第十章 曲线曲面积分§10．1对弧长的曲线积分一、选择题1. 设曲线弧段AB 为，则曲线积分有关系( ).(A)(,)d (,)d ABBAf x y s f x y s =-⎰⎰； (B)(,)d (,)d ABBAf x y s f x y s =⎰⎰；(C)(,)d (,)d 0ABBAf x y s f x y s +=⎰⎰；(D)(,)d (,)d ABBAf x y s f x y s=--⎰⎰．答(B).2. 设有物质曲线23:,,(01),23t t C x t y z t ===≤≤其线密度为ρ它的质量M =( ).(A)10t ⎰; (B)10t t ⎰;(C)t⎰; (D)t⎰.答(A).3.设OM 是从(0,0)O 到(1,1)M 的直线段,则与曲线积分OMI s =⎰不相等的积分是( ).(A)10x ⎰; (B)10y ⎰;(C)d r r⎰;(D)10e r⎰答(D).4 .设L 是从(0,0)A 到(4,3)B 的直线段,则曲线积分()d Lx y s -=⎰( ).(A)403d 4x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰; (B)303d 4y y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭⎰;(C)3034y y y⎛- ⎝⎰;(D)4034x x x ⎛- ⎝⎰.答(D).5. 设L 为抛物线2y x =上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧,则曲线积分s =⎰( ).(A)x ⎰; (B)y ⎰;(C)10x⎰; (D)y⎰.答(C).6. 设L 是从(1,0)A 到(1,2)B -的直线段,则曲线积分()d L x y s +=⎰( ).(A); (B)2; (C); (D).答(D).二、填空题1. 设L 是圆周221x y +=,则31d L I x s =⎰与52d L I x s =⎰的大小关系是.答:12.I I =2. 设L 是连接(1,0)A 与(0,1)B 两点的直线段, 则()d L x y s +=⎰..3.设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d n Lx y s +=⎰. 答：212a aπ+.4. 设:cos ,sin (02),L x a t y a t t π==≤≤则22()d L x y s -=⎰.答：0.5. 设L 是圆周221x y +=,则2d L I x s ==⎰.答：π.6. 设:cos ,sin ,t t t x e t y e t z e Γ===,上相应于t 从0变到2的这段弧,则曲线积分22()d L x y s -=⎰.答2)e --. 7. 设L 为曲线24y x =上从点(0,0)A 到点(1,2)B 的弧段, 则L s =⎰.答：3. 三、解答题1.计算下列对弧长的曲线积分：(1) d L x s ⎰其中为由直线y x =与抛物线2y x =所围区域的整个边界.答：11)12. (2) 22d x y L es +⎰其中L 为圆周222x y a +=，直线y x =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.答： 2 2.4a a e π⎛⎫+-⎪⎝⎭(3) 2d x yz s Γ⎰，其中Γ为折线ABCD ，这里,,,A B C D 依次为点(0,0,0)、(0,0,2)、(1,0,2)、(1,3,2).答：9. (4)2d Ly s⎰其中L为摆线一拱(sin ),(1cos )(02)x a t t y a t t π=-=-≤≤.答： 34232.53a ⋅⋅(5) 22()d L x y s +⎰其中L 为曲线(cos sin )(sin cos )x a t t t y a t t t =+⎧⎨=-⎩(02)t π≤≤.答： 2322(12).a ππ+§10．2对坐标的曲线积分 一、选择题1. 设AB为由(0,)A π到(,0)B π的直线段,则sin d sin d ABy x x y +=⎰( ).(A)2; (B)1-; (C);(D)1.答(C).2. 设C表示椭圆22221x y a b +=,其方向为逆时针,则2()d Cx y x +=⎰( ).(A)ab π; (B)0; (C)2a b +; (D)1. 答(B).3. 设C 为由(1,1)A 到(2,3)B 的直线段,则(3)d (2)d Cx y x y x y +++=⎰( ).(A)21[(2)(23)]d x x x x x +++⎰； (B)21[(21)(213)]d x x x x x +-+-+⎰(C)21[(73)2(51)]d x x x-+-⎰;(D)21[(73)(51)]d x x x-+-⎰. 答(C).4. 设曲线C 的方程为x y ==(0)2t π≤≤,则22d d C x y y y x x -=⎰( )(A)20[cos sin t π⎰； (B)2220(cos sin )d t t t π-⎰(C)220cos sin ππ⎰⎰;(D)201d 2tπ⎰.答(D).5. 设()f u 连续可导,L 为以原点为心的单位圆,则必有( ).(A)22()(d d )0Lf x y x x y y ++=⎰；(B)22()(d d )0Lf x y x y y x ++=⎰(C)22()(d d )0Lf x y x y y ++=⎰;(D)22()(d d )0Lf x y x x y ++=⎰.答(A).6. 设C 是从(0,0)O 沿折线11y x =--到(2,0)A 到的折线段,则d d C x y y x -=⎰( )(A)0;(B)1-; (C)2-; (D)2.答(C).二、填空题1. L 为xoy 平面内直线x a=上的一段,则(,)d LP x y x =⎰.答：0. 2. 设L 为2y x =上从(0,0)O 到(2,4)A 的一段弧,则22()d Lx y x -=⎰.答：5615-.3. 设L 为2y x =上从(0,0)O 到(2,4)A 的一段弧,则22()d Lx y y -=⎰.答：403-.4．L 为圆弧y =上从原点到(2,2)A 的一段弧,则d Lxy y =⎰.答：43.5．设L 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限的区域的整个边界(按逆时针方向绕行),则d L xy y =⎰.答：32a π-.6．设(2)d (23)d 9L x y x x y y -++=-⎰,其中L 为xoy 平面上简单闭曲线,方向为逆时针.则L 所围成的平面区域D 的面积等于.答：32.三、解答题1．计算()d ()d L x y x y x y ++-⎰,其中L 为: (1) 抛物线2y x =上从(1,1)到(4,2)的一段弧; (2) 从点(1,1)到点(4,2)的一直线段;(3) 先沿直线从点(1,1)到点(1,2),然后再沿直线到点(4,2)的折线;(4) 曲线2221,1x t t y t =++=+上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧.答案：3432(1);(2)11;(3)14;(4).332．计算d d L y x x y +⎰其中L 为圆周cos ,sin x R t y R t ==上对应t 从0到2π的一段弧.答：0.3．计算22()d ()d L x y x x y yx y+--+⎰,其中L 为圆周222x y a +=(方向按逆时针).答：2π-.4．计算d d (1)d x x y y x y z Γ+++-⎰其中Γ为从点(1,1,1)到点(2,3,4)的直线段.答：13.5. 计算22(2)d (2)d L x xy x y xy y -+-⎰,其中L 是2y x =上从点(1,1)-到点(1,1)的一段弧.答：1415-.§10．3 格林公式 一、选择题1. 设C是圆周222x y R +=,方向为逆时针方向,则22d d Cx y x xy y -+⎰用格林公式计算可化为( ).(A)230d d Rr r πθ⎰⎰； (B)220d d Rr r πθ⎰⎰;(C)230d 4sin cos d Rr r πθθθ-⎰⎰; (D)220d d RR r r πθ⎰⎰. 答(A).2. 设L 是圆周222x y a +=,方向为负向, 则3223()d ()d L x x y x xy y y -+-⎰= ( ).(A)323a π; (B)4a π-; (C); (D)42a π-. 答(D).3. 设L 是从(0,0)O 沿折线22y x =--到(4,0)A 到的折线段,则d d C x y y x -=⎰( )(A)8;(B)8-; (C)4-;(D)4.答(B).4. 设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内具有一阶连续偏导数,则d d L P x Q y +⎰在D 内与路径无关的充分必要条件是在D 内恒有( ).(A)0Q P x y ∂∂+=∂∂; (B)0Q Px y∂∂-=∂∂; (C)0P Q x y ∂∂-=∂∂; (D)0P Q x y∂∂+=∂∂. 答(B). 5. 设L 为一条不过原点,不含原点在内的简单闭曲线, 则22d d 4L x y y x x y-=+⎰( ).(A)4π; (B)π; (C)2π;(D)0.答(D).6. 设L 为一条包含原点在内的简单闭曲线,则22d d 4L x y y xI x y -==+⎰( ).(A)因为Q P xy∂∂=∂∂,所以0I =; (B)因为,Q P x y∂∂∂∂不连续,所以I 不存在;(C)2π; (D)因为Q P xy∂∂≠∂∂,所以沿不同的L ,I 的值不同. 答(C).7. 表达式(,)d (,)d P x y x Q x y y -为某函数(,)U x y 的全微分的充分心要条件是( ).(A)P Q x y ∂∂=∂∂; (B)P Q y x∂∂=∂∂;(C)P Qx y ∂∂=-∂∂; (D)P Q y x∂∂=-∂∂. 答(D). 8. 已知2()d d ()x ay x y yx y +++为某函数(,)U x y 的全微分,则a =( ).(A)0; (B)2; (C)1-;(D)1.答(B).9. 设L 是从点(1,1)A 到点(2,3)B 的直线段, 则(3)d (3)d L x y x y x y +++=⎰( ).(A)2311(3)d (6)d x x y y+++⎰⎰;(B)21[(6)(23)]d x x x x x +++⎰;(C)23111(31)d (3)d 2y x x y y ++++⋅⎰⎰; (D)21[(31)(51)]d x x x -++⎰. 答(A).10*. 设()f x 连续可导,且(0)1f =,曲线积分(,)43(0,0)()tan d ()d I yf x x x f x y ππ=-⎰与路径无关,则()f x =( ).(A)1cos x+; (B)1cos x -; (C)cos x;(D)sin x.答(C).二、填空题1. 设区域D 的边界为L ,方向为正向, D 的面积为σ. 则d d L x y y x -=⎰.答: 2σ. 2. 设(,)f x y 在22:14x D y +≤上具有二阶连续偏导数, L 是D 的边界正向,则(,)d [3(,)]d y x Lf x y y y f x y x -+=⎰.答: 6π.3. 设L 是圆周229x y +=,方向为逆时针, 则2(2)d (4)d L xy y x x x y -+-=⎰.答: 27π-. 4. 设L 为闭曲线2x y +=方向为逆时针,,a b 为常数,则d d Lax y by xx y-+⎰=.答: 4()a b +.5. 设ABCDA 为以点(1,0),(0,1),(1,0),(0,1)A B C D --为顶点的正方形逆时针方向一周,则d d Lx y x y++⎰=.答: 0.6. 设L 为圆周221x y +=上从(1,0)A 到(0,1)B 再到(1,0)C -的曲线段,则2d y Le y =⎰.答: 0.7. (2,2)2(0,0)2d (3)d xy x x y +-=⎰.答: 2.8. 设L 为直线y x =从(0,0)O 到(2,2)A 的一段, 则22d 2d y y Le x xye y +=⎰.答: 42e .9*. 设L 为抛物线上一段弧,试将积分(,)d (,)d LP x y x Q x y y +⎰化为对弧长的曲线积分,其中(,),(,)P x y Q x y 在L 上连续.答: 22d 14L P xQ s x++⎰.10*. 设()f x 连续可导,且(0)0f =,曲线积分[()]sin d ()cos d x Lf x e y x f x y y --⎰与路径无关,则()f x = .答:2x xe e --.三、解答题1. 计算22d d 2()Ly x x y x y -+⎰，其中L 为圆周22(1)2x y -+=的正向.答:π-.2. 计算(24)d (536)d L x y x y x y -+++-⎰，其中L 是顶点分别为(0,0)、(3,0)和(3,2)的三角形正向边界.答:12.3. 计算3222(2cos )d (12sin 3)d L xy y x x y x x y y -+-+⎰,其中L 为抛物线22x y π=上由点(0,0)到,12π⎛⎫⎪⎝⎭的一段弧. 答:24π.4. 计算22()d (sin )d L x y x x y y --+⎰，其中L 是圆周y上由(0,0)到(1,1)的一段弧.答:7sin 264-+.5. 证明下列曲线积分与路径无关,并计算积分值: (1) (2,3)(1,1)()d ()d x y x x y y ++-⎰. 答:52.(2) (2,1)423(1,0)(23)d (4)d xy y x x xy y -++-⎰. 答: 5.6. 验证下列(,)d (,)d P x y x Q x y y +在整个xoy 平面内是某函数(,)u x y 的全微分,并求函数(,)u x y .(1) (2)d (2)d x y x x y y +++. (2) 22d d xy x x y +.(3) 22(2cos cos )d (2sin sin )d x y y x x y x x y y ++-.答: (1) 22222x y xy ++; (2) 2x y ; (3)22cos sin x y y x +.7. 用格林公式计算223()d (2)d L x x y x xy y y -+-+⎰，其中L 是圆周y (2,0)A 到(0,0)O 的一段弧.答:324π-.8. 用格林公式计算423(23)d (4)d L xy y x x x xy y -+++-⎰，其中L 是圆周y (1,0)A 到(1,0)B -的一段弧.答:62π-.§10．4 对面积的曲面积分 一、选择题1. 设∑是xoy 平面上的一个有界闭区域xy D ,则曲面积分(,,)d f x y z S ∑⎰⎰与二重积分(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰的关系是 ( ).(A)(,,0)d f x y S ∑⎰⎰=(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰;(B)(,,0)d f x y S ∑⎰⎰=(,)d d xyD f x y x y-⎰⎰;(C)(,,0)d f x y S ∑<⎰⎰(,)d d xyD f x y x y ⎰⎰;(D)(,,0)d f x y S ∑>⎰⎰(,)d d xyD f x y x y⎰⎰.答(A).2. 设∑是抛物面22(04)z x y z =+≤≤,则下列各式正确的是( ).(A)(,,)d f x y z S ∑⎰⎰=22224(,,)d d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰;(B)(,,)d f x y z S ∑⎰⎰=22224(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰;(C)(,,)d f x y z S ∑=⎰⎰22224(,,d x y f x y x y x y +≤+⎰⎰;(D)(,,)d f x y z S ∑=⎰⎰22224(,,d x y f x y x y x y+≤+⎰⎰. 答(D).3.设2222:(0)x y z a z ∑++=≥,1∑是∑在第一卦限中的部分,则有( ).(A)1d 4d x S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰; (B)1d 4d y S x S ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(C)1d 4d z S z S ∑∑=⎰⎰⎰⎰; (D)1d 4d xyz S xyz S ∑∑=⎰⎰⎰⎰. 答(C).4. 设∑是锥面1)z z ≤≤,则22()d xy S ∑+=⎰⎰( ).(A)22()d x y S ∑+=⎰⎰2120d d r r r πθ⋅⎰⎰;(B)22()d x y S ∑+=⎰⎰1200d d r r r πθ⋅⎰⎰;(C)22()d x y S ∑+=⎰⎰21200d d r r πθ⎰;(D)22()d x y S ∑+=⎰⎰21200d d r r r πθ⋅⎰;. 答(D).5. 设∑为平面1234x y z ++=在第一卦限内的部分,则42d 3z x y S ∑⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎰⎰( ). (A)4d d xyD x y ⎰⎰;(B)4d d xyD x y ⎰⎰;(C)23004d d x y ⎰;(D)32004d d x y ⎰;. 答(B). 6. 设∑为曲面222()z x y =-+在xoy 平面上方的部分,则d z S ∑=⎰⎰( ).(A)22220d (2)d r r r r πθ--⋅⎰⎰; (B)22200d (2d r r r πθ-⎰⎰;(C)220d )d r r rπθ-⋅⎰; (D)220d d r r rπθ-⎰⎰. 答(D).7. 设∑为球面2222x y z z ++=,则下列等式错误的是( ).(A)22()d 0x y z S ∑+=⎰⎰; (B)22()d 0y y z S ∑+=⎰⎰;(C)22()d 0z x y S ∑+=⎰⎰; (D)2()d 0x y z S ∑+=⎰⎰. 答(C). 二、填空题1. 设2222:x y z a ∑++=,则222()d x y z S ∑++=⎰⎰.答: 44a π.2. 设∑为球面2222x y z a ++=,则222d x y z S ∑=⎰⎰.答: 0.3. 设∑为上半球面z ,则d z S ∑=⎰⎰.答: 3a π.4. 设∑为下半球面z =则d z S ∑=⎰⎰.答: 3a π.5 设∑为球面2222x y z a ++=,则d z S ∑=⎰⎰.答: 23a π.6. 设∑为上半球面z ,则d x S ∑=⎰⎰.答: 0. 7. 设∑为平面1232x y z ++=在第一卦限部分,则2d 3z y x S ∑⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎰⎰.答:8. 设∑为平面1x y z ++=在第一卦限部分,则d z S ∑=⎰⎰.答.9. 设∑为平面226x y z ++=在第一卦限部分, 则(522)d x y z S ∑---=⎰⎰.答: 272-.三、解答题1. 计算曲面积分(,,)d f x y z S ∑⎰⎰,其中∑为抛物面222()z x y =-+在xoy 面上方部分,(,,)f x y z 分别如下:(1)(,,)1f x y z =; (2)22(,,)f x y z x y =+; (3)(,,)2f x y z z =.答: (1) 136π; (2) 14930π; (3) 11110π.2. 计算22()d x y S ∑+⎰⎰,其中∑是锥面z =1z =所围成的区域的整个边界曲面.答: 12+.3. 计算22()d x y S ∑+⎰⎰,其中∑是锥面222z x y =+被平面0z =和3z =所截得的部分.答: 9π.4. 计算42d 3z x y S ∑⎛⎫++⎪⎝⎭⎰⎰,其中∑为平面1234x y z++=在第一卦限中的部分.答:5. 计算()d x y z S ∑++⎰⎰,其中∑为球面2222x y z a ++=上(0)z h h a ≥<<的部分.答: 22()a a h π-.§10．5 对坐标的曲面积分 一、选择题1. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧,222:xy D x y a +≤,则下列结论正确的是( ).(A) 2d d z x y ∑=⎰⎰222()d d xyD ax y x y --⎰⎰;(B)2d d z x y ∑=⎰⎰2222()d d xyD a x y x y --⎰⎰; (C)2d d z x y ∑=⎰⎰0; (D) (A)(B)(C)都不对. 答(C).2. 设∑为柱面222x y a +=被平面0z =及3z =所截得的部分外侧,则d d d d d d z x y x y z y x z ∑++=⎰⎰( ).(A) 3d d z x y ∑⎰⎰; (B)3d d x y z ∑⎰⎰;(C)3d d y x z ∑⎰⎰0; (D) d d d d x y z y x z ∑+⎰⎰. 答(D).3. 设∑为柱面222x y a +=被平面0z =及3z =所截得的部分外侧在第一卦限内的部分,则d d d d d d z x y x y z y x z ∑++=⎰⎰( ).(A)303d y x ⎰⎰;(B)302d z y ⎰⎰;(C)30d z x ⎰⎰; (D)3d z x ⎰⎰. 答(B).4. 设2222:x y z a ∑++=,1:z ∑=∑取外侧, 1∑取上侧.下列结论正确的是( ).(A) 12222()d d d d x y z x y a x y ∑∑++=⎰⎰⎰⎰;(B)12222()d d 2d d x y z x y a x y ∑∑++=⎰⎰⎰⎰;(C)2222222()d d 2d d x y a x y z x y a x y ∑+≤++=⎰⎰⎰⎰; (D) 0. 答(D).5. 已知∑为平面1x y z ++=在第一卦限内的下侧,则d d z x y ∑=⎰⎰( ).(A) 1100d (1)d x x x y y ----⎰⎰; (B) 110d (1)d x x x y y ---⎰⎰;(C)1100d (1)d xy x y x---⎰⎰; (D) 1100d (1)d xy x y x ----⎰⎰. 答(A).6. 曲面积分2d d z x y ∑⎰⎰在数值上等于( ).(A)向量2z i 穿过曲面∑的流量;(B)密度为2z 的曲面∑的质量;(C)向量2z k穿过曲面∑的流量;(D)向量2z j 穿过曲面∑的流量. 答(C). 二、填空题1. 设∑是xoy 平面上的闭区域0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩的上侧,则()d d x y z y z ∑++=⎰⎰.答: 0.2. 设∑是xoy 平面上的闭区域0101x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩的上侧,则()d d x y z x y ∑++=⎰⎰.答: 1. 3. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则222()d d x y z x y ∑++=⎰⎰..答: 0.4. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则d d z x y ∑=⎰⎰..答: 343a π.5. 设∑为球面2222()()()x a y b z c R -+-+-=取外侧, 则曲面积分d d z x y ∑=⎰⎰..答: 343R π.6. 设∑为球面2222x y z a ++=取外侧, 则222()d d xy z x y ∑++=⎰⎰.答: 0. 三、解答题1. 计算22d d x y z x y ∑⎰⎰,其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.答: 77426422453753105R R ππ⎛⎫⋅-⋅⋅=⎪⎝⎭.2. 计算d d d d d d z x y x y z y z x ∑++⎰⎰,其中∑是柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截得的在第一卦限内的部分的前侧.答: 32π.3. 计算d d d d d d xz x y xy y z yz z x ∑++⎰⎰,其中∑是平面0x =,0y =,0z =,及1x y z ++=所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.答: 18.4*.把对坐标的曲面积分(,,)d d (,,)d d (,,)d d P x y z y z Q x y z z x R x y z x y ∑++⎰⎰化成对面积的曲面积分,其中:(1) ∑是平面326x y ++=在第一卦限部分的上侧.(2) ∑是抛物面228()z x y =-+在xoy 面上方部分的上侧.答:(1) 32d 55P Q S ∑⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰;(2) S ∑.§10．6 高斯公式 一、选择题1. 设空间闭区域Ω的边界是分片光滑的闭曲面∑围成, ∑取外侧，则Ω的体积V =( ).(A)1d d d d d d 3y y z z z x x x y ∑++⎰⎰; (B)1d d d d d d 3x y z y z x z x y ∑++⎰⎰; (C)1d d d d d d 3z y z z z x y x y ∑++⎰⎰; (D) 1d d d d d d 3x y z z z x y x y ∑++⎰⎰.答(B).2.设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰( ).(A) 2a bc ; (B)2ab c ; (C)2abc ; (D) ()a b c abc ++.答(D).3. 在高斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).(A) d d d P Q R x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++= ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰(cos cos cos )d P Q R S αβγ∑++⎰⎰;(B)d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++=⎰⎰d d d P Q R x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰; (C)d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++=⎰⎰d d d R Q P x y z x y z Ω⎛⎫∂∂∂++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰; (D)d d d d d d P y z Q z x R x y ∑++=⎰⎰(cos cos cos )d P Q R S αβγ∑++⎰⎰.答(C).4. 若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算用高斯公式正确的是( ).(A) 2d d (2)d d x y z z y x y ∑++=⎰⎰(22)d d d x x y z Ω+⎰⎰⎰;(B)3()d d 2d d d d x yz y z xy z x z x y ∑--+=⎰⎰2(321)d d d x x x y z Ω-+⎰⎰⎰; (C) 2d d (2)d d x y z z y z x ∑++=⎰⎰(21)d d d x x y z Ω+⎰⎰⎰;(D) 2d d (2)d d x x y z y y z ∑++=⎰⎰(22)d d d x x y z Ω+⎰⎰⎰. 答(B).二、填空题1. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧, 则d d z x y ∑=⎰⎰.答: 343a π.2. 设∑是球面2222x y z a ++=外侧, 则333d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰.答: 525a π.3. 设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰.答: 3abc .4. 设∑是长方体{}:(,,)0,0,0,x y z x a y b z c Ω≤≤≤≤≤≤的整个表面的外侧,则222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰.答: ()a b c abc ++.5. 向量A yzi zxj xyk =++穿过圆柱222(0)x y a z h +=≤≤全表面∑流向外侧的通量Φ=.答: 0.6.向量2(23)()(2)A x z i xz y j y z k =+-+++穿过球面222(3)(1)(2)9x y z -+++-=∑流向外侧的通量Φ=.答: 108π. 三、解答题1. 计算222d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰,其中∑为平面0x =,0y =,0z =及x a =,y a =,z a =所围成的立体的表面外侧.答: 43a .2. 计算333d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰,其中∑为球面2222x y z a ++=外侧.答: 525a π.3. 计算2232d d ()d d (2)d d xz y z x y z z x xy y z x y ∑+-++⎰⎰,其中∑为上半球体222x y a +≤,0z ≤≤.答: 525a π.4. 计算d d d d d d x y z y z x z x y ∑++⎰⎰,其中∑是界于0z =和3z =之间的圆柱体223x y +≤的整个表面外侧. 答: 81π.5. 计算24d d d d d d xz y z y z x yz x y ∑-+⎰⎰,其中∑是平面0x =,0y =,0z =与平面1x =,1y =,1z =所围成的立方体的全表面外侧. 答: 32.6. 计算22d d (2)d d d d 2zx y z z xy z x x y ∑+-+⎰⎰,其中∑为曲面22z x y =+与平面1z =所围成的立体的表面外侧.答: 4π.7. 计算曲面积分 3333d d (2)d d ()d d x y z y z x z x x y ∑+++-⎰⎰,其中∑为曲面z z 外侧.答: 326(1cos2)5π⋅⋅-.8. 计算曲面积分 222d d d d (1)d d xy y z z z x z x x y ∑++-⎰⎰,其中∑为由曲面z =0z =所围成的空间区域的整个边界表面外侧.答: 322161625335πππ⋅⋅-=.9*.用Gauss 公式计算曲面积分2()d d d d z x y z z x y ∑+-⎰⎰,其中∑是旋转抛物面221()2z x y =+介于平面0z =及2z =之间部分的下侧. 答: 8π.§10．7 斯托克斯公式 一、选择题1. 在斯托克斯定理的条件下,下列等式不成立的是( ).(A) d d d P x Q y R z Γ++=⎰d d d d d d y z z x x y x y z P Q R∑∂∂∂∂∂∂⎰⎰;(B) d d d P x Q y R z Γ++=⎰cos cos cos d S x y z P Q Rαβγ∑∂∂∂∂∂∂⎰⎰; (C)d d d P x Q y R z Γ++=⎰{}cos ,cos ,cos d i j k S x y z P Q Rαβγ∑∂∂∂⋅∂∂∂⎰⎰; (D)d d d P x Q y R z Γ++=⎰{}d ,d ,d i j k x y z x y z P Q R∑∂∂∂⋅∂∂∂⎰⎰. 答(D). 2. 设Γ是从点(,0,0)a 到点(0,,0)a 再到(0,0,)a 最后回到(,0,0)a 的三角形边界(a >),则()d ()d ()d z y x x z y y x z Γ-+-+-=⎰( ).(A) 23a ; (B)26a ; (C)22a ; (D) 2a . 答(A).3. 设Γ为圆周2229,0x y z z ++==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.则22d 3d d y x x y z z Γ+-=⎰( ).(A)π;(B)6π; 9π;(D)0.答(C). 二、填空题1. 设Γ为圆周2222,0x y z a z ++==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.22d 2d d y x x y z z Γ+-=⎰.答: 0.2. 设u xy yz zx xyz =+++, 则(1)grad u =.答: {},,y z yz z x xz x y xy ++++++(2) div(grad )u = .答: 0.(3) rot(grad )u = . 答: 0.3. 设向量场(23)(3)(2)A z y i x z j y x k=-+-+-,则rot A =.答: 246i j k ++.4. 设向量场22sin sin()sin(cos )A x yi y xz j xy z k =++, 则rot A =.答:222[sin(cos )cos()]sin(cos )[cos()cos ]x z xy xz i y z j y z xz x y k --+-.三、解答题1. 计算d d d y x z y x zΓ++⎰,其中Γ为圆周2222,0x y z a x y z ++=++=,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答:2a .2*. 计算()d ()d ()d yz x z x y x y z Γ+-+-⎰,其中Γ为椭圆222x y a +=,1(0,0)x ya b a b+=>>,若从x 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: π3. 计算23d d d y x xz y yz z Γ-+⎰,其中Γ为圆周222,2x y z z +==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: 20π-.4. 计算22d 3d d y x x y z z Γ+-⎰,其中Γ为圆周2229,0x y z z ++==,若从z 轴正向看去, Γ为逆时针方向.答: 9π.5*. 利用斯托克斯公式把曲面积分rot d A n S ∑⋅⎰⎰化为曲线积分,并计算积分值,其中A 、∑及n 分别如下:(1) 2A y i xyj xzk =++,∑为上半球面z =的上侧,n 是∑的单位法向量.(2)()A y z i yzj xzk=-+-,∑为{}(,,)02,02,02x y z x y z ≤≤≤≤≤≤的表面外侧去掉xoy 平面上的那个底面,, n 是∑的单位法向量.答: (1) 0. (2) 4-.。