1 1 1 1 n + + +L+ = . 2× 4 4× 6 6×8 2n(2n + 2) 4(n + 1) =1时 证明 （1）当n=1时，等式左边 = 1 = 1 , 2× 4 8 1 1 所以等式成立. 等式右边 = = , 所以等式成立. 4(1 + 1) 8 假设n 时等式成立， （2）假设n=k（k∈N+）时等式成立，
1 1 1 k + +L+ = 即 成立, 2× 4 4× 6 2k (2k + 2) 4(k + 1)
那么当n +1时 那么当n=k+1时，
1 1 1 1 1 + + +L+ + 2× 4 4×6 6×8 2k (2k + 2) 2(k + 1)[2(k + 1) + 2]
k 1 = + 4( k + 1) 4(k + 1)(k + 2) k ( k + 2) + 1 (k + 1) 2 = = 4( k + 1)(k + 2) 4(k + 1)(k + 2) k +1 = , 4[(k + 1) + 1] 即n=k+1时等式成立. +1时等式成立. 时等式成立 等式均成立. 由（1）（2）可知，对任意n∈N+等式均成立. ）（2 可知，对任意n
题型二
【例2 】
用数学归纳法证明整除问题 用数学归纳法证明a +(a 用数学归纳法证明an+1+(a+1)2n-1 (n∈N+） （1）当n=1时， =1时
能被a +1整除 整除. 能被a2+a+1整除. 解 +(a+1)=a +1可被 可被a +1整除 整除. a2+(a+1)=a2+a+1可被a2+a+1整除. （2）假设n=k(k∈N+)时， 假设n ak+1+(a+1)2k- 能被a2+a+1整除， a2+a+1整除 ak+1+(a+1)2k-1能被a2+a+1整除， 则当n=k+1 n=k+1时 则当n=k+1时， ak+2+(a+1)2k+1=a·ak+1+(a+1)2(a+1)2kak+2+(a+1)2k+1=a·ak+1+(a+1)2(a+1)2k-1 =a·ak+1+a·(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k=a·ak+1+a·(a+1)2k-1+(a2+a+1)(a+1)2k-1 =a［ak+1+(a+1)2k+(a2+a+1)(a+1)2k=a［ak+1+(a+1)2k-1］+(a2+a+1)(a+1)2k-1, 由假设可知a ak+1+(a+1)2k能被a2+a+1整除， a2+a+1整除 由假设可知a［ak+1+(a+1)2k-1］能被a2+a+1整除， (a2+a+1)(a+1)2k- 也能被a2+a+1整除， a2+a+1整除 (a2+a+1)(a+1)2k-1也能被a2+a+1整除， ak+2+（a+1）2k+1也能被a2+a+1整除 也能被a2+a+1整除， ∴ak+2+（a+1）2k+1也能被a2+a+1整除， n=k+1时命题也成立 时命题也成立， 即n=k+1时命题也成立， 对任意n∈N+原命题成立. n∈N+原命题成立 ∴对任意n∈N+原命题成立.
2k 2 + 3k + 1 k +1 k +1 = = = (2k + 1)(2k + 3) 2k + 3 2(k + 1) + 1
所以当n +1时 等式也成立. 所以当n=k+1时,等式也成立. 等式都成立. 由（1）（2）可知,对一切n∈N+等式都成立. ）（2 可知,对一切n
探究提高 用数学归纳法证明与正整数有关的一 些等式时，关键在于“先看项” 些等式时，关键在于“先看项”，弄清等式两边
1 4 5 假设n ≥2,且 （2）假设n=k (k≥2,且k∈N+= 时不等式成立， . )时不等式成立， 1 + = ; 右边 = 3 3 2 1 1 1 2k + 1 即(1 + )(1 + )L (1 + . )> 3 5 2k − 1 2
则当n +1时 则当n=k+1时， 1 1 1 1 (1 + )(1 + )L (1 + ) 1 + 3 5 2k − 1 2(k + 1) − 1 2k + 1 2k + 2 2k + 2 4k 2 + 8k + 4 > ⋅ = = 2 2k + 1 2 2 k + 1 2 2k + 1 2(k + 1) + 1 4 k 2 + 8k + 3 2 k + 3 2k + 1 > = = . 2 2k + 1 2 2k + 1 2 ∴当n=k+1时，不等式也成立. +1时 不等式也成立. 由（1）（2）知，对于一切大于1的自然数n,不等 ）（2 对于一切大于1的自然数n 式都成立. 式都成立.
题型分类 深度剖析
题型一 用数学归纳法证明等式 用数学归纳法证明: 【例1 】 用数学归纳法证明: 1 1 1 + +L+ = 对任意的n 对任意的n∈N+, 1× 3 3 × 5 (2n − 1)(2n + 1) n . 2n + 1
证明 (1)当n = 1时, 左边 =
1 1 = , 1× 3 3
§13.5 数学归纳法 基础知识 自主学习
要点梳理
1.归纳法 1.归纳法 由一系列有限的特殊事例得出 一般结论的推理 方法叫归纳法.根据推理过程中考查的对象是涉 方法叫归纳法. 及事物的全体或部分可分为 完全 归纳法和 不完 归纳法. 全 归纳法.
2.数学归纳法 2.数学归纳法 (1)数学归纳法： (1)数学归纳法：设{Pn}是一个与正整数相关的 数学归纳法 命题集合，如果①证明起始命题P 命题集合，如果①证明起始命题P1（或P0) 成立； 在假设P 成立的前提下，推出P 成立；②在假设Pk成立的前提下，推出Pk+1 也成立，那么可以断定{ 对一切正整数成立. 也成立，那么可以断定{Pn}对一切正整数成立. (2)数学归纳法证题的步骤 (2)数学归纳法证题的步骤 ①(归纳奠基)证明当n取第一个值 n=n0 时,命题 归纳奠基)证明当n 成立. 成立. ②(归纳递推）假设 n=k (k≥n0,k∈N+)时命题 归纳递推） 成立， 时命题也成立. 成立，证明当 n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n 只要完成这两个步骤就可以断定命题对从n0开始 的所有正整数n都成立. 的所有正整数n都成立.
n4 + n2 5.用数学归纳法证明1+2+3+…+n 用数学归纳法证明1+2+3+…+ ,则当 5.用数学归纳法证明1+2+3+…+n2= ,则当 2 +1时左端应在 时左端应在n 的基础上加上( n=k+1时左端应在n=k的基础上加上( C )
பைடு நூலகம்
A.k A.k2+1 B.（ +1） B.（k+1）2
基础自测
1 − a n+2 1.用数学归纳法证明 用数学归纳法证明： 1+a +…+a 1.用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+an+1 = 1− a ≠1)”在验证 =1时 在验证n (a≠1)”在验证n=1时，左端计算所得的项
为( C ) A.1 C.1+a C.1+a+a2
B.1+a B.1+a D.1+a D.1+a+a2+a3
n=k+1时该命题也成立.因而若n=4成立，必有 +1时该命题也成立.因而若n=4成立， 时该命题也成立 成立 n=5成立.现知n=5不成立，所以n=4一定不成立. =5成立.现知n=5不成立，所以n=4一定不成立. 成立 不成立 一定不成立 方法二 其逆否命题“若当n +1时该命题不成 其逆否命题“若当n=k+1时该命题不成 立，则当n=k时也不成立”为真，故“n=5时不 则当n 时也不成立”为真， =5时不 成立” 成立”“n=4时不成立”. =4时不成立” 时不成立
4.某个命题与自然数n有关， 4.某个命题与自然数n有关，若n=k(k∈N+)时命题 某个命题与自然数 成立，那么可推得当n +1时该命题也成立， 成立，那么可推得当n=k+1时该命题也成立，现 时该命题也成立 已知n=5时 该命题不成立,那么可以推得( 已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得( C ) A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 A.n=6时该命题不成立 B.n=6时该命题成立 C.n=4时该命题不成立 C.n=4时该命题不成立 解析 方法一 D.n=4时该命题成立 D.n=4时该命题成立 成立, 由n=k(k∈N+)成立,可推得当