待定系数法在数列中的应用
待定系数法是一种常用的数学方法。

对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。

广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等。

这里谈谈利用待定系数法解决数列中已知递推关系式求通项的一些解法，供大家参考：
一、形如d ca a n n +=+1的数列求通项，可以通过()x a c x a n n +=++1的形式，利用待定系数法求出x 的值，转化为公比是c 的等比数列求解。

例3．已知数列{}n a 满足23,111+==+n n a a a ，求通项n a ；
解：∵231+=+n n a a ,∴设()x a x a n n +=++31，则1=x
∴()1311+=++n n a a
∴{}1+n a 是公比为3的等比数列，首项是211=+a
∴1321-⋅=+n n a
∴()*,1321N n a n n ∈-⋅=-
二、形如n n n d m ca a ⋅+=+1的数列求通项，当d c ≠时，可以通过
()n n n n d x a c d x a ⋅+=⋅+++11的形式，利用待定系数法求出x 的值，转化为公比是c 的等比数列求解；当d c =时，转化为等差数列求解。

例2． ①已知数列{}n a 满足n n n a a a 23,111+==+，求通项n a ；
∵n n n a a 231+=+
∴设()n n n n x a x a 232
11⋅+=⋅+++，则1=x ∴()
n n n n a a 23211+=+++， {}
n n a 2+是公比为3的等比数列，首项是3211=+a ∴n n n n a 33321=⋅=+-
∴()*,23N n a n n n ∈-=∴
②已知数列{}n a 满足n n n a a a 243,111⋅+==+，求通项n a ；
∵n n n a a 2431⋅+=+
∴设()n n n n x a x a 232
11⋅+=⋅+++，则4=x ∴()
n n n n a a 2432411⋅+=⋅+++，92411=⋅+a {}
n n a 24⋅+∴是公比为3的等比数列，首项是92411=⋅+a ，
∴1133924+-=⋅=⋅+n n n n a
∴()*,2431N n a n n n ∈⋅-=+∴
③已知数列{}n a 满足n n n a a a 33,111+==+，求通项n a ；
∵n n n a a 331+=+ ∴313
311+=++n n n n a a ∴⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n n a 3是公差为31的等差数列，首项是31 ∴
33n a n n = ∴13-⋅=n n n a
三、形如e dn ca a n n ++=+1的数列求通项，可以通过()y xn a c y n x a n n ++=++++)1(1的形式，利用待定系数法求出x 、y 的值，转化为公比是c 的等比数列求解。

例3．已知数列{}n a 满足n a a a n n 23,111+==+，求通项n a ；
解：∵n a a n n 231+=+
∴设()y n x a y n x a n n +⋅+=++⋅++3)1(1，则⎪⎩
⎪⎨⎧==211y x ∴⎪⎭⎫ ⎝
⎛++=++++21321)1(1n a n a n n ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧
++21n a n 是公比为3的等比数列，首项是2
52111=++a
∴132
521-⋅=+
+n n n a ∴213251--⋅=-n a n n 。

四、形如11-++=n n n qa pa a 的数列求通项，可以通过()11-++=+n n n n xa a y xa a 的形式，利
用待定系数法求出x 、y 的值，转化为n n n z ya a +=+1的数列求解问题。

例4、已知数列{}n a 满足()2,32,2,51121≥+===-+n a a a a a n n n ，求通项n a ； （见课本必修5第69也复习参考题B 组第6题）
解法一：,3211-++=n n n a a a Θ
()11-++=+∴n n n n xa a y xa a 设
则⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧==∴⎩⎨⎧==-1
33132
y x y x xy x y 或 ()113-++=+∴n n n n a a a a
{}1-+∴n n a a 是公比为3的等比数列，721=+a a
1137--⋅=+∴n n n a a
令()11313-++-=+n n n n x a x a ，与1137--⋅=+∴n n n a a 对照可得x=47- ⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅--=⋅--+113471347n n n n a a ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧⋅-∴-1347n n a 是公比为-1的等比数列，首项是413471=-a ()1114
13347---⋅=⋅-∴n n n a ()()*,34
7141311N n a n n n ∈⋅+-⋅=∴-- 解法二：同上得：1137--⋅=+n n n a a ∴973313
11=⋅+--n n n n a a ∴设⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-=+--x a x a n n n n 113313与973313
11=⋅+--n n n n a a 对照可得：127-=x
∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=---12733112
7311n n n n a a ∴⎭
⎬⎫⎩⎨⎧-1273n n a 是公比为31-的等比数列，121312731=-a 。

131********-⎪⎭
⎫ ⎝⎛-⋅=-n n n a ()()*,34
7141311N n a n n n ∈⋅+-⋅=∴--。

解法三：同解法一得：()n n n n a a a a 33112--=-+++ ∴{}n n a a 31-+是公比为-1的等比数列，13312-=-a a ∴()n
n n a a 11331-⋅=-+ ∴()n
n n a a 11331-⋅+=+ ∴设()()()n n n n x a x a 13111-⋅+=-⋅+++与()n n n a a 11331-⋅+=+对照可得：413=x ∴(){}n n x a 1-⋅+是公比为3的等比数列，∴4
74131=-a ∴()134
71-⋅=-⋅+n n
n x a ()()*,347141311N n a n n n ∈⋅+-⋅=∴-- 解法四：同解法三得：()n
n n a a 11331-⋅=-+ ∴()()1313111
=-⋅+-++n n n n a a
∴设()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅-=+-++x a x a n n n n 1311
1
与()()1313111=-⋅+-++n n n n a a 对照可得413=x ∴()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅-=+-++4131341311
1
n n n n a a ∴()⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+-4131n n a 是公比为-3的等比数列，()47413111-=+-a ∴()()13474131--⋅⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=+-n n n
a
()()*,34
7141311N n a n n n ∈⋅+-⋅=∴-- 解法五：同解法三得：()n n n a a 11331-⋅=-+
同解法一得n n n a a 371⋅=++
()⎪⎩⎪⎨⎧⋅=+-⋅=-++②
①..............................37.................113311n n n n n n a a a a ②-①得：()11371134--⋅+-⋅=∴n n n a
()()*,34
7141311N n a n n n ∈⋅+-⋅=∴-- 例5． 已知βα、是方程02=++q px x 的两个根，,,221q p a p a -==
()2,11≥+=-+n qa pa a n n n ,求通项n a 。

解：βαβα⋅=+=q p ,
()111--+⋅++=+=n n n n n a a qa pa a αββα
()11-+⋅-=⋅-n n n n a a a a αβα
{}1-⋅-n n a a α是公比为β的等比数列，首项是 ()()22
212βαββααβαα=-+-+=--=⋅-q p p a a ∴n n n n a a βββα=⋅=⋅---221…………………….① 又()11-+⋅-=⋅-n n n n a a a a βαβ
同理可得：n n n a a αβ=⋅--1……………………②
当βα=时，n n n a a αα=⋅--1
111=---n n n n
a a αα，n n n n
n a n a αα⋅=∴=∴,
当βα≠时，由①②得 ：β
αβα--=++1
1n n n a
综上，⎪⎩
⎪⎨⎧≠--=⋅=++βαβαβαβαα,,,11n n n n n a
说明：本例和例4基本相同，请读者自己考虑其它解法。