海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科）本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则AB =A. {1}x x >B. {23}x x <<C. {13}x x <<D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则a 与b A. 垂直 B. 不垂直也不平行 C. 平行且同向D. 平行且反向3. 函数222x x y =+的最小值为 A. 1B. 2C. 22D. 44. 已知命题:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为 A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解 B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解 C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解 D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解5. 已知函数,,log x b c y a y x y x ===的图象如图所示，则A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >> 6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是 A. ()f x 是偶函数 B. 函数()f x 最小值为34C.π2是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 在π0,2（）内是减函数 8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，则称A 为函数()2x f x =上的好位置点. 函数()2x f x =上的好位置点的个数为A. 0B. 1C. 2D. 大于2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 已知数列{}n a 的前n 项和31n n S =+，则23a a +=_____. 10. 若角θ的终边过点(3,4)P -，则sin(π)θ-=____.11. 已知正方形ABCD 边长为1，E 是线段CD 的中点，则AE BD ⋅=____.12. 去年某地的月平均气温y （℃）与月份x （月）近似地满足函数ππsin()66y a b x =++（,a b 为常数）. 若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为 ℃.13. 设函数2,1,()(0log ,1,xa a x f x a x x ⎧-⎪=>⎨>⎪⎩≤，且1)a ≠.①若32a =，则函数()f x 的值域为______； ②若()f x 在R 上是增函数，则a 的取值范围是_____.14. 已知函数()f x 的定义域为R . ,a b ∀∈R ，若此函数同时满足：①当0a b +=时，有()()0f a f b +=； ②当0a b +>时，有()()0f a f b +>， 则称函数()f x 为Ω函数.在下列函数中：①sin y x x =+；②13()3x x y =-；③0,0,1,0x y x x=⎧⎪=⎨-≠⎪⎩.是Ω函数的为____.（填出所有符合要求的函数序号）三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15.（本小题满分13分）已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 满足1n n n b b a +-=，且2318,24b b =-=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求n b 取得最小值时n 的值.16.（本小题满分13分）已知函数π()cos(2)cos23f x x x =--.（Ⅰ）求π()3f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间.17.（本小题满分13分）已知函数3()9f x x x =-，函数2()3g x x a =+.（Ⅰ）已知直线l 是曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线，且l 与曲线()y g x =相切，求a 的值； （Ⅱ）若方程()()f x g x =有三个不同实数解，求实数a 的取值范围.18. （本小题满分13分）如图，ABC ∆是等边三角形，点D 在边BC 的延长线上，且2BC CD =,AD =（Ⅰ）求CD 的长； （Ⅱ）求sin BAD ∠的值.19. （本小题满分14分）已知函数2()e ()x f x x ax a =++. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求证：当4a ≥时，函数()f x 存在最小值.20.（本小题满分14分）已知数列{}n a 是无穷数列，满足11lg |lg lg |n n n a a a +-=-（2,3,4,n =）.（Ⅰ）若122,3a a ==，求345,,a a a 的值；（Ⅱ）求证：“数列{}n a 中存在*()k a k ∈N 使得lg 0k a =”是“数列{}n a 中有无数多项是1”的充要条件；（Ⅲ）求证：在数列{}n a 中*()k a k ∃∈N ,使得12k a <≤.海淀区高三年级第一学期期中练习 数 学（理科）答案解析 2016.11一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则AB =A. {1}x x >B. {23}x x <<C. {13}x x <<D. {2x x >或1}x < 【考点】集合的运算，一元二次不等式。

解析：集合B ＝{x|1＜x ＜3}，所以，AB ={23}x x <<，故选B 。

2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则a 与b A. 垂直B. 不垂直也不平行C. 平行且同向D. 平行且反向【考点】平面向量的定义，考查向量平行的判定。

解析：因为2(1,2)2b a =--=-，所以，两个向量平行，且方向相反。

选D 。

3. 函数222x xy =+的最小值为 A. 1B. 2C. 22D. 4【考点】基本不等式，指数函数的性质。

解析：因为2x＞0，所以，有222222222xx x x y =+≥=222xx =，即12x =时取得最小值。

选C 。

4. 已知命题:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解 【考点】命题的否定。

解析：命题的否定，把“存在”改为“任意“，并否定结论，所以，选A 。

5. 已知函数,,log x b c y a y x y x ===的图象如图所示，则A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >>【考点】指数函数、幂函数、对数函数的图象。

解析：根据幂函数的性质，由图可知：0＜b ＜1，由指数函数图象的性质，知：1a >，又当x ＝1时，1y a =＜2，所以，12a <<；由对数函数图象的性质，知1c >，又x ＝2时，由图象可知：log 21c <， 所以，c ＞2，所以，选C 。

6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【考点】平面向量，充分必要条件。

解析：若||||a b a b +>-，则22||||a b a b +>-，化简，可得：0a b >，反过来也成立，故选C 。

7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是 A. ()f x 是偶函数 B. 函数()f x 最小值为34C.π2是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 在π0,2（）内是减函数 【考点】三角函数的图象及其性质。

解析：由42()cos ()sin ()()f x x x f x -=-+-=，知函数()f x 是偶函数，故A 正确。

所以，C 也正确，选D 。

8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，则称A 为函数()2x f x =上的好位置点. 函数()2x f x =上的好位置点的个数为A. 0B. 1C. 2D. 大于2 【考点】指数函数的图象及其性质，应用知识解决问题的能力。

解析：设A （,2xx ），B （2,2xx -），若ABC ∆为等边三角形，则C （11,2x x --），且AC ＝AB ＝2，即121(22)xx -+-＝2，即222x -＝3，又因为y ＝222x -单调递增，所以，方程有唯一解。

第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 已知数列{}n a 的前n 项和31nn S =+，则23a a +=_____. 【考点】数列的前n 项和。

解析：2331a a S S +=-＝（27＋1）－（3＋1）＝24。

故填空24。

10. 若角θ的终边过点(3,4)P -，则sin(π)θ-=____. 【考点】三角函数的定义。

解析：角θ的终边过点(3,4)P -，所以，4sin 5θ=-，sin(π)θ-=4sin 5θ-=，答案：4511. 已知正方形ABCD 边长为1，E 是线段CD 的中点，则AE BD ⋅=____. 【考点】平面向量。

解析：以B 为原点，BC 向右方向为x 轴正方向，BA 向上方向为y 轴正方向，建立直角坐标系，则各点坐标为：A （0,1），B （0,0），D （1,1），E （1，12）， 所以，AE BD ＝（1，－12）（1,1）＝12，答案：1212. 去年某地的月平均气温y （℃）与月份x （月）近似地满足函数ππsin()66y a b x =++（,a b 为常数）. 若6月份的月平均气温约为22℃，12月份的月平均气温约为4℃，则该地8月份的月平均气温约为 ℃.【考点】：三角函数的图象，三函数的运算。