2020年内蒙古鄂尔多斯市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|(x +3)(x −1)<0}，B ={x|x >−12}，则A ∩B =( )A. {x|−12<x <1} B. {x|x >−3} C. {x|−3<x <−12}D. {x|x >−12}2. 复数z =(2+i)(1−i)，则|z|=( ) A. 2 B. √2 C. 10D. √10 3. 已知向量 a ⃗⃗⃗ =(1,2)，b ⃗ =(4λ,−1)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则λ=( )A. 12B. 14C. 1D. 24. 已知m ，n 是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，下列命题正确的是( )A. 若m//α，m//β，n//α，n//β，则α//βB. 若m//n ，m ⊥α，n ⊥β，则α//βC. 若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD. 若m ⊥n ，m//α，n ⊥β，则α⊥β5. 如图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格(单位：元)，以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不正确的是( )A. 深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高B. 天津的往返机票平均价格变化最大C. 上海和广州的往返机票平均价格基本相当D. 相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加6. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3=−3，S 7=−7，则S n 的最小值为( )A. −12B. −15C. −16D. −187. 如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB 、AC ，已知以直角边AC 、AB 为直径的半圆的面积之比为14，记∠ABC =α，则cos 2α+sin2α=( )A. 35B. 45C. 1D. 858. 已知抛物线C ：y 2=6x 的焦点为F ，准线为l ，A 是l 上一点，B 是直线AF 与抛物线C 的一个交点，若FA⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|BF|=( ) A. 72B. 3C. 52D. 29. 在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类別，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金．从五行中任取两个，这二者具有相生关系的概率是( ) A. 0.2 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.8 10. 函数y =1x−ln|x|的图象大致是( )A.B.C.D.11. 已知双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为2c ，过左焦点F 1作斜率为1的直线交双曲线C 的右支于点P ，若线段PF 1的中点在圆O ：x 2+y 2=c 2上，则该双曲线的离心率为( ) A. √2 B. 2√2 C. √2+1 D. 2√2+1 12. 已知函数f(x)={2+log 12x,18≤x <12x,1≤x ≤2.若f(a)=f(b)(a <b)，则ab 的最小值为( ) A. √22B. 12C. √24D. √53二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.某种牛肉干每袋的质量m(kg)服从正态分布，质检部门的检测数据显示：该正态分布为N(2,σ2)，P(1.9≤m≤2.1)=0.98.某旅游团游客共购买这种牛肉干100袋，估计其中质量低于1.9kg的袋数大约是______袋．14.已知函数f(x)=cosx−log2(2x+1)+ax(a∈R)为偶函数，则a=______．15.已知A、B、C、P是同一球面上的四个点，其中PA⊥平面ABC，△ABC是正三角形，PA=AB=3，则该球的表面积为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16.设函数f(x)=x2x ，点A n(n,f(n))(n∈N∗)，A0为坐标原点，若向量a n⃗⃗⃗⃗ =A0A1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A1A2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯An−1A n⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设i=(1,0)，且θn是a n⃗⃗⃗⃗ 与i的夹角，记S n为数列{tanθn}的前n项和，则tanθ3=(1)，S n=(2)．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性驾驶员，其中平均车速超过90km/ℎ的有30人，不超过90km/ℎ的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速超过90km/ℎ的有5人，不超过90km/ℎ的有15人．(Ⅰ)完成下面的2×2列联表，并据此判断是否有99.9%的把握认为，家庭轿车平均车速超过90km/ℎ与驾驶员的性别有关；不超过90km/ℎ的人数为ξ，假定抽取的结果相独立，求ξ的分布列和数学期望．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．18.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosB=acosC+ccosA．(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若△ABC为锐角三角形，求ca的取值范围．19. 已知六面体ABCDEF 如图所示，BE ⊥平面ABCD ，BE//AF ，AD//BC ，BC =1，CD =√5，AB =AF =AD =2，M 是棱FD 上的点，且满足FMMD =12． (Ⅰ)求证：直线BF//平面MAC ；(Ⅱ)求二面角A −MC −D 的正弦值．20. 在直角坐标系xOy 中，长为3的线段的两端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，点P 为线段AB 上的点，且满足|AP|=2|PB|.记点P 的轨迹为曲线E ． (Ⅰ)求曲线E 的方程；(Ⅱ)若点M 、N 为曲线E 上的两个动点，记OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m ，判断是否存在常数m ，使得点O 到直线MN 的距离为定值？若存在，求出常数m 的值和这个定值；若不存在，请说明理由．21. 已知函数f(x)=e ax sinx ．(1)若f(x)在[0,π6]上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若a =1，对∀x ∈[0,π2]，恒有f(x)≤bx 成立，求实数b 的最小值．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为{x=√3cosα,y=sinα(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+4=0．(Ⅰ)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(Ⅱ)若点P在曲线C1上，点Q在曲线C2上，求|PQ|的最小值及此时P点的坐标．23.已知函数f(x)=|2x−1|+|x+1|．(Ⅰ)解不等式f(x)≥3；(Ⅱ)若a、b、c均为正实数，且满足a+b+c=m，m为f(x)的最小值，求证：b2a +c2b+a2c≥32．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合A={x|(x+3)(x−1)<0}={x|−3<x<1}，B={x|x>−12}，∴A∩B={x|−12<x<1}.故选：A．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵z=(2+i)(1−i)=3−i，∴|z|=√32+(−1)2=√10．故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】A【解析】解：∵向量 a⃗⃗⃗ =(1,2)，b⃗ =(4λ,−1)，且a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =4λ−2=0，解得λ=12．故选：A．利用向量垂直的性质直接求解．本题考查向量垂直的性质，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】B【解析】解：m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，知：在A中，若m//α，m//β，n//α，n//β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m//n，m⊥α，n⊥β，则由面面平行的判定定理得α//β，故B正确；在C中，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若m⊥n，m//α，n⊥β，则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．在A中，α与β相交或平行；在B中，由面面平行的判定定理得α//β；在C中，α与β相交或平行；在D中，α与β相交或平行．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．5.【答案】D【解析】解：对于A，由六个城市春运往返机票平均价格和增幅折线图得深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高，故A正确；对于B ，由六个城市春运往返机票的平均价格和增幅折线图得天津的往返机票平均价格变化最大，故B 正确；对于C ，由六个城市春运往返机票的平均价格和增幅折线图得上海和广州的往返机票平均价格基本相当，故C 正确；对于D ，由六个城市春运往返机票的平均价格和增幅折线图得到：比于上一年同期，其中北京、上海、广州、天津、重庆五个城市的往返机票平均价格在增加，故D 错误． 故选：D ．由六个城市春运往返机票平均价格和增幅折线图得深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高，天津的往返机票平均价格变化最大，上海和广州的往返机票平均价格基本相当，比于上一年同期，其中北京、上海、广州、天津、重庆五个城市的往返机票平均价格在增加．本题考查命题真假的判断，考查六个城市春运往返机票平均价格和增幅折线图等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 6.【答案】C【解析】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=−3，S 7=−7， ∴a 1+2d =−3，7a 1+21d =−7， 联立解得：a 1=−7，d =2， ∴a n =−7+2(n −1)=2n −9， 令a n ≤0，解得n ≤92=4+12．则S n 的最小值为S 4=−7−5−3−1=−16． 故选：C ．设等差数列{a n }的公差为d ，由a 3=−3，S 7=−7，可得a 1+2d =−3，7a 1+21d =−7，联立解得：a 1，d ，可得：a n ，令a n ≤0，解得n.即可得出S n 的最小值．本题考查了等差数列的通项公式求和公式、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：以直角边AC ，AB 为直径的半圆的面积分别为：12×π×(AC 2)2=π⋅(AC)28，12×π×(AB2)2=π⋅(AB)28，由面积之比为14得：(AC)2(AB)2=14，即ACAB =12， 在Rt △ABC 中，tanα=tan∠ABC =ACAB =12，所以cos 2α+sin2α=cos 2α+2sinαcosαsin 2α+cos 2α=1+2tanαtan 2α+1=214+1=85故选：D ．根据两半圆的面积比，可求出AC ，AB 之比，从而求出tanα，再进一步借助于同角三角函数函数关系弦化切求解即可．本题考查三角函数的公式变换，以及给值求值问题解法，同时考查学生利用转化思想解决问题的能力和运算能力，属于基础题． 8.【答案】D【解析】解：由题可知，p =3，如图所示，过点B 作BC ⊥l 于点C ，准线l 与x 轴交于点E ，设|BF|=m ，则|AB|=2m ，由抛物线的定义可知，|BC|=|BF|=m ，∴∠ABC =60°=∠AFE ， ∴|AF|=2|EF|=2p =6， ∴|BF|=13|AF|=2．故选：D ．过点B 作BC ⊥l 于点C ，准线l 与x 轴交于点E ，设|BF|=m ，由于FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AB|=2m ，再结合抛物线的定义，可推出∠ABC =60°=∠AFE ，于是|BF|=13|AF|=23p ，进而得解．本题考查抛物线的定义，平面向量的线性运算，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：在我国传统文化“五行”中，有“金、木、水、火、土”五个物质类別，在五者之间，有一种“相生”的关系，具体是：金生水、水生木、木生火、火生土、土生金． 从五行中任取两个，基本事件总数n =C 52=10，这二者具有相生关系包含的基本事件个数m =C 51=5， ∴这二者具有相生关系的概率是p =m n=510=12=0.5．故选：B ．从五行中任取两个，基本事件总数n =C 52=10，这二者具有相生关系包含的基本事件个数m =C 51=5，由此能求出这二者具有相生关系的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 10.【答案】B【解析】解：f(−12)=1−12−ln 12=1ln2−12>0，故排除选项C ；f(−2)=1−2−ln2<0，故排除选项A ；f(1)=11−ln1=1，故排除选项D ．故选：B ．直接利用特殊点的函数值，结合选项运用排除法得解．本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：如图，设线段PF 1的中点为Q ，连接OQ ，由题意可得OF 1=OQ ，又直线PF 1的斜率为1， 则OQ ⊥x 轴，得QF 1=√2c ，则PF 1=2√2c ， 由OQ 为△F 1PF 2的中位线，可得PF 2=2c ， 则2√2c −2c =2a ，得e =ca =√2−1=√2+1．故选：C ．由题意画出图形，结合已知可得OQ ⊥x 轴，分别求得PF 1与PF 2，再由双曲线的定义列式求解离心率． 本题考查圆与双曲线的综合、三角形中位线定理，考查数形结合的解题思想方法，考查双曲线定义的应用，是中档题． 12.【答案】B【解析】解：画出函数f(x)={2+log 12x,18≤x <12x,1≤x ≤2的图象，如图①所示；由f(a)=f(b)，且a <b ，设2+log 12a =2b =k ，则2<k ≤4； 所以a =(12)k−2，b =log 2k ；当k =4时，ab =(12)2⋅log 24=14⋅2=12；考虑ab−12=(12)k−2⋅log2k−12=(12)k−2⋅(log2k−2k−3)，在同一坐标系中画出函数y=log2x和y=2x−3的图象，其中x∈(2,4]，如图②所示；则函数y=log2x的图象总在y=2x−3的图象上方，所以ab−12≥0，即ab的最小值为12．故选：B．画出函数f(x)的图象，由题意得出2+log12a=2b=k，则2<k≤4；可求得a、b的表达式，计算k=4时ab=12；再求ab−12≥0恒成立即可．本题考查了分段函数的应用问题，正确画出函数图象和熟练掌握函数的性质是解题的关键．13.【答案】1【解析】解：由题意，正态曲线关于x=2对称，∴P(m>2.1)=P(m<1.9)=12[1−P(1.9≤m≤2.1)]=0.01．故购买这种牛肉干100袋，估计其中质量低于1.9kg的袋数大约为100×0.01=1袋．故答案为：1．由已知结合正态分布曲线的对称性求出P(m<1.9)，乘以100得答案．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．14.【答案】12【解析】解：根据题意，函数f(x)=cosx−log2(2x+1)+ax为偶函数，则有f(−x)=f(x)，即cos(−x)−log2(2−x+1)+a(−x)=cosx−log2(2x+1)+ax，变形可得2ax=log2(2x+1)−log2(2−x+1)=x，则有a=12；故答案为：12根据题意，由函数奇偶性的定义可得f(−x)=f(x)，即cos(−x)−log2(2x+1)+a(−x)=cosx−log2(2x+ 1)+ax，变形分析可得答案．本题考查函数奇偶性的判断以及应用，注意函数奇偶性的定义，属于基础题． 15.【答案】21π【解析】解：由题意画出几何体的图形如图， 把A 、B 、C 、P 扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A 的距离为球的半径， PA =AB =3，OE =32，△ABC 是正三角形， ∴AE =23AD =23√32−(32)2=√3． AO =√AE 2+EO 2=√212． 所求球的表面积为：4π×(√212)2=21π．故答案为：21π．由题意把A 、B 、C 、P 扩展为三棱柱如图，求出上下底面中心连线的中点与A 的距离为球的半径，然后求出球的表面积．本题考查球的内接体与球的关系，考查空间想象能力，利用割补法结合球内接多面体的几何特征求出球的半径是解题的关键．16.【答案】181−12n【解析】解：由函数f(x)=x2x ，点A n (n,f(n))(n ∈N ∗)， 向量a n ⃗⃗⃗⃗ =A 0A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯A n−1A n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 0A n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以tanθ3=f(3)3=3233=18；S n =tanθ1+tanθ2+tanθ3+⋯+tanθn =121+2222+3233+⋯+n2n n =12+122+123+⋯+12n =12[1−(12)n ]1−12 =1−12n ．故答案为：18，1−12n ．利用向量的加法，结合函数解析式，即可得出结论本题考查了平面向量的综合应用问题，也考查了等比数列的求和运算问题，是中档题．计算K 2的观测值k =60×(30×15−5×10)240×20×35×25=6×167≈13.71>10.828，故有99.9%的把握认为，家庭轿车平均车速超过90km/ℎ与驾驶员的性别有关;(Ⅱ)在这3辆车中任意抽取1辆，驾驶员为女性且平均车速不超过90km/ℎ的概率为1560=14， ∴随机变量ξ～B(3,14)，P(ξ=0)=C 30(14)0(34)3=2764；P(ξ=1)=C 31(14)1(34)2=2764；P(ξ=2)=C 32(14)2(34)1=964；P(ξ=3)=C 33(14)3(34)0=164．∴数学期望E(ξ)=0×2764+1×2764+2×964+3×164=34．【解析】本题考查独立性检验、二项分布、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．(Ⅰ)先补充完整2×2列联表，再根据K 2的公式计算出其观测值，并与附表中的临界值对比即可作出判断； (Ⅱ)在这3辆车中任意抽取1辆，驾驶员为女性且平均车速不超过90km/ℎ的概率为1560=14，故随机变量ξ～B(3,14)，然后根据二项分布求概率的方法逐一求出每个ξ的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．18.【答案】解：(Ⅰ)∵2bcosB =acosC +ccosA ，由正弦定理可得：2cosBsinB =sinAcosC +sinCcosA =sin(A +C)=sinB ， ∵sinB ≠0， ∴cosB =12， ∵0<B <π， ∴B =π3．(Ⅱ)∵由题意，ca=sinCsinA =sin(2π3−A)sinA=√32cosA+12sinA sinA，可得c a=√32⋅1tanA+12，又△ABC 为锐角三角形， ∴π6<A <π2，可得tanA >√33，∴0<1tanA <√3，可得12<c a =√32⋅1tanA+12<2，∴ca 的取值范围是(12,2)．【解析】(Ⅰ)根据正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式计算即可得解． (Ⅱ)由题意，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可得ca=√32⋅1tanA+12，又可求范围π6<A <π2，可得tanA >√33，即可计算求解． 本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正切函数的性质，考查了转化思想，属于中档题． 19.【答案】解：(Ⅰ)证明：连结BD ，设BD ∩AC =O ，连结MO ， ∵AD//BC ，∴△BOC∽△DOA ，∴DOOB =ADBC =21， 在△FBD 中，∵MD MF=21=DO OB，∴MO//FB ，且MO ⊂平面MAC ，FB ⊄平面MAC ， ∴FB//平面MAC ．(Ⅱ)∵AD//BC ，AB =2，BC =1，AD =2，CD =√5，∴AB ⊥AD ，∵BE//AF ，BE ⊥平面ABCD ，∴AF ⊥平面ABCD ， ∴AF ⊥AB ，AF ⊥AD ，取AB 所在直线为x 轴，取AD 所在直线为y 轴，取AF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由已知得B(2,0，0)，C(2,1，0)，D(0,2，0)，E(2,0，3)，F(0,0，2)， ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2)，∵FMMD =12，∴DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−43,43)，∴M(0,23,43)， ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1，0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,23,43)， 设m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)为平面的法向量， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y =0m⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =23y +43z =0，取x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,−2,1)， CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,−1343)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1，0)， 同理求得平面MCD 的法向量n ⃗ =(1,2，2)， ∴|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√6×3=3√6，∴二面角A −MC −D 的正弦值为：√1−(3√6)2=√31818．【解析】(Ⅰ)连结BD ，设BD ∩AC =O ，连结MO ，推导出MO//FB ，由此能证明FB//平面MAC ．(Ⅱ)推导出AB ⊥AD ，从而AF ⊥平面ABCD ，AF ⊥AB ，AF ⊥AD ，取AB 所在直线为x 轴，取AD 所在直线为y 轴，取AF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A −MC −D 的正弦值． 本题考查线面平行的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：(Ⅰ)设P(x,y)，A(x 0,0)，B(0,y 0)，因为|AP|=2|PB|，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以{x −x 0=−2xy =2(y 0−y)，解得x 0=3x ，y 0=32y ，又因为|AB|=3，即x 02+y 02=9，所以y 24+x 2=1；(Ⅱ)当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y =kx +b ，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m ，可得x 1x 2+y 1y 2=m ， 由O 到MN 的距离为定值可得d =√1+k 2为常数)，即d 2=b 2k 2+1，{y =kx +b y 24+x 2=1可得(4+k 2)x 2+2kbx +b 2−4=0，△=4k 2b 2−4(4+k 2)(b 2−4)>0，即b 2<k 2+4，x 1+x 2=−2kb 4+k 2，x 1x 2=b 2−44+k 2，又y 1⋅y 2=(kx 1+b)(kx 1+b)=k 2x 1x 2+kb(x 1+x 2)+b 2，所以m =5b 2−4k 2−44+k 2，所以5b 2=4(k 2+1)+m(k 2+4)，所以5b 2k 2+1=4+m(k 2+4)k 2+1，所以5d 2=4+m(k 2+4)k 2+1，所以d 为定值时m =0，此时d 为2√55，且符合△>0，；当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为x =n ，由题意可得5n 2=4+m ，所以m =0时，n =±2√55，经检验，符合条件，综上所述，存在常数m =0，使得点O 到直线MN 的距离为定值d =2√55．【解析】(Ⅰ)设P 的坐标，设A ，B 的坐标，因为|AP|=2|PB|，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得P 点的坐标与A ，B的坐标的关系，再由|AB|的长度，可得P 的坐标的关系，即求出P 的轨迹方程；(Ⅱ)分直线MN 的斜率存在和不存在两种情况讨论，设直线的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出数量积OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由题意OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m ，可得M ，N 的坐标之间的关系，求出O 到直线MN 的距离，要使O 到直线MN 的距离为定值，可得m 的值和定值．本题考查求轨迹方程的方法及直线与椭圆的综合，及点到直线的距离为定值的性质，属于中档题． 21.【答案】解：(1)函数f(x)=e ax sinx ，∴f′(x)=e ax(asinx+cosx)，∵f(x)在[0,π6]上单调递增，∴f′(x)=e ax(asinx+cosx)≥0在[0,π6]上恒成立，即asinx+cosx≥0在[0,π6]上恒成立，当x=0时，上式成立，a∈R，当x∈(0,π6]时，有a≥−cosxsinx=−1tanx，需a≥(−1tanx)max，而0<x≤π6，0<tanx≤√33，则−1tanx≤−√3，故a≥−√3，综上实数a的取值范围是[−√3,+∞)．(2)设g(x)=f(x)−bx=e x sinx−bx，x∈[0,π2]，则g′(x)=e x(sinx+cosx)−b．设ℎ(x)=e x(sinx+cosx)−b，则ℎ′(x)=e x(2cosx)≥0，∴ℎ(x)在[0,π2]上单调递增，即g′(x)在[0,π2]上单调递增，∴g′(x)∈[1−b,eπ2−b]，当1−b≥0即b≤1时，g(x)≥g(0)=0，不符合题意，当eπ2−b≤0，即b≥eπ2，g(x)≤g(0)=0，符合题意，当1−b<0<eπ2−b时，即1<b<eπ2，根据函数零点存在定理，∃x0∈(0,π2)，使g′(x0)=0，有x∈(0,x0)时，g′(x)<0，g(x)在[0,x0)上单调递减，有x∈(x0,π2]时，g′(x)>0，g(x)在(x0,π2]上单调递增，g(0)=0成立，故只需要g(π2)≤0即可，有e π2−b⋅π2≤0，可得2πeπ2≤b<eπ2符合，综上可得b≥2πeπ2，实数b的最小值为2πeπ2．【解析】(1)根据导数和函数单调性的关系即可求出a的取值范围；(2)设g(x)=f(x)−bx=e x sinx−bx，x∈[0,π2]，再求导，再构造函数设ℎ(x)=e x(sinx+cosx)−b，再利用导数求出函数的最值即可求出b的最值．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：(Ⅰ)曲线C 1的参数方程为{x =√3cosα,y =sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 23+y 2=1． 曲线C 2的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+4=0.由于{x =ρcosθy =ρsinθ，转换为直角坐标方程为x +y +4=0．(Ⅱ)设点P(√3cosθ,sinθ)到直线x +y +4=0的距离d =√3cosθ+sinθ+4|√12+12=|2sin(θ+π3)+4|√2，当θ=−5π6时，sin(θ+π3)=−1，即d min =√2， 点P 坐标为(−32,−12).【解析】(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(Ⅱ)利用点到直线的距离公式的的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果． 本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(Ⅰ)f(x)={−3x,x <−1−x +2,−1≤x ≤123x,x >12，当x <−1时，f(x)≥3恒成立，解得x <−1； 当−1≤x ≤12时，由f(x)≥3，解得x =−1； 当x >12时，由f(x)≥3，解得x ≥1； 综上，不等式的解集为(−∞,−1]∪[1,+∞)；(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知，a +b +c =m =32，当x =12时取得最小值m ， 又a ，b ，c 为正实数，且a +b +c =32， ∴b 2a+c 2b+a 2c+a +b +c =(b 2a +a)+(c 2b +b)+(a 2c+c)≥2(√b 2a ⋅a +√c 2b ⋅b +√a2c ⋅c)=2(a +b +c)，当且仅当“a =b =c =12”时取等号， ∴b 2a+c 2b+a 2c≥32．【解析】(Ⅰ)将函数化为分段函数的形式，再分别求解，最后取并集得答案； (Ⅱ)利用(Ⅰ)a +b +c =32，再利用基本不等式即可得证．本题考查绝对值不等式的解法，以及基本不等式的运用，考查运算求解能力及推理论证能力，属于基础题．。