20
1
1 x
e 10 dx
e1
e2
10 10
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19
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例： 设连续型随机变量的分布函数为
A Be2x，x 0
F(x)
1.求常数A,B；
0, x 0
2. 求X的概率密度函数 。
解：1.由分布函数的性质：F( ) 1
即 lim (A Be2x ) 1 x
一、均匀分布
定义：若连续型随机变量X的概率密度为
f
(x)
b
1
a
,
a x b,
0,
其它.
则称X服从 a,b 上的均匀分布。记为 X : U a,b
意义：X“等可能”地取区间 a,b中的值，这里的“等可能” 理解为： X落在区间 a,b中任意等长度的子区间内的可能性是
相同的。即等长度，等概率。
2e2x， x 0 f (x)
0, x 0
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指数分布的无记忆性：
对于一个非负的随机变量，如果对于一切s,t≥0，有
PX s t | X t PX s
则称这个随机变量具有无记忆性。
直观理解：若X表示仪器的寿命，那么上式说明:已 知此仪器已使用t时，它总共能工作s+t小时的概率等于 从开始使用时算起，它至少能工作s小时的概率．
1 3
2 3
[1
1 3
]
0.7486 (1 0.6293) 0.3779
2. PX 01 PX 01 (1) (1) 0.8413
3. P X 3 6 PX 9 PX 3
1 PX 9 PX 3
1 (2) (2) 2[1 (2)]
2(1 0.9972) 0.0456
d1
d c
P(c
X
d) c
dx ba
,[c, d] [a,b] ba
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13
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分布函数：
0,
F
(
x)
x b
a a
,
1,
x a, a x b,
x b.
均匀分布的概率密度和分布函数图形如下：
f (x)
1 ba
F ( x)
1
Oa
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bx
14
Oa
bx
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例：设某公共汽车站从早上7:00开始每隔15分钟到站 一辆汽车，即7:00，7:15，7:30，7:45等时刻有汽车达 到此站．如果一个乘客到达该站的时刻服从7:00到7:30 之间的均匀分布．求他等待时间不超过5分钟的概率．
解：设X表示乘客到达该车站的时间，则 X : U 0,30
F(x) P(X x)
称为随机变量X的分布函数。 从而
P(x1 X x2 ) P( X x2 ) P( X x1) F (x2 ) F (x1)
也就是说，可以通过分布函数，计算随机变量落在任意
一个区间的概率。
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2
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不加证明地给出分布函数的一些性质:
也就是说：它对之前工作过t小时无记忆。
容易验证：指数分布是无记忆的。
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三、正态分布
定义：若连续型随机变量X的概率密度为
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
,
x
,
2
其中μ， 2 ( 0)为常数,则称X服从参数为μ和 2 的正态分布
记为 X : N (, 2 )
P(x1 X x2) F(x2) F(x1)
x2 f (x)dx
x1
y
从图形上来看，性质3表示
f (x)
1 O x1 x2
X落在区域 (x1, x2 ]的概率 等于相应的曲边梯形的面 x 积。
4.若f(x)在点x处连续，则 F(x) f (x)
对于连续型随机变量X 来说，通过F(x)求导得f(x) ，
31 1
P(X 2)
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5 4 4 2 目录
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二、连续型随机变量的定义及其概率密度的性质
定义：设F(x)是随机变量X的分布函数，若存在非负 可积函数f(x),使得对任意实数x，有
x
F (x) f (t)dt
称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，或 密度函数，也称概率密度。
布（第四章的大数定律和中心极限定理）
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f (x) f () 1
2
正态分布的图形具有如下特点： 1. f(x)为关于x=μ的对称钟形曲线 2. f(x)为在x=μ取得最大值
a a x
μ，σ对概率密度曲线的影响
f (x)
f (x)
1
2π1
1 0.75
• 正态分布最早由Gauss在研究测量误差时所得到，所以正态分布
又称为Gauss分布。
•正态分布是概率论中最具有应用价值的分布之一，大量的随机变 量都服从正态分布． 如人的身高、体重，气体分子向任一方向运
动的速度，测量误差等许多随机变量，都服从正态分布．
•大量相互独立且有相同分布的随机变量的累积也近似服从正态分
第三节 随机变量的分布函数 与连续型随机变量
➢分布函数的定义及其性质 ➢连续型随机变量的定义及其概率密度的性质 ➢几种重要的连续型随机变量
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1
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一、分布函数的定义及性质
由于 P(x1 X x2 ) P( X x2 ) P( X x1)
为此我们引入随机变量的分布函数的概念如下： 定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数
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例：若随机变量X的概率密度为
C(4x 2x2 ), 0 x 2,
f (x) 0,
其它.
(1)求C的值； (2)X的分布函数；(3)P{X>1}.
解：(1)由于 f (x)dx 1，有
C 2 (4x 2x2 )dx 1 0
得
C3
8
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1
2π 2
2 1.25
o
1 2
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x
24
o
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x
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正态分布的分布函数：
F ( x)
1
x
F(x)
1
e dt
(t )2 2 2
2π
1 2
O
x
特别地，当 0, 2 1 时，称X服从标准正态分布。
记为 X : N(0,1)
其概率密度为： (x)
1
x2
e 2 , x ,
2020年6通月过16日f(星x)期积二分得F(x)。 8
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5.连续型随机变量取任一指定实数值的概率为零．
即
PX x0 0
由性质5，易得：
P(x1 X x2 ) P(x1 X x2 ) P(x1 X x2 )
P(x1 X x2)
x2 f (x)dx
x1
注：对离散型随机变量，上式不成立。
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6
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性质：1. f (x) 0
y
2. f (x)dx 1
f (x)
1 1
O
x
从图形上来看，性质1表示X的概率密度f(x)位于x轴上方， 性质2表示f(x)与x轴所围区域面积等于1.
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3.对于任意实数 x1, x2 , (x1 x2 )，有
f
(
x)
1 30
,
0 x 30,
0, 其它.
乘客等待时间不超过5分钟当且仅当他在7:10到7:15
之间或在7:25到7:30之间到达车站．因此所求概率为
P10 X 15 P20 X 25
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15
15 1 dx 10 30
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25 1 dx
20 30 上页
1
3
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设ξ在[-1，5]上服从均匀分布，求方程
x2 2 x 1 0
有实根的概率。
解 方程有实数根
4 2 4 0
即 1
1
而 的密度函数为 f (x) 6
0
故所求概率为
(1 x 5) 其它
P{ 1}
1
f (x)dx
f (x)dx 2
1
3
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二、指数分布
定义：若连续型随机变量X的概率密度为
ex , x 0,
f (x) 0, x 0.
其中λ >0,则称X服从参数为λ的指数分布。记为 X～E(λ)
背景：在实际应用中，到某个特定事件发生所需等待的时间
往往服从指数分布．例如，从现在开始到下一次地震发生、到爆
发一场新的战争、到一个元件的损坏、到你接到一次拨错号码的
(1)(单调性) 对于任意实数 x1, x2 , (x1 x2 ) ，有