§1 特征值与特征向量、相似矩阵
注：
（1 ） 若 是A的属于特征值 的特征向量，则 k (k 0) 也是A的属于 的特征向量. （2） 若 1,2 ,L ,s 是A的属于特征值 的特征向量， 则 k11 k22 L kss , k1, k2 ,L , ks 不全为零 也是A的属于 的特征向量.
2 2 4 x3
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
4 2 2 4 2 2
解之得基础解系为
2 x1 2 x2 0, 4 x3
(1 , 1 , 1)T ,
所以属于 1 5 的一个线性无关的特征向量就是
1 = 1 + 2 + 3，
全部特征向量就是 k11 (0 k1 P) .
11
12
1n
E A
a 21 M
a ... 22 M
a 2n M
a a ... a
n1
n2
nn
n (a a L a ) n1 L (1)n A
11
22
nn
称为A的特征多项式. 方程 E A 0 称为A的
特征方程，其根称为A的特征根，即A的特征值. 注. n阶方阵A在复数范围内有n个特征值.
| E - A | = ( - 1)( - 2) … ( - n) .
比较上述两式可得
1 + 2 + … + n = a11 + a22 + … + ann ;
12 …n = |A|.
证毕
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
n次多项式的根与系数的关系
韦达定理： 设 1,2 是 ax2 bx c 的两个根，则
性质2：设n阶矩阵 A (aij )nn ，则
①
A的全体特征值的和＝
a 11
a 22
L
a nn
解之得基础解系为
(1 , 1 , 0)T , (0 , 1 , 1)T ,
所以属于 2 3 1的一个线性无关的特征
向量就是 2 1 2 , 3 2 3 ,
全部特征向量就是
k22 k33 (k2 , k3 P,且不全为0).
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
主要性质
性质1：n阶矩阵A与它的转置矩阵 AT的特征值相同.
1i jn
—（2）
比较（1）与（2）的展开式中同次项的系数，
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
得根与系数的关系为：
a1 1 L n a2 12 13 L n1n
a3 123 124 L n2n1n
LLLLL
an1 1 n1 12 L n1 13 L n L 23 L n an 1n 12 L n
（3）一个 特征值可以有多个特征向量. （4）一个特征向量只能属于一个特征值.
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
求矩阵的特征值与特征向量的一般步骤
i)求A的特征多项式 E A的全部根，它们就是A的
全部特征值. ii)把所求得的特征值逐个代入方程组
( E A)x 0
并求出它的一组基础解系，它们就是属于这个特征值 的全部线性无关的特征向量.
因而, A 的特征多项式中, n 与 n-1 的系数由该项
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
确定. 不难看出, n 的系数为 1 , n-1 的系数为
-(a11 + a22 + … + ann). 另外, 在特征多项式中
令 = 0 可得其常数项为 |A| . 故
| E - A | = n
- (a11 + a22 + … + ann)n-1+ … + (-1)n |A| . 由于 1 , 2 , … , n 是 A 的 n 个特征值, 所以
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
当
2 3 1 时, 解方程组
(E A)X 0 ,
2 2 2 x1
即
2 2 2 x2 0,
2 2 2 x3
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
2 2 2 x1 2 2 2 x2 0, 2 2 2 x3
2 2 1
特征值与特征向量.
解 A 的特征多项式为
1 2 2 E A 2 1 2
2 2 1
§1 特征值与(特征向1量)2、(相似矩5)阵.
所以，A 的特征值为
1 5 , 2 3 1,
当 1 5 时, 解方程组
(5E A)X 0 ,
4 2 2 x1
即
2 4 2 x2 0,
1
2
b a
,12
c a
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
C上多项式的根与系数关系：
设 f x xn a1xn1 L an1x an
—（1）
是一个n（n>0）次多项式，则它在C中有n个根，记
为 1,2 ,L ,n 则
f x x 1x 2 L x n
xn 1 L n xn1
i j xn2 L 1n 12 L n
第五章 矩阵的特征值与特征向量
§1 特征值与特征向量、相似矩阵 §2 矩阵可对角化的条件、实对称
矩阵的对角化
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
一、特征值与特征向量 二、相似矩阵
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
一、特征值与特征向量
定义1：设A是n阶方阵，若对于数 ，存在n维非零
列向量 ，使得 A =
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
证 由行列式的定义可知, 矩阵 A 的特征多项式
a11 a12
E A a21 a22
a1n a2n
an1 an2 ann
中, 有一项是主对角线上 n 个元素的积( - a11) ( - a22) ( - ann)
而其他各项至多含有主对角线上的 n - 2 个元素.
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
例题
例1.求矩阵 A =
34 52
的特征值与特征向量.
1 1 0
例2.求矩阵
A
=
4 1
3 0
0 2
的特征值与特征向量.
2 1 1
例3.求矩阵
A
=
0 4
2 1
0 3
的特征值与特征向量.
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
例4 求矩阵
1 2 2 A 2 1 2 ,
则称数 为方阵A的一个特征值，非零向量 称为 A的属于特征值 的一个特征向量.
注： A = ( E A) 0 存在非零向量 , 使 A E A 0.
§1 特征值与特征向量、相似矩阵
定义2: 设 是一个未知量，矩阵 E A称为A的
特征矩阵，它的行列式
a a ... a