已知某材料在纯剪作用下应力—应变关系如图所示，弹性剪切模量为G ，Poisson 比为ν，剪切屈服极限为s τ，进入强化后满足const G d d ==,/γτ。

若采用Mises 等向硬化模型，试求 （1）材料的塑性模量（2）材料单轴拉伸下的应力应变关系。

解：（1）因为τττγ221232*123121J d J h d p⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡= 所以 τγd h d p *3*1=,3*3G d d h p==γτ （2） 弹性阶段。

因为)1(2υ+=EG ，所以)1(2υ+=G E 由于是单轴拉伸，所以εσE = 塑性阶段。

ijp ij fd d σλε∂∂= 1111)1(σσσε∂∂∂∂=fd f h d kl kl p解：在板的固定端，挠度和转角为零。

显然：()0)(b y ==±=±=ωωa x 满足0)(2)(2)(222221=-⋅-=∂∂±=b y x a x C xa x ω故222222111)()(b y a x C w C w --==满足所有的边界条件。

2、用Ritz 法求解简支梁在均布荷载作用下的挠度（位移变分原理）步骤：（1）设挠度的试验函数 w (x ) = c 1x (l -x )+c 2x 2(l 2-x 2)+…显然，该挠度函数满足位移边界w (0) =0，w (l ) = 0。

（2）求总势能()⎰⎰-''=+=∏l002q w d x dx w EI 21lV U 仅取位移函数第一项代入，得()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∏l0121dxx l qx c c 2EI 21（3）求总势能的极值EI24ql c 0c 211==∂∏∂ 代入挠度函数即可02))((2)y(222221=⋅--=∂∂±=y b y a x C b y ω1.假定矩形板支承与承受荷载如图所示， 试写出挠度表示的各边边界条件： 解：简支边OC 的边界条件是：()00==y ω()0022220)(M xy D M y y y -=∂∂+∂∂-===ωνω自由边AB 的边界条件是：()0)(2222=∂∂+∂∂===b x by y x y M ωνω，()()q y x y D V by b y y -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-+∂∂-===23332ωνω 两自由边的交点B ：()0,===b y a x ω()B by a x xy R M ===,2是B 点支座的被动反力。

如右图所示，矩形板在四个角点作用分别作用大小为F 的集中力，其中A 点和C 点的集中力向上，B 点和D 点的集中力向下，四条边均为自由，求板的挠度。

解：板边的边界条件为：()02=±=a x x M ，()02=±=ax x V()02=±=by y M ，()02=±=b y y V4个角点的边界条件均为：F M xb y a x xy =±=±=,2)2(由于横向分布荷载0=q ，因此基本微分方程变为：022=∇∇ω假定坐标圆点的挠度为零，上式的解是xy βω= 式中的β是待定常数。

使用)(2222y w x w D M x ∂∂+∂∂-=ν )(2222x w y w D M y ∂∂+∂∂-=ν y x wD M xy ∂∂∂--=2)1(ν])2([2333yx wx w D V x ∂∂∂-+∂∂-=ν ])2([2333yx wy w D V y ∂∂∂-+∂∂-=νB B xy B yx wD M R ])1(2[-)(22∂∂∂-==ν ω2x Q ∇∂∂-=x Dω2y Q ∇∂∂-=yD则有：0==y x M M ，βν)1(--=D M xy ，0==y x Q Q ，0==y x V V 显然板边的边界条件能自然满足，为满足角点的边界条件，应有()3)1(62332,2βνβGt Et M F by a x xy -=+-==±=±=，因此得：33Gt F -=β 挠度解就是：xy GtF33-=ω如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为γ，试写出边界条件 解：在x =0上，l = -1，m =0， (σx )x=0⋅ (-1)+(τyx )x =0⋅0 = γy (τxy )x =0⋅ (-1)+(σy )x =0⋅0 = 0 (σx )x =0=－γy (τxy )x =0⋅ 在斜边上l = cos α，m = -sin ασx cos α-τyx sin α = 0τxy cos α-σy sin α = 0O α1y x正方形薄板，三边固定另一边受均匀压力q 作用，应力函数取为32221221-y A y x A qx ++=ϕ，基于应力辩分原理Ritz 法求解（v=0.3） 步骤：有应力函数求得应力y A x A x F x x 2212262-y+=∂∂=ϕσ 21222-x y A q y F y y +-=∂∂=ϕσ，xy A xy 124yx -=∂∂∂-=ϕτ满足力边界条件，一定满足平衡方程。

由于位移边界已知位移为0，外力余势能为0，总余势能就是应变余能，平面应力与线弹性情况下，应变余能为()dxdy U U xy xy y y x x c γτεσεσ++==⎰⎰21，将应变由应力表达得 ()()dxdy E U xy y x y x c 22212221τυσυσσσ++-+=⎰⎰,将所求应力代入方程，求0/1=∂∂A II c ,0/2=∂∂A II c ,即得22212175,21730a qA a q A -==一处在平面应变状态下（0z ε=）的理想刚塑性体，其材料的应力应变关系服从Levy-Mises 增量理论，即ij ij d d s ελ=，且材料体积是不可压缩的，考察其中的一个微单元体，试证明：（1）其应力状态分量可分解为静水压力状态与纯剪应力状态之和： （2）Tresca 和Mises 屈服条件重合。

解：（1）00000000000000000000x yx x yx ij yx yyx y z z στσστσστστσσσσσσσ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭其中03x y zσσσσ++=，上式第一项的第一不变量为0，故是纯剪状态，第二项为静水压力状态，得证。

（2）=0，所以, 所以平面应变状态：2=2== 故屈服条件重合薄壁圆管受拉与扭转作用，材料单拉时的应力应变关系为 试按以下三种加载路径达到最后应力状态，分别求其对应产生的应变εz 与γθz(1) 首先沿z 轴加载至σz=σs ，并保持σz 不变，然后再增加剪应力至τθz=σs/√3； (2) 先增加剪应力至τθz=σs/√3，并保持τθz 不变，然后再增加拉应力至σz =σs ； (3) 比例加载，按σz:τθz=√3:1增加应力至σz =σs ，τθz=σs/√3。

解：（1）求塑性模量：在单轴应力状态下， 弹性应变是 。

而塑性应变是塑性模量应是 （2）加载判别：当应力状态达到初始屈服后，下一步应力增量是否产生塑性变形，取决于 (∂f /σ∂ij ) d σij 是否大于零。

该题各路径下的应力状态偏量均可表示为： sz = σz ，sx = sy = -σz ，s θz = sz θ=τθz ，由于σz 、d σz 同号，τθ、d τθz 同号，因此， （3）使用流动法则求塑性变形（4）按上述路径进行积分，塑性变形 路径（1）：σz=σs ，材料屈服，再增加剪应力d τθz ≠0，d σz=0，路径（2）：当剪应力τθz=σs/√3，材料屈服，增加应力σz ，即d σz ≠0，d τθz=0，τθz=σs/√3E E s'σ-σ+σ=εστσsσs /3(1)(2)(3)Ee σ=εE se p '-=-=σσεεεE d d h p'=εσ=3312222s z z J σ=τ+σ=θ)232(232z z z z ij ij d d J d f θθττ+σσ=σσ∂∂0>σσ∂∂ij ijd fz z z z z z ij ij p z J d d J h f d f h d σττ+σσ=σ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σσ∂∂=εθθ3223)232(231122zz z z z d d J h σττ+σσ=θθ)31(112z z z z z z z z z z zij ij p z d d J h J d d J h f d f h d θθθθθθθθτττ+σσ=τττ+σσ=τ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σσ∂∂=γ)3(21123)232(23112122222231z s s J θτ+σ=σ=σ⎰σθθθθστττ+σ=ε3022)(331s s z z z s p z d h 3/0223ln 2s s s x h σ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛σ+σ=2ln 2h s σ=⎰σθθθθθττττ+σ=γ3022)3(331s z z z zs p z d h 3/03arctan 3339s s z s z h σθθ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛στσ-τ=s h σ⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=413ss s z s z z z z s z p z h d h σσθ⎪⎭⎫ ⎝⎛σσσ-σ=σσσσ+σ=ε⎰03022arctan 1)31(31⎪⎭⎫ ⎝⎛π-σ=41h s路径（3）：在加载中σz = √3τθz ，σz=σs /√2材料屈服，且d σz = √3d τθz ，塑性变形与加载路径有关三种应力路径下的弹性应变都是薄壁圆筒平均半径为R ，壁厚为t ，轴线方向为z ，轴部受轴向拉力T 和扭矩M 共同作用，材料的弹性模量为E ，剪切模量为G ，拉伸屈服条件为s σ。

试：写出单位体积弹性应变能的表达式；分别写出Mises 以及Tresca 屈服条件的具体表达式；使用Mises 屈服条件给出：轴向拉力T 和扭矩M 满足何种关系时，圆筒处于加载状态。

解：应力状态为22002000022ij M R t M T R tRt πσππ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭，根据ij σσ-=0得出其三个主应力分别为1σ=230,σσ== 第一不变量1132TI Rtσσπ=+=，第二不变量222214()622T M J Rt R t ππ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 单位体积应变能21211182W I J K G=+，将1I ，2J 代入此式即可。

其中323(12)3(12*)3E EK K G K Gυ==---+，化简此式得93E G K G E -=- （2）Mises 屈服条件为223s f J σ=-，代入2J 即得。