并且一些国家的保险公司须按照合约规定明确告 知投保人这项市场价值，因此对具有收益保障的商 业养老保险的精算现值模型研究至关重要，已成为 当前保险领域研究的重要课题之一。 国外学者首先对合约到期时给付被保人最低 收益保障的养老保险精算现值模型进行了研究， Brennan Schwarz（1976）首次利用 Black—Scholes 公式获得趸缴保费的显式表达，利用有限差分方程 获得期缴保费的数值解，此后 Delbaen（1990）利 用等价鞅测度获得具有收益保障的养老保险合约 期缴保费，Bacinello ，Oru（1993）分析了依赖于 缴费的具有收益保障的养老保险合约，然后许多学 者进一步研究了多阶段均具有收益保障的养老保 险定价模型，Hipp（1996）利用 Black—Scholes 公 式研究了固定利率情况下多阶段具有收益保障的 养老保险精算现值模型， Persson Aase (1997) 、 Miltersen&Persson (1999) 、 Micocci el (2002) 、 Lindset（2003）研究了基于随机利率的多阶段具有 收益保障的寿险合约定价， Henrik Bakken el （2006） 通过降低变量的维数用 MC 方法估计了多阶段具有 收益保障的寿险合约中收益保障值的价值。国内学 者关于具有收益保障的养老保险研究较少，楚军红 （1997） ，崔惠贤（1999）结合国外情况从理论上 探讨了在中国国情下变额寿险的开发与使用；何文 炯（2001）、王传玉（2005）魏静、王永茂（2006） 分别定量研究了随机利率下即时给付的增额寿险 现值问题。 在上述文献研究的养老保险精算现值模型中， 被保人获得的收益保障值依赖于预定利率，不能有 效规避通货膨胀风险。本文在已有的研究模型基础 上，建立具有最低收益保障的商业养老保险精算现
dp(t ) = µ2 dt + σ 2 dw2 (t ) p (t )
其中 µi , σ i ∈ R , ωi ( i = 1, 2) 是标准布朗运动。
+
引入死亡率风险， t px 表示 x 岁的投保人再存 活 t 年的概率，根据精算学的知识，趸缴纯保费由 下式计算得到：
T
如果投保人伤残、死亡或合约期满，保险人须 支付投保人一定收益 b(t ) ，t = 1,L , T ，并且 b(t ) 依赖于预先商定的最低保险金额 D 、 股票价格指数
1 引言
具有收益保障的商业养老保险是为了防止通 货膨胀造成的固定保额购买力下降，实际保障程度 的减弱而设计的一种给付额随经济发展状况变动 的养老保险，在国内外已成为保险界研讨热点并相 继实施的一种现代寿险险种。保险合约中的被保人 能够获得最低的收益保障值，对采取这项政策的保 险公司来说，如果不能正确估计具有最低收益保障 的养老保险的市场价值，公司就要承担经营风险，
102206)
empirical analysis and a sensitivity analysis with historical data.
KEY WORDS: a minimum guarantee， actuarial present value， Copula 摘要： 为了能更有效的规避通货膨胀带来的风险， 首先运用 精算学的知识， 构建了一种具有最低收益保障的商业养老保 险精算现值模型， 其中收益保障值依赖于股票价格指数和居 民消费价格指数的增长情况以及二者的参考比例。在采用 MC 方法求解该模型时，利用 Copula 函数充分度量了两个 指数间的相关结构， 并给出了求解模型的详细步骤， 从而改 进了传统的 MC 模拟方法，最后根据历史数据，进行了实 证研究及敏感性分析。 关键词： 最低收益保障 精算现值 Copula
将 max max βs 入式（1）得到
{
,1
p (t ) p (0)
}
,βp
, − 1, 0
}
{
s (t ) s (0)
,βp
代 − 1, 0 记作 Y (t ) ，
}
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b(t ) = D + D ⋅ Y ( t )
额外保额 D ⋅ Y ( t ) 构成。
（2）
由式 （2） 可看出被保人获得的收益由最低保额 D 和 给付额的精算现值是计算纯保费和进行风险 管理的重要依据，根据精算理论， b(t ) 在 t = 0 时 刻的现值为：
定理， Sklar 指出通过研究随机变量的联合分布和边 缘分布，构造一个 Copula 函数，描述变量间的相 关性，但当时条件限制了它的发展和应用，Copula 理论在 90 年代后期才得以发展。自从 Embrechts 等把 Copula 引入到金融上以来， 许多学者已经取得 了较好的成果，De Matteis 对前人的工作做了一个 很好的综述和拓展。 我国对 Copula 的研究刚刚开展 起来， 如张尧庭从理论上探讨了 Copula 在金融上应 用的可行性，张明恒研究了多资产 VaR 的 Copula 计算方法， 吴振翔等探讨了 Copula 相依结构下静态 和动态两种情况下资产的组合投资问题。 由于本文是利用 Copula 表示 s ( t ) , p ( t ) 之间 的相关结构以得到式（4）的数值解，所以在这里 我们简单介绍 Copula 的一些概念和基本性质， 要想 详细了解 Copula 的数学性质以及它本身在数学理 论上尚未解决的问题，可以参考 Nelsen（1998） 。 3.1 Copula简介 定义： (Nelsen，1998) N 元 Copula 函数是指 具有以下性质的函数 C： （1） C = I N = [ 0,1] ；
t 0
,βp
p (t ) p (0)
, t ,1 ，则上式变为：
)
s (t ) 遵循几何布朗运动： ds (t ) = µ1 dt + σ 1 dw1 (t ) . s (t )
如同 s (t ) ， 居民消费价格指数 p (t ) 同样遵循几何布 朗运动：
− V0 (b(t )) = D ⋅ e ∫
具有最低收益保障的养老保险精算模型
刘灵会
（华北电力大学工商管理学院，北京 102206）
Actuarial Models of Pension System With a Minimum Guarantee
LIU Ling Hui (Department of Business Administration, North China Electric Power University , Beijing
如 Black&Scholes 模型，本文假设股票价格指数
V0 (b(t )) = v(t )b(t ) = v(t )( D + D ⋅ Y (t ))
∫ r ( s )ds ，将 Y t 在 t = 0 时刻的精算 其中 v (t ) = e 0 ()
−
t
现值记作 M
(β
s (t ) s s (0)
( r (t −∆t )−0.5σ
2 1 +σ1λs
∆t
)
∆t
p ( t ) = p (t − ∆t ) ⋅ e
ˆ β M s
t
( r (t −∆t )−0.5σ
2 2 +σ 2 λ p
)
（6）
(
s (t ) s (0)
, βp
p (t ) p (0) M
, t ,1
)
s (t ) s s (0)
− r ( s )ds 1 = e ∫0 N
r ( s )ds
+ D ⋅ M βs
(
s (t ) s (0)
,βp
p (t ) p (0)
, t ,1 (3)
)
Y ( t ) 可看作一项协议价格随着时刻 t 变化， 而执行
价格为 1 单位的看涨期权， M
(β
s (t ) s s (0)
,βp
p (t ) p (0)
, t ,1
)
则是看涨期权 Y (t ) 在 t = 0 时刻的市场价值。
值模型，其中收益保障值的增长率依赖于股票价格 指数和居民消费价格指数的增长情况以及二者的 参考比例。
s (t ) 、居民消费价格指数 p(t ) 及二者的参考比例 β s , β p ，因此我们建立模型：
b(t ) = D ⋅ max β s
由于
2 模型
2.1 建立模型 在已有的商业保险中，把股票价格指数作为投 资回报参考变量的变额寿险虽然解决了定额寿险 面临的一些问题，但自身也隐含着风险，据专家预 测，近几年我国将面临着通货膨胀的压力，而居民 消费价格指数能在一定程度上反映通货膨胀的变 化，因此把居民消费价格指数作为投资回报的参考 变量建立商业养老保险，更能有效地降低通货膨胀 带来的风险，从而保障投保人的利益。 假设在完全竞争市场的环境下，无套利，无摩 擦，市场上的主体获得同样的有效信息，不失一般 性，为计算简便，假设：
N
M βs
(
s (t ) s (0)
,βp
p (t ) p (0)
, t ,1 = E0M ( v(t )Y (t ) )
)
（5）
首先采用 MC 方法求解式（５）的数值解，设 定利用 MC 方法进行仿真模拟 N 次， 利用 MC 方法 进行模拟的公式（Marco Micocci，2004） ：
s ( t ) = s (t − ∆t ) ⋅ e
{
s (t ) s (0)
,βp
p (t ) p (0)
,1
}
（1）
max β s
{
s (t ) s (0)
,βp
p (t ) p (0) s (t ) s (0)
,1
= max max βs
{
}
p (t ) p (0)
,βp