F ( x) 即
F ( x) P( X x) x
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分布函数F（x）具有下列性质：
1 2
0 F ( x) 1
x
F ( x) 是非降函数，即当 x1 x 2 时，有
F ( x1 ) F ( x2 )
3 4
x
lim F ( x) 0
特殊年金与保险 寿险定价与负债评估 偿付能力与监管

拓展

基础知识
第一节 第二节 第三节 概 率 随机变量及其分布 随机变量的数字特征
第一节
概
率
一、基本概念 1．随机试验
其结果在事先不能确定的试验。 具有三个特性：
（1）可以在相同的条件下重复进行； （2）每次试验的结果不止一个，并能事先明确 试验的所有可能的结果；
有关寿命分布的参数模型

Makeham模型(1860)
x A Bc x
s( x) exp{ Ax B(c x 1) / ln c} , B 0,A -B,c 1,x 0

Weibull模型(1939)
x kx n
s( x) exp{kx
n 1
Pr( K ( X ) k ) Pr(k T ( x) k 1) k 1 qx k qx (1 k 1 px ) (1 k px ) k px k 1 px S ( x k ) S ( x k 1) S ( x k ) S ( x k ) S ( x k 1) S ( x) S ( x) S ( x) S (x k ) k px qx k k qx

x
则称 X 为连续型随机变量， f （ x ）称为 X 的概率密 度，且满足
f ( x) 0



f ( x)dx 1
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第三节 随机变量的数字特征 一、期望和方差 1．期望 设离散型随机变量X的分布律为
P( X xk ) pk

k 1,2,
则
E ( X ) xk pk
x
lim F ( x) 1
F ( x 0) F ( x)
F（x）是右连续的，即
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3．分布密度 最常见的随机变量是离散型和连续型两种。 离散型 随机变量 随机变量 X 的可能取值仅有有限 个或可列无穷多个。
设 xk (k 1,2,) 是离散型随机变量X的
所有可能的取值，
x
剩余寿命


t
定义：已经活到x岁的人（简记(x)）， 还能继续存活的时间，称为剩余寿命， 记作T(x)。 分布函数 t qx ：
qx Pr(T ( X ) t ) Pr( x X x t X x) S ( x) S ( x t ) S ( x)
剩余寿命
x t
死亡效力

死亡效力与密度函数的关系
f ( x) x s( x) x exp{ s ds}
0 x

死亡效力表示剩余寿命的密度函数 g (t )
S ( x) S ( x t ) G (t ) 1 t px S ( x) d d S ( x) S ( x t ) S ( x t ) x t g (t ) G (t ) t px x t dt dt S ( x) S ( x)
0
整值剩余寿命的期望与方差

期望整值剩余寿命：( x ) 整值剩余寿命的期望值 (均值)，简记 e x
ex E ( K ( x)) k k px qx k k 1 px
k 0 k 0



整值剩余寿命的方差
2 2 2
Var ( K ( x)) E ( K ) E ( K ) (2k 1) k 1 px ex
，有
P( Bi | A)
P（Bi）P（A | Bi )

i 1
n
P（Bi）P（A | Bi )
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五、独立性
1．定义 两个 如果事件A，B满足
P（AB ） P（A）P（B）
则称事件A，B相互独立。
，An 是n个事件，如果对于任意 n个 设 A1，A2，
s
(2 s n) 和 1 i1 i2 is n ，有
/(n 1)} , k 0, n 0, x 0
参数模型的问题




至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。 这四个常用模型的拟合效果不令人满意。 使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生 很大的误差 寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而 是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命 的分布。 在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的 分布。

剩余寿命的生存函数 t px ：
t
px Pr(T ( x) t ) Pr( X x t X t ) S(x t) S ( x)

特别：
x
p0 S ( x)
剩余寿命


qx ：x岁的人将在1年内去世的概率
qx 1 qx
px ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率 p x 1 px
P（ Ei） P（Ei )
i 1
n
两两互不相容 ，则

5
设两两互不相容的事件 则对于任意事件A，有
E1，E2， ， Ei
i 1
P（A）
P（A E )
i 1 i
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四、条件概率
1．定义 设E为随机试验，为其样本空间，A、B 为任意两个事件， 则称 若
P（A） 0
生命表起源

生命表的定义

根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每 个年龄死亡率所组成的汇总表. 1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单, 写过《生命表的自然和政治观察》。这是生命表的最早起源。 1693年，Edmund Halley,《根据Breslau城出生与下葬统 计表对人类死亡程度的估计》，在文中第一次使用了生命表 的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为 生命表的创始人。 构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布 假定（非参数方法）
（3）对两两互不相容的事件序列
E1，E2，
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P（ Ei） P（Ei )
i 1 i 1
则称P（E）为事件E的概率。
二、概率的性质： 1 2
P（） 0
P（E F） P（E） P（F） P（EF）
P( E ) 1 P( E)
c
3
4
设
E1，E2， ，En
n i 1
tu
qx：x岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之
tu
间去世的概率
qx t u qx t qx t px t u px
整值剩余寿命

定义：( x )未来存活的完整年数，简记 K ( x)
K ( X ) k, k T ( x) k 1, k 0,1,

概率函数
寿险精算学
统计系 尹剑
本课程要求


上课要求：准时出席，注意课堂秩序， 独立完成作业； 下一次上课前交作业，过时不收； 期末成绩=（出勤与作业成绩）*30%+ （期末试卷成绩）*70%。
2015-4-26
2
课程结构

基础
利息理论基础 生命表基础

核心

保费计算 责任准备金计算 多重损失模型 保单的现金价值与红利
P（AB ） P（B | A） P（A）
为事件A出现的情况下，事件B的条件概率， 或简称事件B关于事件A的条件概率。
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2．基本公式
定理2（乘法公式）
假设 若 则
A1，A2， ，An为任意n个事件（ n 2 ），
P（A1 A2 An） 0
P（A1 A2 An） P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 )



g (x) f ( x)dx
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第一章
生存分布与生命表
本章重点

生命表函数

生存函数 剩余寿命 死亡效力 有关寿命分布的参数模型 生命表的起源 生命表的构造

生命表的构造



有关分数年龄的三种假定
第一节 死亡年龄的概率分布函数
生存函数

定义
S ( x) Pr(X x)

生命表的发展历史



生命表的特点

生命表的构造

原理

在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群 的生存概率。（用频数估计频率） 新生生命组个体数：l0 x 年龄： 极限年龄：

常用符号

生命表的构造

pk
是
xk
的概率：
P( X xk ) pk
(k 1,2,)
则称上式为X的概率分布或分布率 。且满足
pk 0

k 1

pk 1
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3．分布密度
连续型 随机变量
如果对于随机变量X的分布函数为F（x）， 存在非负的函数 f（ x）,使对任意的实数 x 有
F ( x) f (t )dt


意义：新生儿能活到 x岁的概率。 与分布函数的关系： S ( x) 1 F ( x) 与密度函数的关系： f ( x) S ( x) 新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：