在终极的分析下，一切知识都是历史
在抽象的意义下，一切科学都是数学
在理性的基础上，所有的判断都是统计学
－C. R. Rao
教材：概率论与数理统计（经管类），第三版
吴赣昌 主编，中国人民大学出版社
参考教材：
1、概率论与数理统计
2、统计学与计量经济学
浙江大学 盛骤 等主编， 高等教育出版社
多米尼克.萨尔瓦多 等， 复旦大学出版社
P( A) 0
P( AB) P( B | A) P( A)
P( AB) P( A | B) P( B) P( B) 0
P( AB) P( A | B) P( B)
作用：计算两个事件同时发生的概率
例3： 求两次取到均为黑球的概率
1、古典概型方法： 2、乘法公式方法：
P32 1 P C 2 P 15 10
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如何学好“概率统计”课程
课前预习
课堂跟进
课后回顾+练习
概率论与数理统计课程结构图
Probability
Statistics
第一章 随机事件及其概率
作业：
§1.1随机事件；
§1.2随机事件的概率；
1-1：8,9
概率的单调性
A1 A2 An A1 A2 An1 A2 A1 A1
P(A1A2…An) ≤ P(A1A2…An-1) ≤ … ≤ P(A1A2) ≤ P(A1)
性质6(加法公式):
P A B P A P B P AB
A S
事件A发生 的可能性的大小
概率 P A
概率的统计定义 只是概率的近似值
( A. H. 柯尔莫哥洛夫1903-1987 )
“数学界的莫扎特”
前苏联科学家
20世纪最有影响的数学家，是美国、英国、法国等多国院士 或皇家学会会员。
他建立了在测度论基础上的概率论公理体系，奠定了近代概 率论的基础， 同时他也是随机过程论的奠基人之一， 此外，他在信息论、测度论、拓扑学等领域都有重大贡献
A P A S
A
S S S
例6
x y 20
x y 20
课堂练习
【问题】： 任取两个真分数，求它们的乘积不大于1/4的概率
x, y 0,1
1 SG 1 P xy 41x dx 4 S 4 1 4
1


A A A B AB A B AB A B AB
事件A与事件B相等 事件A与事件B至少有一个发生 事件A与事件B同时发生 事件A发生而事件B不发生 事件A和事件B互不相容
事件的关系与运算的维恩图表示法
BA
A，B互不相容
A，B对立
注意区别互斥与对立两种关系
完备事件组
两两互不相容
内容分布：
★ 频率及其性质 ★ 概率的统计定义 ★ 概率的公理化定义
★ 概率的性质*
尽管随机事件具有随机性，但是在一次试验中发生的
可能性大小是客观存在的，并且是可以度量的. 概率：度量事件出现的可能性大小 如何求值？
历史发展：
频率→概率（频率的稳定值）
“抛硬币”试验：抛掷n次，观察出现正面次数.
P( A) 0
1、通过定义，在样本空间S中，先计算出P(AB)、P(A)，再利用定 义计算P（B|A）＝ P(AB)/ P(A)。 2、在A已经发生的条件下，将S 缩减为A（即事件A所包含的基本 事件全体）中，直接计算B发生的概率。
条件概率性质
设事件A满足P（A）>0，则
1. 对于任一事件B，有1≥ P(B|A) ≥0 2. P(S|A) ＝1
A:每个杯子最多放1个球； B:每个杯子最多放2个球； C:每个杯子最多放3个球；
放球的所有可能结果：
基本事件总数
古典概型计算概率时应注意的问题：
计算样本空间和事件A所包含的基本事件数时，分清排列 与组合，不重复计数，也不要遗漏；
当直接计算遇到困难时，可以选择： 将复杂的事件分成若干个简单事件的和，再 利用概率的加法公式或有限可加性； 选择先计算其对立事件的概率，再利用性质3
解：
乘法公式的推广-P20 （4.4式） 对于任一n>1，如果
P A1 A2 An1 0
P A3 | A1 A2 P An 1 | A1 A2 An 2 P An | A1 A2 An 1
则有 P A A2 An P A P A2 | A1 1 1
乘法公式适用范围：
求若干事件的积事件的概率，如果这些事件之间存在“顺序” ，可以考虑“顺序”造成的概率影响，利用乘法公式求概率。
P Ai P( Ai ) i 1 i 1
三、概率的性质
分解思想
求概率的迂回战术
性质4:
S
A B
S
A
B
P( A B) P( A) P( AB)
B
特别地:
S
A
S
A
BA
B A P( A B) P( A) P( B) P( B) P( A)
1 1 ln 4 4 4
§1.4、条件概率
在实际问题中常常需要考虑在固定试验条件下，外加某些
条件时随机事件发生的概率。
条件概率
贝叶斯公式 注意对此种条件概率的理解
乘法公式
全概率公式
概率性质： 有限可加性
一、引例
连抛硬币2次，观察向上面出现的情况。
S={HH,HT,TH,TT}，A={HH,HT,TH},B={HH,TT}
三、几何概型
古典概型必须假定试验结果是有限个，这 限制了它的使用范围。 推广：保留等可能性，允许试验结果为无 限个，这种试验模型为几何概型。
法国数学家
蒲丰提出:将随机事件与几何结合起来.
何为几何概型？
P A A
P S S 1
往区域S内随机抛掷一点
求已知事件A发生的条件下事件B发生的概率？
B
AB
A
S
1 P ( B | A) 3
事件AB中样本点的数目 事件A中样本点的数目
二、条件概率的定义
定义1： 设A，B两个事件，
P(A)>0，
将已知事件A发生条件下事件B发生的条件概率记为
P(B|A)
P( AB) P( B | A) P( A)
条件概率的两种计算方法
BA
A
B
S
B
A
B S
A S
加法公式的推广
1) P( A B C ) P( A) P( B ) P(C ) P( AB) P( AC ) P( BC ) P( ABC )
2)对任意n 个事件 A1 ,
A2 , ,
An , 有
n n P Ai P Ai PAi A j 1 i j n i 1 i 1
n=5 nH 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 fn(H) 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 nH 22 25 21 25 24 21 18 n=50 fn(H) 0.44 0.50 0.42 0.50 0.48 0.42 0.36 nH 251 249 256 253 251 246 244 n=500 fn(H) 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488
三、样本空间 四、随机事件
S,
不可能事件 必然事件
两个特殊的事件：
S
六
通过事件的关系与运算来实现将复杂的事件分解成较简单 事件的“组合”。
记号
S,
事件间的关系与运算
概率论 样本空间, 必然事件 不可能事件 基本事件 事件 A的对立事件 事件A发生导致B发生
集合论 全集 空集 元素 子集 A的余集 A是B的子集 A与B的相等 A与B的和集 A与B的交集 A与B的差集 A与B没有相同的元素
8
9 10
2
3 3
0.4
0.6 0.6
24
27 31
0.48
0.54 0.62
258
262 247
0.516
0.524 0.494
一、频率及其性质
【定义1】在相同的条件下，进行了n 次试验， 在这n次试验 中，事件
A 发生的次数 nA 称为事件 A 发生的频数。
A出现的次数
比值nA /n 称为事件A 发生的频率，并记成fn(A) .
1 i j k n
PA A A 1
i j k
n 1
P A1 A2 An
课堂练习－习题1－2 ，4题
问题：
P A P B P C P AB P BC P AC P ABC
二、、概率的定义（公理化定义）
设 E,S ,对于 记为 P( A) ,
A S
赋予一个实数,
事件 A 的概率，
要求集合函数 P()满足 下列三个公理：
非负性 完备性 可列可加性
10
20
0 P( A) ;
P( S) 1;
30 若A1 , A2 ,是两两互不相容事件, 则 P( A1 A2 ) P( A1) P( A2)
P(B)与P(B |A)的区别在于两者发生的环境不同,它们是 两个不同的角度考虑的概率，在数值上一般也不同。
一般的，P(B|A) ≠P(B)
有关条件概率的三公式
•乘法定理（同时发生的事件的概率） •全概率公式（如何以全局的观点认识事件的发生）