▪ 期望值—方差法能有效地解决这个问题。
2021/3/9
期望值—方差法的决策规则
——既使期望益损最大，同时又使益损的方差为最小。
max {E[ f (x, )] k Var[ f (x, )]} xX
▪ 式中，Var[ ] ——表示求[ ]内随机变量的方差 （variance）；
▪ k —— 风险厌恶系数，标志着决策者对益损期望值 的偏离程度的态度。 k前的负号表明希望方差为最 小。当决策者对收益在均值（数学期望值）以下的 跌落特别敏感的话，可以将k值取比1大，即加大方 差部分的权重，使取得低收益的几率减小。
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一、最大可能法
——选择发生概率最大的状态，而不必考虑其他状态 （把一个风险型决策问题变成了确定型决策问题）。
▪ 1.决策规则：在决策时，先选择发生概率为最大的自 然状态θ*，然后在该状态下从可行方案集X中选择益
损值为最大值的方案。
f f (x, ) opt{ f (x, ) | p( * ) max p( )}
▪ ——以目标函数的数学期望为基础，将 不同方案在不同状态下的期望益损值进 行比较，选择期望益损值最大或期望损 失值最小的方案作为最优方案。
▪ 期望值法的决策规则为：
q
f
(x)
max xX
f
Байду номын сангаас
(x)
max xX
E[
f
(x, )]
max xX
j 1
p(
j
)
f
( x,
j
)
式中，f(x) —— 期望益损函数；E [ ] —— 表示求[ ]内随机变量
必须满足以下条件：
E[C(T 1)] E[C(T )] 且， E[C(T 1)] E[C(T )]
表5-3 E[C(T)]计算结果
T (年)
pt
E [C(T )] (元)
1 0.05 0.05 15.00
▪ 对T由小到大逐步计算 E [C(T )]，满足上述条件 的最优方案为x*=T *=3年
xX
θΘ
式中，x —— 决策变量；X —— 可行方案集，即决策变量的可行 域；θ —— 自然状态变量；Q —— 状态集；p(θ) —— 状态θ 的概率；f (x, θ) ——在状态θ下选择方案x时的益损值。
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例5-1：
表5-1 各方案益 损值（万元）
天气情况θ1：有雨θ2：无雨
自 然
状 态概
p( p( θθ
12
))
率== 根据最大可0能法0 ，x2即为最优方案。
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2.最大可能法适用场合：
▪ 风险型决策问题中，当各自然状态中某一状 态较其它状态出现的概率大得多，而且其它 每个状态下各方案的益损值差别不大时，可 采用最大可能法。
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二、期望值法
2 0.07 0.12 3 0.10 0.22 4 0.13 0.35 5 0.18 0.53
11.00 10.67 11.25 12.60
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三、期望值—方差法
▪ 期望值法主要适用于长期决策，它所追求的 是长远期望效益。但在短期情况下，决策问 题不仅要考虑期望效益，还要考虑短期内期 望效益值的波动性
的数学期望。
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例5-2 ：企业机器设备的最佳保养周期决策
▪ 假设企业现有机器n=50台， 且修理一台坏机器的成本 c1=100元，而每台机器每次 保养费成本c2=10元。另外在 第t年每台机器损坏的概率为 pt，在第t年机器损坏的台数 为nt，根据经验pt的值如表52所示。
▪ 决策：过多长时间对机器设 备保养一次将使每年单位机 器维修成本为最小？
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四、决策树法
▪ 决策树法具有直观明了，易于理解，便于分 析等特点。
▪ 但是，如果备选方案和自然状态较多时，决 策树就会过于庞大和复杂，这时用决策表和 决策矩阵就比较方便。
▪ 根据所决策的问题是否具有阶段性，可将决 策树法分为单级决策树法和多级决策树法。
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决策科学与艺术
Chap 4 非确定型决策方法
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§1 风险型决策（Ⅰ）
风险型决策问题应具备以下几个条件： 1）具有明确的决策目标，例如，获取最大的 利润；2）有两个或两个以上的备选方案；3） 存在两种或两种以上的自然状态；4）各种自 然状态出现的概率是可以估计的（称为主观概 率）；5）可以计算出不同备选方案在不同自 然状态下的效用值（不失一般性，可以目标函 数值取代效用函数值） 。
第二级(第二阶段)决策
100 0 -100
150 50 -200
250 50 -300
200 0
-200
600 -250 -300
100 0 -100
图5-1 二级决策树
五、矩阵法
▪ 矩阵决策法是期望值法的另一种形式，其决 策规则与期望值法相同。
失败p=0.2
30
x3
82 技术引进 x1
成功p=0.8 95
x* 1 2
82
x1*
63 自行研制
x2
成功p=0.6 85
x* 22
30
失败p=0.4 x3
第一级(第一阶段)决策
30 x3
65 产量不变
x1-1
销售好p= 0.4
销售中p= 0.5
销售差p= 0.1
销售好p= 0.4 销售中p= 0.5 销售差p= 0.1
表5-2 不同使用时间下机器损坏 的概率
使用时间t
（年） 1 2 3 4 5
损坏概率pt 0.05 0.07 0.10 0.13 0.18
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▪ 设维修时间间隔为x（年）。当x =T时，每年单位
机器维修成本为：
C(T )
1 nT
T
(c1 nt
t 1
c2n)
▪ 每年单位机器维修期望成本为：
增加产量 95 x1-2
15.2
销售好p= 0.4 销售中p= 0.5
销售差p= 0.1
产量不变 60 x2-1
销售好p= 0.4 销售中p= 0.5
销售差p= 0.1
增加产量 85 x2-2
销售好p= 0.4 销售中p= 0.5
销售差p= 0.1
30 销售好p= 0.4 销售中p= 0.5
x3 销售差p= 0.1
E[C(T
)]
1 nT
T
(c1 E[nt
t 1
]
c2n)
▪ nt为随机变量，已知它服从二项分布B(n, pt)，E [nt]
为第t年内损坏的机器台数的均值，即E [nt]= n*pt，则
有：
E[C(T )]
1 T
T
(c1
t 1
pt
c2 )
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▪ 若要使E [C(T )]为最小而求得最佳保养周期T *，则