养老金收支平衡精算模型摘要本文针对企业退休职工养老金的问题，通过建立合理的假设，综合运用Logistic 阻滞增长模型、傅立叶级数拟合、折现率、精算模型等方法讨论影响职工养老金的各因素，并对影响养老金的各个因素作了详细的分析和提供了较为实际的建议。

针对问题一，假设在未来中国经济发展稳定增长的情况下，根据附件提供的数据，运用曲线拟合和Logistic增长模型，建立年均工资预测模型。

首先对原数据进行简单的曲线拟合，结果成指数趋势增长，而指数的增长趋势与经济发展规律和国家经济发展战略不符，属于理想状况；之后通过引进与经济发展相关的Logistic增长模型对山东省职工的年均工资进行预测，并采用四点法求得Logistic增长趋势方程的最大上限值，确定Logistic增长模型的趋势方程式，最后采用R方检验法进行检验。

预测得到山东省2011年的年均工资为37827.86元，在2021年实现年均工资翻一番（64684.56元），2035年时年均工资翻两番，达到93199.61元，整体上符合国家的经济发展战略。

针对问题二，建立养老金替代率计算模型。

首先根据养老金原理得出基础养老金和个人账户养老金公式，运用问题一的Logistic增长模型，并在考虑职工年龄阶段性跳层的基础上，引用傅立叶级数拟合60-64岁阶段的月均工资，获得2000-2034年各年龄段年均工资，在此基础上，借助MATLAB编程解出各缴费年龄段的替代率。

最后对替代率进行灵敏度分析。

针对问题三，建立养老保险基金缺口分析模型。

首先分别从基础养老金和个人账户养老金两方面讨论缺口情况，并在引进折现率的基础上综合讨论养老保险基金的缺口情况，主要针对社会统筹基金和个人账户基金两方面进行分析，最后推算缴存的养老保险基金和领取的养老金之间的平衡点。

针对问题四，建立养老保险收支平衡精算模型。

首先对影响养老保险收支平衡的因素进行取舍，忽略社会统筹基金中其他相关因素对收支平衡的影响，只重点考虑影响个人账户的收入和支出的相关因素。

通过考虑社会平均退休年龄、平均余命、生存概率等因素，并根据未来给付精算现值等于未来缴费精算现值的精算平衡方法，对个人账户养老金在计算时点的缴费现值和未来给付精算现值进行比较，得到收支平衡时的替代率与退休年龄和工资增长率的关系，并算出当满足目标替代率时退休年龄和工资增长率的范围。

然后针对本问题养老金平衡模型的影响因素作了分析和提供了建议措施。

最后，通过对中国养老保险的现状和弊端做了简单的分析和提出相应的建议。

关键词：Logistic 傅立叶级数拟合折现率灵敏度分析养老保险平衡精算模型目录摘要 (I)1、问题重述 (1)2、问题假设 (1)3、符号说明 (2)4、问题分析 (3)4.1 背景分析 (3)4.2 问题一分析 (3)4.3 问题二分析 (3)4.4 问题三分析 (4)4.5 问题四分析 (4)5、模型建立与求解 (4)5.1 问题一 (4)5.1.1 工资增长指数模型 (4)5.1.2 工资增长Logistic模型 (6)5.1.3 模型结果比较与分析 (9)5.2 问题二 (10)5.2.1 基础养老金 (10)5.2.2 个人账户养老金 (11)5.2.3 替代率 (11)5.2.4 灵敏度分析 (13)5.3 问题三 (14)5.3.1 基础养老金缺口分析 (14)5.3.2 个人账户养老金缺口分析 (15)5.3.3 养老保险基金缺口分析 (16)5.4 问题四 (16)5.4.1养老金平衡精算模型 (17)5.2 关于养老金体系的思考 (20)6、模型优化与推广 (20)6.1 养老金平衡精算模型的敏感性分析 (20)6.1.1工资增长率 (20)6.1.2实际利率 (21)7、模型的优缺点 (21)7.1 模型的优点 (21)7.2 模型的缺点 (21)参考文献 (21)1、问题重述养老金也称退休金，是一种根据劳动者对社会所作贡献及其所具备享受养老保险的资格，以货币形式支付的保险待遇，用于保障职工退休后的基本生活需要。

我国企业职工基本养老保险实行“社会统筹”与“个人账户”相结合的模式，即企业把职工工资总额按一定比例（20%）缴纳到社会统筹基金账户，再把职工个人工资按一定比例（8%）缴纳到个人账户。

这两个账户我们合称为养老保险基金。

退休后，按职工在职期间每月（或年）的缴费工资与社会平均工资之比（缴费指数），再考虑到退休前一年的社会平均工资等因素，从社会统筹账户中拨出资金（基础养老金），加上个人工资账户中一定比例的资金（个人账户养老金），作为退休后每个月的养老金。

养老金会随着社会平均工资的调整而调整。

如果职工死亡，社会统筹账户中的资金不退给职工，个人账户中的余额可继承。

个人账户储存额以银行当时公布的一年期存款利率计息，为简单起见，利率统一设定为3%。

养老金的发放与职工在职时的工资及社会平均工资有着密切关系；工资的增长又与经济增长相关。

近30年来我国经济发展迅速，工资增长率也较高；而发达国家的经济和工资增长率都较低。

我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。

现在我国养老保险改革正处于过渡期。

养老保险管理的一个重要的目标是养老保险基金的收支平衡，它关系到社会稳定和老龄化社会的顺利过渡。

影响养老保险基金收支平衡的一个重要因素是替代率。

替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例。

按照国家对基本养老保险制度的总体思路，未来基本养老保险的目标替代率确定为58.5%. 替代率较低，退休职工的生活水准低，养老保险基金收支平衡容易维持；替代率较高，退休职工的生活水准就高，养老保险基金收支平衡较难维持，可能出现缺口。

所谓缺口，是指当养老保险基金入不敷出时出现的收支之差。

附件1是山东省职工历年平均工资数据；附件2是2009年山东省某企业各年龄段职工的工资分布情况，附件3是养老金的计算办法。

建立数学模型，解决如下问题：问题一：对未来中国经济发展和工资增长的形势做出你认为是简化、合理的假设，并参考附件1，预测从2011年至2035年的山东省职工的年平均工资。

问题二：根据附件2计算2009年该企业各年龄段职工工资与该企业平均工资之比。

如果把这些比值看作职工缴费指数的参考值，考虑该企业职工自2000年起分别从30岁、40岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），计算各种情况下的养老金替代率。

问题三：假设该企业某职工自 2000年起从30岁开始缴养老保险，一直缴费到退休（55岁，60岁，65岁），并从退休后一直领取养老金，至75岁死亡。

计算养老保险基金的缺口情况，并计算该职工领取养老金到多少岁时，其缴存的养老保险基金与其领取的养老金之间达到收支平衡。

问题四：如果既要达到目标替代率，又要维持养老保险基金收支平衡，你认为可以采取什么措施。

请给出你的理由。

2、问题假设1、假设21世纪中叶我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平。

2、假设职工缴纳养老保险基金过程不会中断，直到该职工退休。

3、假设所有的职工都是从每年的1月份开始缴费，每年缴足12个月，而退休后也是从每年的1月份开始领取养老金。

4、假设社会经济发展过程中无经济危机产生，国民经济增长稳定，并忽略老龄化影响。

5、假设中等发达国家的人均收入标准为9000-10000美元[1]。

3、符号说明4、问题分析4.1 背景分析养老金也称退休金、退休费，是一种最主要的养老保险待遇。

1997年国务院发布的《国务院关于建立统一的企业职工基本养老保险制度的决定》和2005年12月3日国务院发布的《国务院关于完善企业职工基本养老保险制度的决定》等国家有关文件规定，在劳动者年老或丧失劳动能力后，根据他们对社会所作的贡献和所具备的享受养老保险资格或退休条件，按月或一次性以货币形式支付的保险待遇，主要用于保障职工退休后的基本生活需要。

现在我国养老保险改革正处于过渡期，在养老保险中养老金过低则退休职工的生活水准低，但养老保险基金收支平衡容易维持；养老金过高则退休职工的生活水准高，但养老保险基金收支平衡较难维持，有时还会出现缺口。

故需要对养老保险进行管理，维持养老保险基金的收支平衡，稳定退休职工的正常生活，促进社会稳定发展，稳定养老保险基金可持续发展，稳定社会经济发展。

4.2 问题一分析根据山东省1978-2010年全省职工年平均工资，首先通过绘制散点图，分析变化趋势，满足指数函数增长趋势。

假设在理想状况下，没有其它因素的影响，通过拟合得到指数函数，并检验该指数函数，且进行预测和制图。

显然在现实实际中这种爆炸式的指数增长模式显然是不合理的，在经济增长的影响下，年均工资在未来发展过程中会受到阻滞而发生变化，以“S”型增长方式增长应更为合理。

在这种情况下，无法得知年均工资受到阻滞后会发生何种变化，故引入人均GDP值。

首先通过搜索2011年山东省统计年鉴，得到1978-2010年的人均GDP，对此进行拟合，发现人均GDP在此时间阶段也是呈现指数增长。

所以将人均GDP和理想年均工资进行相关性分析，且得到结果是两者的相似度很高，说明了两者的增长趋势几乎一致。

则可通过人均GDP的总体增长趋势，来间接体现年均工资的总体增长趋势。

从整个社会发展趋势来看人均GDP的总体增长趋势是类似S型曲线增长，也就是符合Logistic阻滞增长趋势，后期的增长趋势会逐渐趋向于某一最大值。

故此可以间接说年均工资的总体增长趋势也是满足Logistic阻滞增长模型的，对此建立年均工作Logistic增长模型。

可借助MATLAB和已知数据求出增长函数，并进行检验，通过检验验证的增长函数则可进行预测将来的年均工资。

比较理想状况下和经济增长影响下的年均工资预测值，结合中等发达国家的人均收入标准为9000-10000美元[1]，和我国经济发展的战略目标，是要在21世纪中叶使我国人均国民生产总值达到中等发达国家水平，即在2050年左右达到中等发达国家水平。

从中来比较说明两种模型中哪一种更加符合实际，能够用来进行预测。

4.3 问题二分析本问需要计算各种情况下的养老金替代率，那么则从确定替代率的因素入手。

题中已经告知替代率是指职工刚退休时的养老金占退休前工资的比例，则问题转换为求解职工退休时的养老金和退休前的工资。

由于一个企业的状况是不可能稳定不变的，所以题目提供的2009年的状况不能代表其它年份的企业情况，从题目提供的数据中可得到2009年山东省某企业职工的月平均工资和全省职工的年平均工资，而且全省职工的年平均工资是符合Logistic增长模型的，那么可以通过对两者进行做比例处理，间接说明了企业职工月均工资也是符合Logistic增长趋势的。

对各个年龄阶段的工资取中值代表该工资阶段的数值，那么则可以得到企业整体的月均工资和各年龄阶段的月均工资。