第十章曲线积分曲面积分练习题A 组一.填空题1. 设L 是 122=+y x 上从)0,1(A 经)1,0(E 到)0,1(-B 的曲线段，则⎰Lydy e 2=2.设⋂MN 是从M(1,3) 沿圆 2)2()2(22=-+-y x 至点 )1,3(N 的半圆，则积分⎰⋂+MNxdy ydx =3. L 是从)6,1(A 沿6=xy 至点)2,3(B 的曲线段，则⎰++Ly x xdy ydx e )( =4. 设L 是从)0,1(A 沿1222=+y x 至点2,0(B )的曲线段，则⎰+Ly x y x dy ye dx xe 222 =5. 设L 是 2x y = 及 1=y 所围成的区域D 的正向边界，则⎰+Ldx y x xy )(33 + dy y x x )(242+ = 6. 设L 是任意简单闭曲线，b a ,为常数，则⎰++L bdy adx )( =7. 设L 是xoy 平面上沿逆时针方向绕行的简单闭曲线，且9)34()2(=++-⎰dy y x dx y x L，则L 所围成的平面区域D 的面积等于8. 常数 k = 时， 曲线积分⎰+Ldy x kxydx 2与路径无关。

9.设是球面 1222=++z y x ，则对面积的曲面积分⎰⎰∑++ds z y x 222 =10.设L 为)0,0(o , )0,1(A 和)1,0(B 为顶点的三角形围成的线， 则对弧长的曲线积分⎰Lds =11. 设L 是从点)1,1(到)3,2(的一条线，则⎰-++Ldy y x dx y x )()(=12. 设L 是圆周 t a x cos =, t a y sin = )20(π≤≤t ，则⎰+LdS y x 322)(=13. 设为曲面2222a z y x =++， 则⎰⎰∑dS z y x 222=二、选择题1．设→→+=j y x Q i y x P A ),(),(，D y x ∈),(且P ,Q 在域D 内具有一阶连续偏导数，又L ：⋂AB 是D 内任一曲线，则以下四个命题中，错误的是（ ）A ．若⎰+LQdy Pdx 与路径无关，则在D 内必有yPx Q ∂∂≡∂∂ B ．若⎰⋅Lds A 与路径无关，则在D 内必有单值函数),(y x u ，使得dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=C ．若在D 内yPx Q ∂∂≡∂∂，则必有⎰L ds A ·与路径无关。

D ．若对D 内每一闭曲线C ，恒有⎰+CQdy Pdx ，则⎰+LQdy Pdx 与路径无关。

2．已知2)()(y x ydydx ay x +++为某函数的全微分，又为与路径无关的曲线积分被积函数，则a 等于（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2 3、设曲线积分()dx x y dx xy Lφ+⎰2与路径无关，其中()x φ具有连续导数，且()00=φ，则()()()dy x y dx xy φ+⎰1,10,02=（ ）A ．3/8B ．1/2C ．3/4D ．14．设S 是平面4=++z y x 被圆柱面122=+y x 截出的有限部分，则曲面积分⎰⎰Syds 的值是（ ）A ．0 ;B ．343; C ． 34; D ． 5.设空间区域Ω由曲面222y x a z --=与平面0=z 围成，其中a 为正的常数，记Ω的表面外侧为S ，Ω的体积为V ，则()dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz xS ++-⎰⎰12222= （ ）A ．0B ．VC ．2VD ．3V 6. 已知曲线C ：122=+y x 逆时针方向一周，则⎰+-Cy x ydxxdy 22=（ ）A. 0；B. π2；C. π2-；D. π7. 已知∑为平面1=++z y x 在第一卦限内的下侧曲面，则⎰⎰∑++dxdy z y x )(22=（ ） A. ⎰⎰-+--+-xdy y x y x dx 10221)1(； B.⎰⎰-+--+xdy y x y x dx 10221)1(C.⎰⎰-+--+xdx y x y x dy 10221)1(； D. ⎰⎰-++-x dy z y x dx 102210)(8. 单连通区域G 内),(y x P ，),(y x Q 具有连续的一阶偏导数，则曲线积分⎰+LQdy Pdx 与路径无关的充要条件是（ ）A 在G 内有一闭曲线 ，使⎰=+γ0Qdy Pdx ；B 在G 内有恒有xy Qy x P ∂∂∂=∂∂∂22 C. 在G 内有另一曲线C ，使⎰⎰+=+LCQdy Pdx Qdy Pdx ；D. 在G 内有恒有yPx Q ∂∂=∂∂ 9. 设为平面1432=++zy x 在第一卦限内的部分，则⎰⎰∑++dS y x z )342(=（ ） A⎰⎰-)1(30224x dy dx ； B.⎰⎰⋅20304361dy dx ； C.⎰⎰⋅30204361dy dx ； D. ⎰⎰-)1(302023614x dy dx 10. 设L ：12222=+by a x ，则⎰+-L y x ydx xdy 22（ ）A. 与L 取向无关，与b a ,大小有关；B. 与L 取向无关，与b a ,大小无关；C. 与L 取向有关，与b a ,大小有关；D. 与L 取向有关，与b a ,大小无关； 三、计算题1. 计算曲线积分⎰++Ldy x y xdx )(2，其中L 是圆周122=+y x 在第一象限中的部分，依逆时针方向。

2. 计算⎰⎰∑++dxdy ydzdx xdydz 2，其中∑是上半球面222y x a z --=上侧3. 设L 是由63232=++y xy x 所表示的正向椭圆，计算 I = ⎰+++Ldy y xy dx y x )32()3(222 4．计算⎰-L y x ds，L 是点)2,0(-A 与)0,4(B 直线段5．计算()ds y x L⎰+，L 是以)0,0(O ，)0,1(A ，)1,0(B ，为顶点的三角形闭回路。

6．计算ds y x L⎰+22，L 为圆周Rx y x =+227．计算ds xy L⎰，L 是圆周222R y x =+的闭路8.计算⎰+Ldy x xydx 22，L 分别为下列三种情形。

1）从点)0,0(O 经x y =到)1,1(A 2）从点)0,0(O 经2x y =到)1,1(A 3）从点)0,0(O 经3x y =到)1,1(A9．计算()d yy x L⎰+22，L 是由直线1=x ,1=y ,3=x ,5=y 围成的逆时针闭路。

10．计算⎰→L dSF ，其中→→→+-=j x i y F ,L 是由x y =,1=x 及0=y 所围成的三角形逆时针闭路。

11．计算xydy dx x y L 21++⎰，L 是由2x y =与x y =，所围成的逆时针闭路。

12.计算()()dy y x dx y xL2222+-+⎰，L 是以)0,0(,)0,1(,)1,0(为顶点的三角形正向闭路。

13.计算()()dy y x dx y x L 22--+⎰，L 是沿椭圆12222=+by a x 的正向闭路。

14.计算()22x y z ds ++⎰⎰∑，∑：平面1=++z y x 15.计算⎰⎰∑++ds z y x )342(，：1432=++z y x 在第一卦限16计算ds x ⎰⎰∑，∑：2222R z y x =++在第一卦限部分。

四．应用题1.利用曲线积分，求曲线所围图形的面积。

椭圆t x cos 34+=,t y sin 42+=2.设半径为r 的球面∑的球心在定球面2222a z y x =++ (0>a )上, 问当r 取何值时, 球面∑在定球面内部的哪部分面积最大3．在过点)0,0(O 和)0,(πA 的曲线族x a y sin = ,(0>a )中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 的积分()()⎰+++Ldy y x dx y 213的值最小4.求⎰⋂-+-ANCx xdym y e dx my y e)cos ()sin (，式中⋂ANC 为由)0,(a A 至)0,0(O 的ax y x =+22 ()0>a设)(x f 连续可导，求dy xy f y y x dx y xy f y C ]1)([)(1222-++⎰，式中C 是从)32,3(A 到)2,1(B 的直线段。

五 证明题1. 设函数f(x)在( -,+)内具有一阶连续导数，L 是上半平面)0(>y 内的有向分段光滑曲线，其起点为),(b a ，终点为),(d c ，记dy xy f y y x dx xy f y y I C ]1)([)]([1222-++=⎰ （1） 证明曲线积分I 与路径L 无关；（2）当cd ab =时，求I 的值2. 设L 2是包含坐标原点在内的任意光滑无重点闭回路，对于它所围成的区域来说取正向，试证：⎰=+-2222L y x ydxxdy π。

A 组答案一、1. 0；2. 0；3. 0提示：)(xy d xdy ydx =+ ；,提示：)2(222y x d ydy xdx +=+；5. 3/10；6. 0；7. 3/2；8. 2；9. π4；10. 22+；11.25；12. 72a π；； 二、 2、D 3、B 4、A 5、B 6. B ；7. A ；8. D ；9. D ；10. D三、1、32a π 3、0 42 5、1+ 6、2R 2 7、32R8、1 9、32 10、1 11、4130-+2ln 2 12、-1 13、2ab π-14 15、 16、34R π四、1、12π 2、2432327S a a π⎛⎫=⎪⎝⎭ 3、sin y x = ()0x π≤≤是使曲线积分的为最小的曲线。

4、218a m π 5、-4 B 组一、填空题：1、设L 是顺时针方向的椭圆1422=+y x ,其周长为l ,则=++⎰L dS y x xy )4(22 . 2、设曲线C 为R z x R z y x =+=++与2222的交线，从原点看去C 的方向为顺时针方向，则=++⎰Cxdz zdy ydx .3、计算⎰CdS x 2，其中⎩⎨⎧=++=++0:2222z y x R z y x C .4、设r =()div gradr = .5、设S 为曲面2221x y z ++=的外侧，则222sI x dydz y dxdz z dxdy =++⎰⎰Ò= . 二、解答题：6、计算⎰+-Cyx ydx xdy 22，C 为逆时针方向绕圆周122=+y x 一圈的路径。