高等数学（二）答案
二. 填空题：(每小题4分,共40分)
(1). 1, (2).
41, (3). 2, (4). 2, (5). x
1, (6). x
e , (7). ()x
f -, (8).1, (9). 33
2π, (10). 1。

三．计算题：（每小题6分，共60分） 1.解.
()()()()(
)()()()()()()()()
x b x a x b x a x b x a x b x a x b x a x b x a x x --+++---++=---+++∞→+∞
→(lim
lim
….3分
()
b a x b x a x b x a b a x +=⎪
⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+∞
→11112lim
. ……….6分
2.解.()17517372lim 75732lim +⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-++∞
→∞→n n
n
n n n n
n n n . ……..3分 =1. ……6分
3.解法一.()
dx e dy b ax '
sin += ……..3分
dx e b ax a b ax )sin()cos(++= ………6分
解法二.()
()()b ax d e
dy b ax +=+sin sin ………3分
dx e b ax a b ax )sin()cos(++=. ………6分
4.解.,2,22
x x x x xe e dx
y d xe e dx dy +=+= …….4分 所以
20
2
2==x dx y
d . ……….6分
5.解.（1）
()11sin 0
0=--
==x x x
y xy ,故10-==x y , …..3分
（2）()()01
cos 2=--+⎪⎭
⎫ ⎝⎛+x y dx dy xy dx dy x y ， ……..4分 于是()()
01cos 0
20=--+⎪⎭
⎫
⎝⎛
+==x x x y dx dy xy dx dy x
y ，即
20
==x dx
dy . ……..6分
6．解.()
⎰⎰
++=
+113
113
332
x d x dx x x
……3分 ()
C x ++=233
19
2 . ……6分 7.解.
()()()⎰⎰⎰⎰⎰+=+=2
1
10
2
21
10
20
2xdx dx x
dx x f dx x f dx x f ……….3分
3
10
3313
21
2
1
3=+=
+=x x . ……….6分 8.解.x
e e x
dt e e x x x x t t x sin 2lim
cos 1)2(lim
00
-+=--+-→-→⎰
………3分
0cos lim
0=-=-→x
e e x
x x . …….6分
9解.特征方程02
=+k k ,特征值为1,021-==k k , 2分 故通解为 x
e
c c y -+=21,其中21,c c 为任意数. ………6分
10.解. 因为()())11(114321ln 1432≤<-++-++-+-=++x n x x x x x x n n ΛΛ, ……3分 所以,()2
2
1ln x x x =+())1
1432(1
432ΛΛ++-++-+-+n x x x x x n n =())11(114323
6543
≤<-++-++-+-+x n x x x x x n n ΛΛ …….6分
四.综合题.(共30分,其中第1题12分,第2题12分,第3题6分) 1.解法一. (1).()⎰-=
1
dx e e S x
……….4分
()
1110
=+-=-=e e e ex x
. ………..6分
(2).()⎰-=1
22
dx e e
V x π
………..9分
()()
12
121212221
022+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=e e e e x e x π
ππ ………..12分
.解法二.(1)⎰
-=1
0dx e e S x
……….3分
110
=-=x e e . ………..6分
(2). ⎰
-=1
22
dx e e V x
ππ (9)
()
12
2
2
1
22
+=
-
=e
e
e x π
π
π. …………12分
2.解
()x e dx
dy
x -=-1,得到驻点11=x , ………1分 令()022
2=-=-x e dx y d x
,得到22=x , ……2分
…….7分
由此求得曲线上极大值点),1(1
-e A 及拐点)2,2(2
-e B ， .9分
于是直线AB 的中点)2
,23(21
--+e e P ， …….10分
故所求的直线方程为21
2
--+=e e y . ……..12分 3.证明.因()x f y =在点0x 处可导,所以 ()0'0lim
x f x
y
x =∆∆→∆,
从而()00lim lim lim lim 0'0
000=⋅=∆∆∆=∆∆∆=∆→∆→∆→∆→∆x f x x y
x x y y x x x x , ……3分
即()x f y =在点0x 处连续. …….4分 反例,如x y =在点0x 处连续,但不可导. ……..6分。