习题11-1对弧长的曲线积分
1.计算下列对弧长的曲线积分：
（1） ，其中 为圆周 ，直线 及 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；
（2） ，其中 为折线 ，这里 、 、 、 依次为点 、 、 、 ；
（3） ，其中 为摆线的一拱 ， .
2.有一段铁丝成半圆形 ，其上任一点处的线密度的大小等于该点的纵坐标，求其质量。
复习题十一
1.计算下列曲线积分：
（1） ，其中 为圆周 .
（2） ，其中 为摆线 ， 上对应 从 到 的一段弧.
（3） ，其中 为上半圆周 ， 沿逆时针方向.
2.计算下列曲面积分：
（1） ，其中 是界于平面 及 之间的圆柱面 ；
（2） ，其中 为锥面
的外侧.
（3） ，其中 为半球面 上侧.
3.证明： 在整个 平面除去 的负半轴及原点的区域 内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数。
（3）沿上半圆周 从点 到点 .
4.设 为曲线 ， ， 上相应于 从 变到 的曲线弧，把对坐标的曲线积分 化成对弧长的曲线积分。
习题11-3格林公式及其应用
1.利用曲线积分，求星形线 ， 所围成的图形的面积。
2.计算曲线积分 ，其中 为圆周 ， 的方向为逆时针方向。
3.证明曲线积分 在整个 面内与路径无关，并计算积分值。.
（1） ；
（2）
6.计算 ，其中 为由点 到点 的曲线弧
解
原积分与路径无关， 故原式
习题11-4对面积的曲面积分
1.计算曲面积分 ，其中 为抛物面 在 面上方的部分。
2.计算下列对面积的曲面积分：
（1） ，其中 为平面 在第一卦限中的部分；
（2） ，其中 为球面 上 的部分；
3.求抛物面壳 的质量，此壳的面密度为 .
（1） 是平面 在第一卦限的部分的上侧；
（2） 是抛物面 在 面上方的部分的上侧；
习题11-6高斯公式
1.利用高斯公式计算曲面积分：
（1） ，其中 为平面 ， ， ， ， ， 所围成的立体的表面的外侧.
（2） ，其中 是界于 和 之间的圆柱体 的整个表面的外侧；
（3） ，其中 为平面 ， ， ， ， ， 所围成的立方体的全表面的外侧；
2.计算 ，其中 是：
（1）抛物线 上从点 到点 的一段弧；
（2）从点 到点 的直线段；
（3）先沿直线从点 到点 ，然后再沿直线到 的折线；
（4）曲线 ， 上从点 到点 的一段弧。
3.把对坐标的曲线积分 化成对弧长的曲线积分，其中 为：
（1）在 面内沿直线从点 到点 ；
（2）沿抛物线 从点 到点 ；
4.计算曲线积分 ，其中 是边长为4，原点为中心的正方形边界，方向为逆时针方向。
解法一
在 内作一圆 ： ，方向逆时针
由格林公式有
=
：
法二:由参数法将得积分代入四部分之和
2.计算曲面积分 ，其中 是曲面 的外侧.
解 添加平面 ，取上侧，使 构成封闭，应用高斯公式地
习题11-7斯托克斯公式
1.利用斯托克公式，计算下列曲线积分：
（1） ，其中 为圆周 ， ，若从 轴的正向看去，这圆周是取逆时针方向；
（2） ，其中 为圆周 ， ，若从 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；
（3） ，其中 为圆周 ， ，若从 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；
4.计算 ，其中 为锥面 及平面 所围成的区域的整个边界曲面.
解 ， ，在 上，
， 在 面的投影为
在 上， ，计算下列对坐标的曲面积分：
（1） ，其中 为球面 的下半部分的下侧.
（2） ，其中 为连续函数， 是平面 在第四卦限部分的上侧.
2.把对坐标的曲面积分 化成对面积的曲面积分，其中
解曲线 的参数方程为
依题意 ，所求质量
习题11-2对坐标的曲线积分
1.计算下列对坐标的曲线积分：
（1） ，其中 是抛物线 上从点 到点 的一段弧；
（2） ，其中 为圆周 （按逆时针方向绕行）；
（3） ，其中 是从点 到点 的一段直线；
（4） ，其中 为有向闭折线 ，这里 、 、 依次为点 、 、 ；
解：积分与路径无关，取路径 ，则有
4.利用格林公式，计算下列曲线积分：
（1） ，其中 为三顶点分别为 、 和 的三角形正向边界；
（2） ，其中 是从 沿 到点 的一段弧.
解：原式
取
，所以上述第一个积分与路径无关，取点 到点
的直线积分得：
又 的参数方程为 从 变到 ，所以
于是，原式
5.验证下列 在整个 平面内是某一函数 的全微分，并求这样的一个 ：