x∈ (0，＋∞)减 x∈ (－∞，0) 减
公共点
(1,1)
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幂函数的图象过点(3, 3)，则它的单调递增区间是( )
A．[－1，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．(－∞，0)
【解析】 设幂函数为f(x)＝xα，因为幂函数的图象过点(3, 3)，
所以f(3)＝3α＝ 3＝312，解得α＝12，所以f(x)＝x12，所以幂函数的单调递增区间为
(1)如图2-3-1所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，
已知n取±2，±12四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为( A．－2，－21，21，2
B．2，21，－12，－2
) 图2-3-1
C．－12，－2,2，12
D．2，12，－2，－21
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(2)已知幂函数 y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递
阶
阶
段
段
一
三
2.3 幂函数
学
阶 段 二
业 分 层
测
评
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1．通过实例了解幂函数的概念，能区别幂函数与指数函数．(易混点) 2．结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1 的图象，了解它们的变化情况．
(难点) 3．能够运用幂函数的简单性质进行实数大小的比较．(重点)
1
(3)函数y＝－x2是幂函数．( )
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4
【解析】 (1)√.函数y＝x－5符合幂函数的定义，所以是幂函数； (2)×.幂函数中自变量x是底数，而不是指数，所以y＝2－x不是幂函数；
1
(3)×.幂函数中xα的系数必须为1，所以y＝－x2不是幂函数．
【答案】 (1)√ (2)× (3)×
(3)∵f(x)＝(m2－2m－2)
在(0，＋∞)上是减函数，
m2－2m－2＝1，
∴12m2＋m<0，
∴m＝－1.
【答案】 (1)B (2)3 (3)－1
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判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y＝xα(α 为常数)的形式， 即：(1)指数为常数，(2)底数为自变量，(3)底数系数为 1.
y＝x2 _[_0_，__＋__∞_)_
_偶__
y＝x3
1
y＝ x2
y＝x－1
__R_ _[_0_，__＋__∞_)_ _(_－__∞_，__0_)_∪__(0_，__＋__∞__)
_奇__ _非__奇__非__偶_
_奇__
单调性
x∈ (0，＋∞) 增 _增__ x∈ (－∞，0] 减
_增__
_增__
n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝
1 2
，当n<0时，|n|越大，曲线越
陡峭，所以曲线C3的n＝－12，曲线C4的n＝－2，故选B.
【答案】 B
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(2)因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以 3m－9<0，解得 m<3，又 m∈N*， 所以 m＝1,2.
因为函数的图象关于 y 轴对称，所以 3m－9 为偶数，故 m＝1，则原不等式可
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教材整理2 幂函数的图象与性质
阅读教材P77倒数第二自然段至P78“例1”以上部分，完成下列问题．
幂函数的图象与性质：
幂函数 y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x12
y＝x－1
图 象
定义域 __R__
_R__
_R__ [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)
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幂函数 y＝x 值域 _R__ 奇偶性 _奇__
在(0，＋∞)上是减函数，则 m＝______.
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【精彩点拨】 (1)结合幂函数y＝xα的定义判断． (2)由幂函数的定义设出解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求 f(9)的值． (3)利用幂函数的概念可得到关于m的关系式，解之即可．
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【自主解答】 (1)根据幂函数定义可知，只有 y＝x－2 是幂函数，所以选 B. (2)由题意，令 y＝f(x)＝xα，由于图象过点(2， 2)，得 2＝2α，α＝21，∴y＝f(x) ＝x21，∴f(9)＝3.
数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数 图象越远离 x 轴(简记为指大图高)． 2．依据图象确定幂指数 α 与 0,1 的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的 图象(类似于 y＝x－1 或 y＝x12或 y＝x3)来判断．
[0，＋∞)，故选B.
【答案】 B
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幂函数的概念
[小组合作型]
(1)在函数 y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x 中，幂函数的个数为( )
A．0
B．1
C．2
D．3
(2)已知幂函数 y＝f(x)的图象过点(2, 2)，则 f(9)＝________.
(3)幂函数 f(x)＝(m2－2m－2)
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[再练一题] 1．若函数 f(x)是幂函数，且满足 f(4)＝3f(2)，则 f12的值等于________.
【解析】 设 f(x)＝xα，因为 f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得 α＝log23， ∴f12＝12log23＝31.
【答案】
1 3
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幂函数的图象与性质
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[基础·初探] 教材整理1 幂函数的概念 阅读教材P77至倒数第二自然段，完成下列问题． 幂函数：一般地，函数 y＝xα 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数 ．
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
4
(1)函数y＝x－5是幂函数．( )
(2)函数y＝2－x是幂函数．( )
化为
<
.
因为 y＝x－15在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递减，所以 a＋3>5－2a>0 或 5－
2a<a＋3<0 或 a＋3<0<5－2a，解得23<a<52或 a<－3.
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解决幂函数图象问题应把握的两个原则 1．依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函
减，求满足
<
的 a 的取值范围．
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【精彩点拨】 (1)根据幂函数的图象特征与性质确定相应的函数图象； (2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m的值，再利用幂函数的单调 性求解关于a的不等式．
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【自主解答】 (1)根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，
