计数原理专题训练1．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案有( )A ．48种B ．72种C ．96种D ．216种2．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12x n 的展开式前三项系数成等差数列，则n 等于( ) A ．6 B ．8 C ．7 D ．93．山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中A ，B 两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为( )A ．12B ．24C ．36D ．484．岳阳高铁站B 1进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该检票口进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这3个同学的不同进站方式有( )A ．24种B ．36种C ．42种D ．60种5．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为( ) A ．7 B ．5 C ．4 D ．36．若二项式(3－x )n ()n ∈N *展开式中所有项的系数之和为a ，所有项的系数的绝对值之和为b ，则b a ＋ab的最小值为( ) A ．2 B.52 C.136 D.927．已知(2x －1)4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，则a 2等于( )A ．18B ．24C ．36D ．568．李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中到“东亚文化之都——泉州”二日游，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有( )A ．16种B ．18种C ．20种D ．24种9．在(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )11的展开式中，x 2的系数是( )A ．220B ．165C ．66D ．5510．若(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－mx 5展开式中x 2项的系数是40，则实数m 的值为( ) A. 2 B ．2 C ．±2 D ．±2 11．某大型医疗器械展览将于2019年5月18至20日在兰州举行，现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为( )A ．540B ．300C ．180D ．15012．九九重阳节期间，学校准备举行慰问退休老教师晚会，学生们准备用歌曲、小品、相声三种艺术形式表演五个节目，其中歌曲有2个节目，小品有2个节目，相声有1个节目，要求相邻的节目艺术形式不能相同，则不同的编排种数为( )A ．96B ．72C ．48D ．2413．一共有5名同学参加《我的中国梦》演讲比赛，3名女生和2名男生，如果男生不排第一个演讲，同时两名男生不能相邻演讲，则排序方式有________种．(用数字作答)14．多项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x ()2＋x 5的展开式中，含x 2的项的系数是________；常数项是________． 15．若(1－2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 018x 2 018(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018的值为________．16．(2x－1)n展开式中二项式系数的计数原理专题训练答案1．若用红、黄、蓝、绿四种颜色填涂如图方格，要求有公共顶点的两个格子颜色不同，则不同的涂色方案有( )A ．48种B ．72种C ．96种D ．216种 答案 C解析 按照以下顺序涂色，A ：C 14→B ：C 13→D ：C 12→C ：C 12→E ：C 11→F ：C 12，所以由分步乘法计数原理得总的方案数为C 14·C 13·C 12·C 12·C 12＝96.2．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋12x n 的展开式前三项系数成等差数列，则n 等于( ) A ．6 B ．8 C ．7 D ．9答案 B解析 展开式的通项为T k ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12k C k n 32k n x －， 其前三项的系数分别是1，n 2，14C 2n ， 据已知得n ＝1＋n n －18，解得n ＝8(n ＝1舍弃)．3．山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里，其中A ，B 两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里，且均不能试种在两端的试验田里，则不同的试种方法数为( )A ．12B ．24C ．36D ．48答案 B解析 因为A ，B 两型号的种子试种方法数为2×2＝4，所以一共有4A 33＝24(种)试种方法．4．岳阳高铁站B 1进站口有3个闸机检票通道口，高考完后某班3个同学从该检票口进站到外地旅游，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这3个同学的不同进站方式有( )A ．24种B ．36种C ．42种D ．60种 答案 D解析 若三名同学从3个不同的检票通道口进站，则有A 33＝6(种)； 若三名同学从2个不同的检票通道口进站，则有C 23C 23A 22A 22＝36(种)；若三名同学从1个不同的检票通道口进站，则有C 13A 33＝18(种)． 综上，这3个同学的不同进站方式有60种．5．二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为( ) A ．7 B ．5 C ．4 D ．3答案 A 解析 二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋13x n 的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则n ＝20， ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋13x 20展开式的通项为T k ＋1＝C k 20()3x 20－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x k ＝()320－k C k 204203k x －，展开式的有理项满足20－43k (k ∈N)的值为整数， 据此可得，k 可能的取值为0,3,6,9,12,15,18，共有7个．6．若二项式(3－x )n ()n ∈N *展开式中所有项的系数之和为a ，所有项的系数的绝对值之和为b ，则b a ＋ab的最小值为( ) A ．2 B.52 C.136 D.92答案 B解析 令x ＝1，可得二项式(3－x )n (n ∈N *)展开式中所有项的系数之和为a ＝2n ，令x ＝－1，可得(3－x )n 展开式中所有项的系数的绝对值之和为 b ＝4n ，则b a ＋a b ＝4n 2n ＋2n4n ＝2n ＋12n ，故当n ＝1时，b a ＋a b 取得最小值52. 7．已知(2x －1)4＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4，则a 2等于( )A ．18B ．24C ．36D ．56 答案 B解析 (2x －1)4＝[]1＋2x －14， 故a 2(x －1)2＝C 24[2(x －1)]2＝4C 24(x －1)2，所以a 2＝4C 24＝24.8．李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中到“东亚文化之都——泉州”二日游，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有( )A ．16种B ．18种C ．20种D ．24种 答案 C解析 任意相邻两天组合一起，包括①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，一共有6种情况，若李雷选①②或⑥⑦，则韩梅梅有4种选择，若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥，则韩梅梅有3种选择，故若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有2×4＋4×3＝20(种)．9．在(1＋x )＋(1＋x )2＋(1＋x )3＋…＋(1＋x )11的展开式中，x 2的系数是( )A ．220B ．165C ．66D ．55答案 A解析 展开式中x 2的系数为C 22＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 211，由组合数的性质得，C 22＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 211＝C 33＋C 23＋C 24＋C 25＋…＋C 211＝C 34＋C 24＋C 25＋…＋C 211…＝C 312＝12×11×103×2×1＝220. 10．若(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－mx 5展开式中x 2项的系数是40，则实数m 的值为( ) A. 2 B ．2 C ．±2 D ．±2 答案 C解析 (x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－mx 5展开式中x 2项是由⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－mx 5展开式中常数项与()x 2＋2的二次项之积和⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－mx 5展开式中二次项与()x 2＋2的常数项之积组成的． ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－mx 5的展开式的通项为 T k ＋1＝C k 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25－k ·(－mx )k ＝(－m )k C k 5x 3k －10， 令3k －10＝0，解得k ＝103，不合题意，应舍去； 令3k －10＝2，解得k ＝4，∴(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－mx 5的展开式中x 2项的系数为2·(－m )4C 45＝40，即m 4＝4， 解得m ＝±2.11．某大型医疗器械展览将于2019年5月18至20日在兰州举行，现将5名志愿者分配到3个不同的展馆参加接待工作，每个展馆至少分配一名志愿者的分配方案种数为( )A ．540B ．300C ．180D ．150 答案 D解析 将5人分成满足题意的3组有1,1,3与2,2,1两种，分成1,1,3时，有C 35·A 33种分法；分成2,2,1时，有C 25·C 23A 22·A 33种分法， 由分类加法计数原理得，共有C 35·A 33＋C 25·C 23A 22·A 33＝150(种)不同的分法．12．九九重阳节期间，学校准备举行慰问退休老教师晚会，学生们准备用歌曲、小品、相声三种艺术形式表演五个节目，其中歌曲有2个节目，小品有2个节目，相声有1个节目，要求相邻的节目艺术形式不能相同，则不同的编排种数为( )A ．96B ．72C ．48D ．24答案 C解析 第一类，先选择一个小品插入到2个歌曲之间，另一个小品放在歌曲的两边，这时形成了5个空，将相声插入其中一个，故有A 22A 12A 12A 15＝40(种)；第二类，相声插入歌曲之间，再把小品插入歌曲两边，有A 22A 22＝4(种)；第三类，相声插入小品之间，再把歌曲插入小品两边，有A 22A 22＝4(种)，根据分类加法计数原理可得，共有40＋4＋4＝48(种)． 13．一共有5名同学参加《我的中国梦》演讲比赛，3名女生和2名男生，如果男生不排第一个演讲，同时两名男生不能相邻演讲，则排序方式有________种．(用数字作答) 答案 36解析 根据题意，分2步完成：①将3名女生全排列，有A 33＝6(种)顺序，②排好后，有4个空位，男生不排第一个演讲，除去第一个空位，有3个空位可用，在这3个空位中任选2个，安排2名男生，有A 23＝6(种)情况，则有6×6＝36(种)符合题意的排序方式．14．多项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x ()2＋x 5的展开式中，含x 2的项的系数是________；常数项是________． 答案 200 144解析 根据题意，()2＋x5的展开式的通项为T k ＋1＝C k 525－k ·x k . ∴当k ＝2时，有T 3＝C 2523·x 2＝80x 2；当k ＝3时，有T 4＝C 3522·x 3＝40x 3； 当k ＝0时，有T 1＝C 0525·x 0＝32； 当k ＝1时，有T 2＝C 1524·x 1＝80x . ∴多项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1x ()2＋x 5的展开式中， 含x 2的项为2×80x 2＋1x·40x 3＝200x 2， 即含x 2的项的系数是200；常数项是2×32＋1x·80x ＝144. 15．若(1－2x )2 018＝a0＋a 1x ＋…＋a 2 018x 2 018(x ∈R)，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018的值为________． 答案 －1 解析 在(1－2x )2 018＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 018x 2 018(x ∈R)中，令x ＝0时，可得(1－2×0)2 018＝a 0，即a 0＝1，令x ＝12时， 可得⎝⎛⎭⎪⎫1－2×122 018＝a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018， 即a 0＋a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝0， 又a 0＝1，所以a 12＋a 222＋…＋a 2 01822 018＝－1. 16．(2x －1)n 展开式中二项式系数的和为32，则(2x 2＋x －1)n 展开式中x 3的系数为________． 答案 －30解析 由(2x －1)n 展开式中二项式系数的和为32，可得2n ＝32，解得n ＝5，(2x 2＋x －1)5＝(x ＋1)5(2x －1)5，根据二项式定理可以求得(x ＋1)5的展开式中，三次项、二次项、一次项的系数和常数项分别是10,10,5,1， (2x －1)5的展开式中，常数项及一次项、二次项、三次项的系数分别是－1,10，－40,80， 所以展开式中x 3项的系数为－10＋100－200＋80＝－30.。