上海交大附中高一上学期期中考试（数学）（满分100 分， 90 分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）一．填空题：（共12 小题，每小题 3 分）1.A={1},B={x|x A} ，用列举法表示集合 B 的结果为 _________ 。

2.已知集合 A={(x,y)|y=x+3}， B={(x,y)|y=3x-1} ，则 A ∩B=________ 。

3.写出 x>1 的一个必要非充分条件__________ 。

4.不等式11 的解集为_____________。

（用区间表示） x5.命题“已知 x、 y∈ R，如果 x+y ≠ 2，那么 x≠ 0 或 y≠ 2. ”是 _____ 命题。

（填“真”或“假”）6.2集合 A={x|(a-1)x+3x-2=0} 有且仅有两个子集，则a=_________ 。

7.若不等式 |ax+2|<6的解集为（ -1 ， 2），则实数 a 等于 _________ 。

8.不等式4x x2>x 的解集是 ____________ 。

9.已知 a2 +b 2=1 ，则a 1 b2的最大值为 ___________ 。

10.19和各代表一个自然数，且满足+ =1 ，则当这两个自然数的和取最小值时，=_______, =_______.11.已知集合A={-1 ， 2} ， B={x|mx+1>0}，若 A ∪ B=B ，则实数 m 的取值范围是 _________ 。

12.如果关于x 的三个方程 x2 +4ax-4a+3=0 ， x2+(a-1)x+a2=0 ， x 2+2ax-2a=0 中，有且只有一个方程有实数解，则实数 a 的取值范围是_______________ 。

二．选择题：（共 4 小题，每题 3 分）13.设命题甲为“0<x<5 ”，命题乙为“|x-2|<3 ”，那么甲是乙的：（）（ A ）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（ C）充要条件；（D）既非充分又非必要条件14. 下列命题中正确的是：（）（ A ）若 ac>bc ，则 a>b(B)若 a2>b 2，则 a>b11(D)若 a b ，则a<b（ C）若，则 a<ba b15.设x>y>0，则下列各式中正确的是：（）（ A ） x> xy> xy >y （ B ） x> xy >xy>y22（ C ） x>xy> y >xy （ D ） x> xy > y >x y2216. 下列每 中两个函数是同一函数的 数共有：（）（ 1 ） f(x)=x 2 +1 和 f(v)=v 2+1（２） y1 x2 和 y1 x 2| x 2 | x 2（３） y=2x ， x ∈ {0,1} 和 y= 1 x 2 5 x 1， x ∈ {0,1}6 6 （４） y=1 和 y=x 0（５） y=x 1 x 2 和 yx 2 3x 2（ 6 ） y=x 和 y 3x 3（A ）1（B ）3（C ） 2 （D ）4三．解答题： （共 5 小 ，本大 要有必要的 程）17. （本 8 分）已知集合A x x a 1 ， Bx x 2 5x 4 0 ，且 AB ，求 数 a 的取 范 。

18. （本8 分）已知 a 非 数，解关于x 的不等式 ax 2-(a+1)x+1<0.19. （本 10 分）先 下列不等式的 法，再解决后面的 ：已知 a 1 、 a 2∈R ， a 1+a 2=1 ，求 ： a 1 2+a 2 2≥ 1.2明：构造函数f(x)=(x-a 1)2+(x-a 2 )2 ,f(x)=2x 2-2(a 1+a 2)x+a 1 2+a 2 2因 一切 x ∈ R, 恒有 f(x) ≥ 0 成立，所以=4-8(a 12+a 2 2)≤0,从而 得 a 12+a 22≥1.2（ 1 ）若 a 1 、 a 2、 ⋯ 、 a n ∈ R ， a 1+a 2+⋯ +a n =1 ， 写出上述 的推广形式；（ 2 ）参考上述解法， 你推广的 加以 明。

20. （本12 分）某商 在促 期 定：商 内所有商品按 价的80% 出售；同 ，当 客在 商 内消 一定金 后，按如下方案相 得第二次 惠：消金（元）的范[400 ）[400,500 ）[500,700 ）[700,900 ）⋯第二次惠金（元）3060100150⋯根据上述促方法，客在商物可以得双重惠。

例如：价600 元的商品，消金 480 元，480∈ [400,500),所以得第二次惠金60元，得的惠： 600×0.2+60=180 （元）。

商品的惠率购买商品获得的优惠总额=。

商品的标价：（ 1 ）一件价1000 元的商品，客得到的惠率是多少？（ 2）客价x 元（ x∈ [250,1000])的商品得的惠y 元 , 建立 y 关于 x 的函数关系式；（ 3）于价在[625 ， 800）（元）内的商品，客商品的价的取范多少，可得到不小于1的惠率？（取范用区表示）321.（本 14 分）已知关于 x 的不等式kx 2 2x+6k<0 ，（ k>0 ）（ 1）若不等式的解集{x|2<x<3} ，求数k 的；（ 2）若不等式一切2<x<3都成立，求数k 的取范；（ 3）若不等式的解集集合{x|2<x<3} 的子集，求数k 的取范。

参考答案一．填空题：（共12 小题，每小题 3 分）22.A={1},B={x|x A} ，用列举法表示集合 B 的结果为 _________ 。

{ Φ , {1}}23.已知集合 A={(x,y)|y=x+3}， B={(x,y)|y=3x-1} ，则 A ∩B=________ 。

{ （ 2， 5） }24.写出 x>1 的一个必要非充分条件__________ 。

x>0 （答案不唯一）25.不等式11 的解集为_____________。

（用区间表示）（ -∞， 0 ）∪ [1,+ ∞ ) x26.命题“已知 x、 y∈ R，如果 x+y ≠ 2，那么 x≠ 0 或 y≠ 2. ”是 _____ 命题。

（填“真”或“假” ）真27.集合 A={x|(a-1)x2+3x-2=0} 有且仅有两个子集，则a=_________ 。

0 或18 28.若不等式 |ax+2|<6 的解集为（ -1 ， 2），则实数 a 等于 _________ 。

-429.不等式4x x2>x 的解集是 ____________ 。

（ 0， 2）30.22，则 a1b2已知 a +b =1的最大值为 ___________ 。

131.和各代表一个自然数，且满足19+=1 ，则当这两个自然数的和取最小值时，=_______, =_______.4和 1232.已知集合A={-1 ， 2} ， B={x|mx+1>0}，若 A ∪ B=B ，则实数 m 的取值范围是 _________ 。

(1,1) 233.如果关于x 的三个方程x2 +4ax-4a+3=0 ， x2+(a-1)x+a2=0 ， x 2+2ax-2a=0中，有且只有一个方程有实数解，则实数 a 的取值范围是_______________ 。

(-2,3]∪ [-1,0)∪ (1, 1)232二．选择题：（共 4 小题，每题 3 分）34.设命题甲为“0<x<5 ”，命题乙为“|x-2|<3 ”，那么甲是乙的： ()A（ A ）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（ C）充要条件；（D）既非充分又非必要条件35. 下列命题中正确的是：（） D（ A ）若 ac>bc ，则 a>b(B)若 a2>b 2，则 a>b11(D)若 a b ，则a<b（ C）若，则 a<ba b36.设x>y>0，则下列各式中正确的是：（）A（ A ） x>xy> xy >y（ B ） x>xy >x2y>y2（ C ） x>xy> y >xy （ D ） x> xy > y > x y2237. 下列每 中两个函数是同一函数的 数共有：（ ） D（ 1 ） f(x)=x2+1 和 f(v)=v 2+1（２）y 1 x 2 和 y 1 x 2| x 2 | x 2（３） y= 2x， x ∈ {0,1}和 y= 1x 25 x 1， x ∈ {0,1} （４） y=1 和 y=x 066（５） y= x 1 x2 和 yx 2 3x 2（ 6 ） y=x 和 y3x 3（A ）1（B ）3（C ） 2（D ）4三．解答题： （共 5 小 ，本大 要有必要的 程）38. （本8 分）已知集合Ax x a 1， Bx x 2 5x 40，且A B，求 数 a 的取 范 。

解： A=[a-1,a+1]⋯⋯3分B=(- ∞,1 )∪ (4,+ ∞) ⋯⋯3分∵ AB ，∴ a-1 ≥ 1且 a+1≤ 4,∴a ∈ [2,3] ⋯⋯2分39. （本 8 分）已知 a 非 数，解关于x 的不等式 ax 2-(a+1)x+1<0.解：（ 1） a=0 ，原不等式即-x+1<0 ，∴原不等式解集 （1， +∞）；⋯ 2 分（ 2） a ≠ 0 ，不等式 方程的两根1和1。

a当 0<a<1 ， 1>1 ，原不等式解集(1, 1)；⋯⋯ 2 分aa当 a=1 ， 1=1，，原不等式解集Ф ；⋯⋯ 2分a当 a>1 ， 1<1原不等式解集(1,1)⋯⋯ 2分aa40. （本 10 分）先 下列不等式的 法，再解决后面的 ：已知 a 1 、 a 2∈R ， a 1+a 2=1 ，求 ： a 1 2+a 2 2≥ 1.2明：构造函数f(x)=(x-a 1)2+(x-a 2 )2,f(x)=2x 2-2(a 1+a 2)x+a 1 2+a 2 2因 一切x ∈ R, 恒有 f(x)≥ 0 成立，所以=4-8(a 1 2+a 2 2)≤0,从而 得 a 12 +a 2 2≥1.2（ 1 ）若 a1、 a2、⋯、 a n∈ R， a1+a2+⋯ +a n=1 ，写出上述的推广形式；（ 2 ）参考上述解法，你推广的加以明。

解：（ 1）若a1、 a2、⋯、 a n∈ R， a1+a2+⋯ +a n=1 ，求： a12 +a22 +⋯ +a n2≥1。