ABCD 补形得正方体ABCD-P 1A 1B 1C 1，则面PAB ∩面PCD= P C 1 ，且PC 1⊥PA 、P C 1⊥PD ，于是∠APD 是两面所成二面角的平面角。

在Rt △PAD 中，PA=AD ，则∠APD=45°。

即平面BAP 与平面PDC 所成二面角的大小为45°。

[参考答案]1—7 DDBA ABB 8. 7cm 9.43 10.3π11.a 23 12.ϕθtg a sin 13? 13. 45014. 700或165015. 90016.正弦值为46 17.(1)900(2)正切值为2二面角专项训练参考答案1. AB=AD=a PA AB PA AD PB PD AB AD a ⊥⎫⎪⊥⇒=⎬⎪==⎭，PB PD BC DC PBD PDC PC PC =⎫⎪=⇒∆≅∆⎬⎪=⎭过B 作BH ⊥PC 于H ，连结DHDH ⊥PC 故∠BHD 为二面角B-PC-D 的平面角 因PB=2a,BC=a,PC=3a,12PB·BC=S △PBC=12PC·BH 则BH=3a=DH 又BD=2a 在△BHD 中由余弦定理，得：cos ∠BHD ＝()2222226623312266233a a a BH DH BD BH BD a a⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭==-⨯⨯ 又0＜∠BHD ＜π 则∠BHD=23π ，二面角B-PC-D 的大小是23π。

2解：（三垂线法）如图 PA⊥平面BD ，过A 作AH⊥BC 于H ，连结PH ，则PH⊥BC又AH⊥BC，故∠PHA 是二面角P-BC-A 的平面角， 在Rt△ABH 中，AH=ABsin∠ABC=aSin30°=2a 在Rt△PHA 中，tan∠PHA=PA/AH=22aa = 3解（垂面法）如图 PA⊥平面BD BD⊥AC BD ⊥BC 过BD 作平面BDH ⊥PC 于HPC ⊥DH 、BH∠BHD 为二面角B-PC-D 的平面角，jA BCDH因PB=2a,BC=a,PC=3a, 12PB·BC=S △PBC=12PC·BH 则BH=3a=DH ， 又BD=2a 在△BHD 中由余弦定理，得： cos ∠BHD＝()2222226623312266233a a a BH DH BD BH BD a a⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭==-⨯⨯ 又0＜∠BHD ＜π 则∠BHD=23π ，二面角B-PC-D 的大小是23π。

4 解（面积法）如图AD PA AD AB AD PBA A PA AB A ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪=⎭于同时，BC ⊥平面BPA 于B ，故△PBA 是△PCD 在平面PBA 上的射影 设平面PBA 与平面PDC 所成二面角大小为θ，则cosθ=22PBA PCD s S ∆∆=θ=45°5解（补形化为定义法）如图将四棱锥P-ABCD 补形得正方体ABCD-P 1A 1B 1C 1，则P C 1⊥PA 、PD ，于是∠APD 是两面所成二面角的平面角。

在Rt △PAD 中，PA=AD ，则∠APD=45°。

即平面BAP 与平面PDC 所成二面角的大小为45°jA B CDPH C1A1B1D。