当 n 13, (Sn )max 169
4.等差数列前n项和的性质（3）
等 差 数 列 连 续 的 k项 之 和 也 成 等 差 数 列 。 即 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,......也 成 等 差 数 列 。 (公 差 为 k2•d)
例 1 ： 在 等 差 数 列 { a n } 中 ， S 1 0 = 1 0 , S 2 0 = 4 0 , 求 S 3 0 课 堂 练 习 2 ： 等 差 数 列 { a n } 中 ， 若 S 2 = 2 ， S 6 = 2 4 , 求 S 4
中
间
项
)(2)
S S
奇 偶
n n 1
例 2： 已 知 等 差 数 列 {an}中 ， 共 有 10项 ,S偶=15,S奇=12.5, 求 a1与 d。 例 3： 已 知 等 差 数 列 {an}中 ， 共 有 2n-1项 ,S奇=290,S偶=261, 求 项 数 与 中 间 项 。
例 2 ： 已 知 等 差 数 列 { a n } 中 ， 共 有 1 0 项 , S 偶 = 1 5 , S 奇 = 1 2 . 5 , 求 a 1 与 d 。
5.等差数列前n项和的性质（4） 关于奇数项与偶数项和的关系的几个结论：
S奇 S偶 S所有 1.当 项 数 为 2n（ 偶 数 ） 时 ：
（ 1） S偶
S奇
n • d (2) S偶 S奇
a n 1 an
2 .当 项 数 为 2 n - 1 （ 奇 数 ） 时 ：
（ 1） S奇
S偶
an
(an是
1.已知数列{an}的前项和Sn=2n2-23n, （1）求其通项公式an；
（2）求Sn的最值。
1.解：(1)由题意可知：
当n 2时，an Sn Sn1 2n2 23n [2(n 1)2 23(n 1)]
2n2 2(n 1)2 23n 23(n 1) 4n 25
当n 1时，a1 21 S1
谢谢！
解 : 该 等 差 数 列 的 项 数 为10项 ,
S偶
S奇 =n
• d即 15-12.5=5 • d,解 得 d
1 2
10 9 1
又
S偶
S奇
S
1
即
0
1
5
1
2
.5
10a1
2 2
解 得 a1
1 2
a1
1 2
,d
1 2
例 3 ： 已 知 等 差 数 列 { a n } 中 ， 共 有 2 n - 1 项 , S 奇 = 2 9 0 ,S 偶 = 2 6 1 . 求 项 数 与 中 间 项 。
解 : 该等差数列的项数为2n 1项, S奇 S偶 a中即 290 261 a中, a中 29 又 S奇 n 即 290 n ,解得n 10
S偶 n 1 261 n 1 项数为2 10 1 19
课 堂 练 习 ： 已 知 等 差 数 列 { a n } 中 ， 共 有 2 n + 1 项 , S 奇 = 5 1 ,S 偶 = 4 2 . 5 ， a 1 1 ,求 项 数 及 通 项 公 式 。
an 4n 25(n N )
(n2
23 2
n)
2(n
23)2 4
529 8
由二次函数的性质可知当n=6时,(Sn )min 66
2 .解
: (法
一
)由
S17 =S9 , 得
25
17
17
(1 7 2
1)
d
25 9 9 (9 1) d 解 得 d 2 2
一.知识点回顾
1.等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 an) 2
Sn
na1
n(n1)d 2
2.等差数列前n项和的性质（1）
由Sn na1n(n21)d
可化成
Sn
dn2 2
(a1d2)n
当d≠0时，是一个常数项为零的二次式.
思考3：一般地，若数列{an}的前n和Sn＝An2＋Bn，那 么数列{an}是等差数列吗？若Sn＝An2＋Bn＋C 呢？ （1）数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn （2）数列{an} 的前n项和是Sn＝An2＋Bn＋C ，则：
①若C＝0，则数列{an}是等差数列；
②若C≠0，则数列{an}从第2项起是等差数列。
结论：
等差数列前n项和的最值问题有两种方法：
(1) 由
Sn
dn2 2
(a1
d)n 2
利用二次函
数配方法求得最值时n的值.
(2) 当a1＞0，d＜0，前n项和有最大值. 可由an≥0，且an＋1 ＜ 0，求得n的值； 当a1＜0，d＞0，前n项和有最小值. 可由an≤0，且an＋1 ＞ 0，求得n的值.
Sn
25n
n
(n
1) 2
(2)
n2
26n
(n
13)2
169
由 二 次 函 数 的 性 质 知 ,当 n 13, (Sn )max 169
(法 二 )先 求 出 d = - 2 (同 法 一 )
a1
25
0 ,由
an 25 (n 1) (2)
a
n
1
25
n
(2)
0
0
得
n
n
1 3 .5 1 2 .5
3.等差数列前n项和的性质（2）
已知等差数列的前n项和Sn，如何求an ? 利用Sn与an的关系: an=SS1n,nSn11,n2
二.巩固练习
1.已知数列{an}的前项和Sn=2n2-23n, （1）求其通项公式an； （2）求Sn的最值。
2.在 等 差 数 列 {an}中 ， a1=25,S17=S9, 求 Sn的 最 值 。