第9章 电磁感应9－1在通有电流I=5A 的长直导线近旁有一导线ab ，长l =20cm ，离长直导线距离d=10cm （如图）。
当它沿平行于长直导线的方向以v =10m/s 速率平移时，导线中的感应电动势多大？a 、b 哪端的电势高？解：根据动生电动势的公式E =⎰⋅⨯Ll B v d )(E 3ln 22030100πμ=πμ=⎰Ivx dx IvV 57101.13ln 2105104--⨯=π⨯⨯⨯π=方向沿x 轴负向，a 电势高。
9－2平均半径为12cm 的4×103匝线圈，在强度为0.5G 的地磁场中每秒钟旋转30周，线圈中可产生最大感应电动势为多大？如何旋转和转到何时，才有这样大的电动势？解：t NBS ω=ϕcos ，电动势的大小为E t NBS dtd ωω=ϕ=sin E max n r NB ππ=22V 7.1302)1012(105.01042243=⨯π⨯⨯⨯π⨯⨯⨯⨯=--9－3如图所示，长直导线中通有电流I=5A 时，另一矩形线圈共1.0×103匝，a=10cm ，长L=20cm ，以v =2m/s 的速率向右平动，求当d=10cm 时线圈中的感应电动势。
解：1010ln 2102010100+πμ=+πμ=ϕ⎰+x IL N x dx IL Nx电动势的大小为E dtd ϕ=dt dx x IL N 10120+πμ=1020+πμ=x vIL NE x=d=10=V 373102)1010(225104100.1--⨯=+π⨯⨯⨯π⨯⨯9－4若上题中线圈不动，而长导线中，通有交流电i =5sin100πt A ，线圈内的感生电动势将多大？解：2ln 210201010100πμ=+πμ=ϕ⎰+iLN x dx iL Nvxo电动势的大小为E dt d ϕ=dt di L N ⨯πμ=2ln 20dtdi L N ⨯πμ=2ln 20t L N ππ⨯⨯πμ=100cos 10052ln 20t ππ⨯π⨯⨯π⨯⨯=-100cos 5002ln 22104100.173)(100cos 1035.42V t π⨯=-9－5一长为L 的导体棒CD ，在与一均匀磁场垂直的平面内，绕位于L/3处的轴以匀角速度ω沿反时针方向旋转，磁场方向如图所示，磁感应强度为B ，求导体棒内的感应电动势，并指出哪一端电势高？解：根据动生电动势的公式E =⎰⋅⨯Ll B v d )(E -ω=⎰L dr Br 320⎰ωL dr Br 310⎰ω=L L dr Br 3231261L B ω= c 点电势高9－6如图两端导线ab=bc=10cm ，在b 处相接而成300角。
若使导线在匀强磁场中以速率v =1.5m/s 运动，磁场方向垂直图面向内，B=2.5×10－2T ，问ac 间的电势差是多少？哪端电势高？解：ab 边不切割磁场线，不产生感应电动势， bc 边产生感应电动势为E ＝21105.25.1101030sin 22⨯⨯⨯⨯⨯=--vB bcV 31088.1-⨯=c 点电势高9－7在通有电流I 的无限长直导线附近，有一直角三角形线圈ABC 与其共面，并以速度v 垂直于导线运动，求当线圈的A 点距导线为b 时，线圈中的感应电动势的大小及方向。
已知AB=a ，∠ACB=θ。
解：AB 边不切割磁场线，不产生感应电动势， BC 边产生感应电动势为 E BC ＝θ+πμ=actg a b IvBC Bv )(20AC 边产生感应电动势为 E AC ＝θ+πμ⎰cos 1200a dl x b Iv ⎰+θπμ=a xb dx ctg Iv002 bba ctg Iv +θπμ=ln 20习题9－5图习题9－6图习题9－7图E ＝)(ln 20ab ab b a ctg Iv +-+θπμ方向顺时针9－8 在水平放置的光滑平行导轨上，放置质量为m 的金属杆，其长度ab=l ，导轨一端由一电阻R 相连（其他电阻忽略），导轨又处于竖直向下的均匀磁场B 中，当杆以初速v 0运动时，求（1）金属杆能移动的距离；（2）在此过程中R 所发出的焦耳热。
解：（1）依题意，根据牛顿定律有dxvdvm dt dv m R l vB IBl F -=-===22分离变量积分220220lB mRv x dv v m dx mRl vB v x=→-=⎰⎰（2）2021mv Q =9－9均匀磁场B 被局限在圆柱形空间，B 从0.5T 以0.1T/s 的速率减小。
（1）试确定涡旋电场电场线的形状和方向；（2）求图中半径为r=10cm 的导体回路内各点的涡旋电场的电场强度和回路中的感生电动势；（3）设回路电阻为2Ω，求其感应电流的大小；（4）回路中任意两点a 、b 间的电势差为多大？（5）如果在回路上某点将其切断，两端稍微分开，问此时两端的电势差多大？ 解：（1）顺时针 （2）dt d d ϕ=⋅⎰Ll E ＝dtdB r 2π可得dtdB r E 2=r=10cm 时：m V E /1051.02101032--⨯=⨯⨯=E ＝dt d d ϕ=⋅⎰Ll E ＝dtdB r 2π＝3.14×（10×10－2）2×0.1＝3.14×10－3V ，方向顺时针 （3）A R I 331057.121014.3--⨯=⨯=ε= （4）回路中任意两点a 、b 间的电势差为022=πε-πε=-ε=ab ab ab ab ab l rR R l r IR V （5）断开时，电流I=0，开路电压即为电源电动势V ab =E ＝－3.14×10－3Vv 0习题9－8图习题9－9图b aR abE abI9－10均匀磁场B (t)被限制在半径为R 的圆柱形空间，磁场对时间的变化率为dB/dt ，在与磁场垂直的平面内有一正三角形回路aob ，位置如图所示，试求回路中的感应电动势的大小。
解：B R BS 261π==ϕ，回路中的感应电动势的大小为 E dt d ϕ=dtdB R BS 261π==ϕ9－11如图所示，在与均匀磁场垂直的平面内有一折成α角的V 形导线框，其MN 边可以自由滑动，并保持与其它两边接触，今使MN ⊥ON ，当t=0时，MN 由O 点出发，以匀速v 平行于ON 滑动，已知磁场随时间的变化规律为B(t)＝t 2/2，求线框中的感应电动势与时间的函数关系。
解：依题意图中三角形面积的磁通量为B tg x BS α==ϕ2214241t tg v ⋅α= 三角形回路中的感应电动势的大小为 E dtd ϕ=32t tg v ⋅α= 方向逆时针9－12一半径为R ，电阻率为ρ的金属薄圆盘放在磁场中，B 的方向与盘面垂直，B 的值为B(t)=B 0t/τ，式中的B 0和τ为常量，t 为时间。
（1）求盘中产生的涡电流的电流密度；（2）若R=0.20m ，ρ=6.0×10-8Ω·m ，B 0=2.2T ，τ=18.0s ，计算圆盘边缘处的电流密度。
解：（1）与o 距离为r （r<R ）处的感生电场为dtdB r E 2=τ=02B r 此处的电流密度r B Ej ρτ=ρ=20 （2）边缘处r=R ，2580/1004.218100.622.02.22m A R B j ⨯=⨯⨯⨯⨯=ρτ=-9－13法拉第圆盘发电机是一个在磁场中转动的导体圆盘。
设圆盘的半径为R ，它的轴线与均匀外磁场B 平行，它以角速度ω绕轴线转动，如图所示。
（1）求盘边缘与盘心间的电势差；（2）当R=15cm ， B=0.6T ，转速为每秒30圈时，盘边缘与盘心间的电势差为多少？（3）盘边与盘心哪处电势高？当盘反转时，它们电势的高低是否也会反过来？解：（1）盘可视为无数根长为R 的细棒并联而成，并联一端在盘心，一端在盘边缘2021R B dr Br V rω=ω=⎰2221nR B π=2nR B π= （2）当R=15cm ， B=0.6T ，转速为每秒30圈时，盘边缘与盘心间的电势差为V V 27.1)1015(3014.36.022=⨯⨯⨯⨯=-习题9－10图习题9－11图 ωB R习题9－13图（3）盘边电势高，当盘反转时，它们电势的高低 也会反过来，即此时盘心电势高9－14 两根平行长直导线，其中心线距离为d ，载有等值反向电流I （可以想象它们在相当远的地方汇合成一单一回路），每根导线的半径为a ，如果不计导线内部磁通的贡献，试求单位长度的自感系数。
解：对图中阴影部分的磁通量为⎰⋅=ϕSS B ddx xd x Il ad a)11(20-+πμ=⎰- )1单位长度( ln 0=-πμ=l aad I9－15 两圆形线圈共轴地放置在一平面内，它们的半径分别为R 1和R 2，且R 1>>R 2，匝数分别为N 1和N 2，试求它们的互感。
（提示：可认为大线圈中有电流时，在小线圈处产生的磁场可看作是均匀的）解：大线圈圆电流在其圆心处产生的磁场为1012R IN B μ= 因为R 1>>R 2，所以可认为其穿过小线圈的磁通量为222R BN π=ϕ2210212R R I N N πμ= IM ϕ=2210212R R N N πμ=9－16在如图所示的电路中，线圈II 连线上有一长为l 的导体棒CD ，可在垂直于均匀磁场B 的平面内左右滑动并保持与线圈II 连线接触，导体棒的速度与棒垂直。
设线圈I 和II 的互感系数为M ，电阻为R 1和R 2。
分别就以下两情形求通过线圈I 和II 的电流：（1）CD 以匀速v 运动；（2）CD 由静止开始以加速度a 运动。
解：（1）CD 以匀速v 运动时111R BvlR I =ε=,I 1是恒量，故I 2=0 （2）CD 由静止开始以加速度a 运动111R Blat R I =ε=,I 1是时间的函数，故I 2不为零习题9－15图II I习题9－16图I I习题9－14图x112R Bla M dt dI M==ε， a R R MBlR I 21222=ε=9－17矩形截面螺绕环的尺寸如图，总匝数为N 。
（1）求它们的自感；（2）当N ＝1000匝，D 1=20cm ，D 2=10cm ，h=1.0cm 时自感为多少？解：（1）根据安培环路定理∑⎰μ=⋅I d 0Ll BrNIB NI r B πμ=→μ=π2200，穿过线圈的磁链数为 ⎰⋅=ψSS B N d dr r h I N D D 121220⎰πμ= ln 22120D D Ih N πμ=I L ψ= ln 22120D D h N πμ=（2）当N ＝1000匝，D 1=20cm ，D 2=10cm ，h=1.0cm 时自感为H L 3-227101.39 1020ln 2100.1)1000(104⨯=π⨯⨯⨯⨯π=--9－18 在长60cm 、直径5.0cm 的空心纸筒上绕多少匝导线，才能得到自感系数为6.0×10－3H 的线圈？解：穿过线圈的磁链数为BNS =ψI lNr N 02μπ=I l r N 0220μπμ=I L ψ=200.1)105.2(104106010062723200220=⨯⨯π⨯⨯π⨯⨯⨯⋅=πμ=→μπμ=---rLl N l r N 匝9－19如图，两长螺线管同轴，半径分别为R 1和R 2（R 1>R 2），长度为l （l >>R 1和R 2）， 匝数分别为N 1和N 2。