特殊三角形的存在性知识结构模块一：直角三角形的存在性考点分析直角三角形的存在性问题，分类特征非常明显，首先考虑三角形的哪个角有可能称为直角，再把这个角为直角作为条件，并结合题目中的条件在进行说理计算．此类综合题需要用到的知识点较多，用于考察同学们的思维和分析能力．O xy【例1】 （2015学年·奉贤区一模·第24题）如图，二次函数2y x bx c =++图像经过原点和点A （2，0），直线AB 与抛物线交于点B ，且45BAO ∠=︒. （1）求二次函数解析式及其顶点C 的坐标；（2）在直线AB 上是否存在点D ，使得BCD ∆为直角三角形.若存在，求出点D 的坐标，若不存在，说明理由.【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例2】 （2015学年·虹口区一模·第24题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++与x 轴分别交于点A （2，0）、点B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，1tan 2CBA ∠=． （1）求该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求四边形ACBD 的面积；（3）设抛物线上的点E 在第一象限，BCE ∆是以BC 为一条直角边的直角三角形，请直接写出点E 的坐标．【难度】★★★ 【答案】 【解析】例题解析BAOyxABCPMABCDEFG【例3】 如图，在ABC ∆中，AB = AC = 5 cm ，BC = 8 cm ，点P 为BC 边上一动点（不与点B 、C 重合），过点P 作射线PM 交AC 于点M ，使APM B ∠=∠． （1）求证：ABP ∆∽PCM ∆；（2）设BP = x ，CM = y ，求y 与x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当PCM ∆为直角三角形时，求点P 、B 之间的距离． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例4】 （2015学年·静安区一模·第25题）已知：在梯形ABCD 中，AD // BC ，AC = BC =10，54cos =∠ACB ，点E 在对角线AC 上，且CE = AD ，BE 的延长线与射线AD 、射线CD 分别相交于点F 、G ．设AD = x ，AEF ∆的面积为y ． （1）求证：DCA EBC ∠=∠；（2）如图，当点G 在线段CD 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）如果DFG ∆是直角三角形，求AEF ∆的面积． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】xyA B CO等腰三角形的存在性问题也是考察分类讨论思想的一类题型，多次出现在初三的一模考、二模考，甚至中考的压轴题中，注重考察学生的想象、分析和运算的能力．分类讨论的解题思路大致可以总结为，根据不同的边（角）相等，根据相关性质（最好同时作出不同情况下的等腰三角形），再利用含有字母的代数式建立方程进行求解．【例5】 （2013学年·宝山区一模·第25题）如图，已知抛物线2144y x bx =-++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，若已知B 点的坐标为B （8，0）． （1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）连接AC 、BC ，试判断AOC ∆与COB ∆是否相似？并说明理由；（3）M 为抛物线上BC 之间的一点，N 为线段BC 上的一点，若MN //y 轴，求MN 的最大值；（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使ACQ ∆为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】模块二：等腰三角形的存在性例题解析考点分析ABCDEPQ【例6】 （2015学年·徐汇区一模·第25题）如图，四边形ABCD 中，60C ∠=︒，5AB AD ==，8CB CD ==，点P Q 、分别是边AD BC 、上的动点，AQ 和BP 交于点E ，且1902BEQ BAD ∠=︒-∠，设A P 、两点的距离为x ．（1）求BEQ ∠的正切值； （2）设AEy PE=，求y 关于x 的函数解析式及定义域； （3）当AEP ∆是等腰三角形时，求B Q 、两点的距离． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例7】 （2015学年·崇明县一模·第25题）如图，已知矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，E 是BC 边上一点（不与B 、C 重合），过点E 作EF AE ⊥交AC 、CD 于点M 、F ，过点B 作BG AC ⊥，垂足为G ，BG 交AE 于点H ． （1）求证：ABH ∆∽ECM ∆； （2）设BE x =，EHy EM=，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）当BHE ∆为等腰三角形时，求BE 的长． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】AB DFCMG HEA BCDEM P NMABC【例8】 （2014学年·浦东新区、杨浦区、闵行区、松江区、静安区、青浦区一模·第25题）．如图，矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一动点，联结BP 、CP ，过点B 作射线交线段CP 的延长线于点E ，交边AD 于点M ，且使得ABE CBP ∠=∠．如果AB = 2，BC = 5，AP = x ，PM = y ．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （2）当AP = 4时，求EBP ∠的正切值；（3）如果EBC ∆是以EBC ∠为底角的等腰三角形，求AP 的长． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例9】 （2013学年·徐汇区一模·第25题）如图，ABC ∆中，5AB =，11BC =，35cosB =，点P 是BC 边上的一个动点，联结AP ，取AP 的中点M ，将线段MP 绕点P 顺时针旋转90°得到线段PN ，联结AN ，NC ． （1）当点N 恰好落在BC 边上时，求NC 的长；（2）若点N 在ABC ∆内部（不含边界），设BP x =，CN y =，求y 关于x 的函数关系式，并求出函数的定义域；（3）若PNC ∆是等腰三角形，求BP 的长． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDNMP l【例10】 （2015学年·普陀区一模·第25题）如图，已知锐角MBN ∠的正切值等于3，PBD∆中，90BDP ∠=︒，点D 在MBN ∠的边BN 上，点P 在MBN ∠内，PD = 3，BD = 9．直线l 经过点P ，并绕点P 旋转，交射线BM 于点A ，交射线DN 于点C ．设CACP = x ：（1）求x = 2时，点A 到BN 的距离；（2）设ABC ∆的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）当ABC ∆因l 的旋转成为等腰三角形时，求x 的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】A B CDEFGNM xy OAB【习题1】 如图，在正方形ABCD 中，AB = 6，点E 为对角线AC 上一点，且13AE CE =，直线DE 分别与边AB 、CB 的延长线交于点F 、G ．点M 在线段BG 上（与B 、G 不重合），联结AM ，交DG 于点N ．设BM = x ，DN = y ． （1）求证：BF = 2AF ；（2）求y 与x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）当点M 在线段BG 上移动时，BDN ∆能否成为直角三角形？如果能，请求出线段BM 的长；如果不能，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题2】 （2012学年·普陀区一模·第24题）如图，点A 在x 轴上，OA = 4，将线段OA绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置． （1）求点B 的坐标；（2）求经过点A 、O 、B 的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．【难度】★★★ 【答案】 【解析】随堂检测ABCDE【习题3】 （2013学年·浦东新区、闵行区、杨浦区、青浦区、静安区、松江区一模·第25题）如图，已知在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，10AB =，4tan 3A =，点D 是斜边AB上的动点，连接CD ，作DE CD ⊥，交射线CB 于点E ，设AD x =． （1）当点D 是边AB 的中点时，求线段DE 的长；（2）当BED ∆是等腰三角形时，求x 的值；（3）如果DEy DB =，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题4】 （2014学年·黄浦区一模·第25题）如图，在矩形ABCD 中，AB = 8，BC = 6，对角线AC 、BD 交于点O ．点E 在AB 延长线上，联结CE ，AF CE ⊥，AF 分别交线段CE 、边BC 、对角线BD 于点F 、G 、H （点F 不与点C 、E 重合）． （1）当点F 是线段CE 的中点时，求GF 的长；（2）设BE = x ，OH = y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）当BHG ∆是等腰三角形时，求BE 的长． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】OHGFCABCDPQ【习题5】 （2014学年·普陀区一模·第25题）如图，等边ABC ∆，4AB =，点P 是射线AC上的一动点，联结BP ，作BP 的垂直平分线交线段BC 于点D ，交射线BA 于点Q ，分别联结PD ，PQ ．（1）当点P 在线段AC 的延长线上时， ①求DPQ ∠的度数并求证△DCP ∽△PAQ ；②设CP x =，AQ y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （2）如果PCD ∆是等腰三角形，求APQ ∆的面积． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】11 / 13ABNM P xyO O xy【作业1】 如图，已知点P 是函数12y x =（x > 0）图像上一点，P A ⊥x 轴与点A ，交函数1y x=（x > 0）图像与点M ，PB ⊥y 轴于点B ，交函数1y x=（x > 0）图像于点N （点M 、N 不重合）．（1）当点P 的横坐标为2时，求PMN ∆的面积； （2）证明：MN // AB ；（3）试问：OMN ∆能否为直角三角形？若能，请求出此时点P 的坐标；若不能，请说明理由．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业2】 （2012学年·嘉定区一模·第24题）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y ax ax c =++（0a ≠）经过A （0，4）、B （3-，1）两点，顶点为C ．（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）将（1）中求得的抛物线沿y 轴向上平移m （m > 0）个单位，所得新抛物线与y 轴的交点记为点D ．当ACD ∆是等腰三角形时，求点D 的坐标；（3）若点P 在（1）中求得的抛物线的对称轴上，联结PO ，将线段PO 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PO '，若点'O 恰好落在（1）中求得的抛物线上，求点P 的坐标．【难度】★★★ 【答案】 【解析】课后作业12 / 13A BCDE FGABCDEFGAC BC ⊥，AD = 9，AC = 12，BC = 16，点E 是边BC 上一个动点，EAF BAC ∠=∠，AF 交CD 于点F 、交BC 延长线于点G ，设BE = x ． （1）试用x 的代数式表示FC ；（2）设FGy EF =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）当AEF ∆是等腰三角形时，直接写出BE 的长． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业4】 （2013学年·崇明区一模·第25题）如图，在ABC ∆中，8AB =，10BC =，34cosC =，2ABC C ∠=∠，BD 平分ABC ∠交AC 边于点D ，点E 是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），F 是AC 边上一点，且AEF ABC ∠=∠，AE 与BD 相交于点G ． （1）求证：AB BGCE CF =； （2）设BE x =，CF y =，求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围； （3）当AEF ∆是以AE 为腰的等腰三角形时，求BE 的长． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】13 / 13AD = 4，AB = 8，BC = 10，M 在边CD 上，且23DM MC =．（1）如图1，联结BM ，求证：BM CD ⊥；（2）如图2，作90EMF ∠=︒，ME 交射线AB 于点E ，MF 交射线BC 于点F ，若AE = x ，BF = y ．当点F 在线段BC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）若MCF ∆是等腰三角形，求AE 的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】图1 ACB DM图2 EA CBDMF备用图ACBDM。