高等数学专项练习之常微分方程第一部分学习目的 (2)第二部分学习重点 (2)第三部分学习难点 (2)第四部分内容提要 (3)第一节微分方程模型 (3)一微分方程的产生和发展 (3)二微分方程模型 (4)第二节基本概念 (9)第三节微分方程的类型及其解法 (10)一一阶微分方程 (10)二高阶微分方程 (20)第四节微分方程公式运用表 (29)一一阶微分方程 (29)二可降阶的高阶微分方程 (29)三线性微分方程 (30)第五节微分方程的简单应用 (31)一在几何中的应用 (31)二在力学中的应用 (33)微分方程是高等数学中理论和应用都较强的一部分,是微积分学的一个直接延续. 它包括两个主要方面:第一方面是求给定常微分方程的解;第二方面是常微分方程的应用.第一部分学习目的1. 理解微分方程的一般概念;2. 熟练掌握分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程、全微分方程的解法;3. 掌握可降阶的三种二阶特殊类型的微分方程的解法;4. 深刻理解二阶线性方程解的结构;n(n3)5. 熟练掌握二阶常系数线性齐次与非齐次方程的解法,了解阶常系数线性齐次与非齐次方程的解法;6. 掌握用微分方程解决实际问题的步骤.第二部分学习重点微分方程的一般概念,可分离变量的方程,一阶线性方程,二阶常系数线性方程.第三部分学习难点识别一阶微分方程的各种类型; 二阶常系数线性非齐次方程的特解的求法.第四部分内容提要第一节微分方程模型一微分方程的产生和发展常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，又成为现代科学技术分析问题与解决问题的强有力工具。

该课程是与微积分一起成长起来的学科，是学习泛函分析、数理方程、微分几何的必要准备，本身也在工程力学、流体力学、天体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化学、生物、经济等领域有广泛的应用。

300 多年前，Newton 与Leibniz 奠定微积分基本思想的同时,就正式提出了微分方程的概念.17 世纪末到18 世纪，常微分方程研究的中心问题是如何求出通解的表达式.19 世纪末到20 世纪处,主要研究解的定性理论与稳定性问题.20 世纪进入新的阶段,定性上升到理论,进一步发展分为解析法、几何方法、数值方法.解析方法:是把微分方程的解看作是依靠这个方程来定义的自变量的函数.几何方法:(或定性方法)把微分方程的解看作是充满平面或空间或其局部的曲线族.数值方法:求微分方程满足一定初始条件(或边界)条件的解的近似值的各种方法.微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。

牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。

后来瑞士数学家雅各布·贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。

常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。

数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。

牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。

后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。

这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。

微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。

微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

二微分方程模型微分方程是数学联系实际问题的重要渠道之一,将实际问题建立成微分方程模型最初并不是数学家做的,而是由化学家、生物学家和社会学家完成的。

实际问题的信抽数学求数学模型验证实际例1 物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中，在时刻t0时，测得它的温度为u℃，10 分钟后测0 150得温度为 1 100u℃.确定物体的温度与时间的关系,并计算20 分钟后物体的温度.假定空气的温度保持为u24 ℃.a解设物体在时刻t的温度为u u(t),由牛顿(Newton)冷却定律可得du dt k(u u) (k 0, u u) (1.1)a a这是关于未知函数u的一阶微分方程,利用微积分的知识将(1.1)改为duu uakdt(1.2)两边积分,得到ln( )u u kt c c为任意常数a令e c c,进而u u ce kt(1.3) a根据初始条件, 当t 0时, u u, 得常数c u u0 0 a于是u u (u u)e kt(1.4) a0 a再根据条件t 10分钟时,u u,得到u u u u e10k1 a a1 ( 0 )k 110 lnu u0 au u1 a将u u u 代入上式,得到0 150, 1 100, a24k 1 150 24 1ln ln1.66 0.05110 100 24 10从而, u 24 126e0.051t(1.5)由方程(1.5)得知,当t 20分钟时,物体的温度u ℃,而且当t 时, u 24 ℃.2 70温度与时间的关系也可通过图形表示出来.如图(1.1). 可解释为：经过一段时间后，物体的温度和空气的温度将会没有什么差别了.事实上，经过2 小时后，物体的温度已变为24℃，与空气的温度已相当接近.法律破案判断尸体的死亡时间就是用这一冷却过程的函数关系来判断的.例2 动力学问题物体由高空下落,除受重力作用外,还受到空气阻力的作用,空气的阻力可看作与速度的平方成正比,试确定物体下落过程所满足的关系式.解设物体质量为m，空气阻力系数为k，又设在时刻t物体的下落速度为v,于是在时刻t物体所受的合外力为F mg kv2 ,建立坐标系,取向下方向为正方向,根据牛顿第二定律得到关系式dvm mg kv(1.6)2dt而且, 满足初始条件t0时, v0 (1.7)例3 电力学问题在如图(1.2)所示的R L C电路,它包括电感L、电阻R和电容C.设R、L、C均为常数,电源e(t) 是时间t的已知函数,建立当开关K合上后,电流I应满足的微分方程.解经过电感L、电阻R和电容C的电压降分别为：L d Idt、RI和QC，其中Q为电量，由基尔霍夫第二定律得到dI Qe(t) L RI（1.8）dt C因为IdQ，于是有dtd I R dI I 1 de(t)2（1.9）dt L dt LC L dt2这就是电流I应满足的微分方程.如果e(t) =常熟，得到d I R dI I22 0（1.10）dt L dt LC如果又有R0 ，则得到d I I22 0 （1.11）dt LC例4 人口模型英国人口统计学家马尔萨斯（Malthus）在1798 年提出了闻名于世的Malthus 人口模型的基本假设是：在人口自然增长的过程中，净相对增长率（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数，记此常数为r（生命系数）.在t到t t这段时间内人口数量N N(t) 的增长量为N(t t) N(t) rN(t)t（N(t t) N(t)t1,r）N(t)于是N(t) 满足微分方程dNdtrN（1.12）将上式改写为dNNrdt于是变量N和t被“分离”，两边积分得ln N rt cN ce rt（1.13）其中c e c为任意常数.（因为N0也是方程（1.17）的解.如果设初始条件为t t时,0 N(t) N（1.14）0代入上式可得rtc N e，.即方程（1.17）满足初值条件（1.19）的解为N(t ) N e r t t（1.15）( )如果r 0 ，上式说明人口总数N(t) 将按指数规律无限增长.将时间t以1 年或10 年离散化，那么可以说，人口数是以e r为公比的等比数列增加的.当人口总数不大时，生存空间、资源等极充裕，人口总数指数的增长是可能的.但当人口总数非常大时，指数增长的线性模型则不能反映这样一个事实；环境所提供的条件只能供养一定数量的人口生活，所以Malthus 模型在N(t) 很大时是不合理的.荷兰生物学家Verhulst 引入常数N（环境最大容纳量）表示自然资源和环境条件所mN(t)容纳的最大人口数，并假设净相对增长率为r1Nm，即净相对增长率随N(t) 的增加而减少，当N(t ) N时，净增长率0 .m按此假定，人口增长的方程应改为dN Nr 1Ndt Nm（1.16）这就是Logistic 模型.当N与N相比很大时，m rN2Nm与rN相比可以忽略，则模型变为Malthus 模型；但N与N相比不是很大时，m rN2Nm这一项就不能忽略，人口增长的速度要缓慢下来.我们用Logistic 模型.来预测地球未来人数，某些人口学家估计人口自然增长率为r 而统计得世界人口在1960 年为29.8 亿，增长率为1.85%，由Logistic 模型.0.029,29.8 108829.8 10 （1.21），有0.0185 0.0291Nm ，可得N 82.3108 ，即世界人口容量m82.3 亿，以（1.21）式右端为二项多项式，以NN m为顶点，当2NN m时人口增长率2增加；当NN时增长率将逐渐减N m时人口增长率减少，即人口增长到m41.15 1082 2少.这与人口在20 世纪70 年代为40 亿左右时增长率最大的统计结果相符.小结：从以上的讨论可以看出，将实际问题转化为数学模型这一事实，这正是许多应用数学工作者和工程应用模拟方法解决物理或工程问题的理论根据.以上我们只举出了常微分方程的一些简单的实例,其实在自然科学和技术科学的其它领域中，都提出了大量的微分方程问题.所以说，社会的生产实践是微分方程理论取之不尽的基本源泉.此外，常微分方程与数学的其它分支的关系也是非常密切的，它们往往互相联系、互相促进.例如，几何学就是常微分方程理论的丰富的源泉之一和有力工具. 考虑到常微分方程是一门与实际联系比较密切的数学基础课程，我们自然应该注意它的实际背景与应用；.而作为一门数学基础课程，我们又应该把重点放在应用数学方法研究微分方程本身的问题上.因此，在学习中，不应该忽视课程中所列举的实际例子以及有关的习题，并从中注意培养解决实际问题的初步能力.但是，按照课程的要求，我们要把主要精力集中到弄清常微分方程的一些基本理论和掌握各种类型方程的求解方法这两方面来，这是本课程的重点，也是我们解决实际问题的必要工具.而解决的过程为：（1）建立方程;（2）求解方程;（3）分析问题.关键的是第一步，即对所研究问题，根据已知定律公式以及某些等量关系列出微分方程和相应的初始条件.如果指出了由微分方程所确定的未知函数的求法，那么未知量间的关系便找到了.寻求微分方程所确定的未知函数是微分方程理论的基本问题.第二节基本概念1. 微分方程：凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程. 未知函数是一元函数的叫做常微分方程；未知函数是多元函数的叫做偏微分方程.附注：本章仅限于讨论常微分方程.2. 微分方程的阶：微分方程中未知函数的最高阶导数(或微分)的阶数，称为微分方程的阶.3. 微分方程的解：代入微分方程能使其两端成为恒等式的函数，称为微分方程的解（这个函数的图形，称为该微分方程的积分曲线）.4. 微分方程的通解：如果微分方程的解中含有独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，则这样的解称为微分方程的通解.y n 1(x C,C, ,C n) C,C, ,,C1附注：所谓函数含有个独立常数，是指存在2 2 nC C C1 2 n' ' '0 C C C1 2 n(n 1 n1)) ( (n1)（x,C,C, ,C）C1C C的某个邻域，使得行列式，其中1 2 n 2nx k（k）表示对的阶导数.5．微分方程的初始条件：确定微分方程通解中任意常数所给出的条件，称为定解条件. 如果这样的定解条件是在同一时刻给出的，称为微分方程的初始条件.6．微分方程的特解：由初始条件定出通解中的任意常数后得到的解，称为微分方程的特解.附注：有的参考书上将微分方程的特解定义为：由初始条件定出通解中的任意常数后得到的解或不含任意常数的解，称为微分方程的特解. 这个定义比教材上更广泛些. 例如，2dyy 1 02y sin(x C) y 1dx对于微分方程，其通解为. 易证函数也是该方程的解，但它不能由通解中取适当的常数得到. 按照教材的定义，它就不是特解.第三节微分方程的类型及其解法一一阶微分方程（1）可变量分离的微分方程.形如y 'f(x)g(y) dy f(x)g(y)dx或(1)f(x), g(y) x, y的微分方程，称为可变量分离的方程. 这里假设分别是的连续函数.g(y ) 0当时，方程（1）可写成1dy g(y) f(x)dx（2）1dy f x dx( )g(y)两端分别积分得到原方程的通解.y g(y) 0 y y若存在使得，则也是该方程的解.0 0y y附注：这种形式的解，有时可能包含在通解中（即可在通解中取适当的常数得0到），有时不包含在通解中（即在通解中取任意常数都得不到这种解）. 另一方面，若只求方程的通解，可不考虑这种形式的解.1y 2 3x2 yy'例1求方程的通解.y 1解：当时，分离变量得ydy dx1 2 3xy2，两边积分ydy dx21 2 3xy，即1 1y 23x C，或11y 2 C3x 0 .这就是所求的通解. #y 1注意：也是原方程的解且不包含在通解中. 如果题目改成求方程的解，则除了求出通解外，还需求出这样的解.（2）齐次微分方程yy f(x, y) x' f(x, y)如果一阶微分方程中的可以写成的函数，即y 'f(x, y ) yx，(3)则称这方程为齐次方程.yuy uxx 求解方法是作变量代换后将其化为可分离变量方程，然后求解. 令，即，y 'u xu'于是将此代入(3)得u xu '(u) ，即du (u ) u d xx，两边积分du dxx(u) u，yx u求出积分后，再用代替便得齐次方程的通解.dy xydx x2 y y|12例2 求方程满足的特解.xyux 解：这是齐次方程. 令，得u u1u 12xu'du dx1u u x2 3或两边积分1u12du dxu3 x得1 2 ln u ln2u xC1即xu1 Ce2u2yuC xeC其中. 代回，得原方程的通解1yx2 Ce 2 y2x2y e2 y2C 1由初始条件得. 故所求特解为. # （3*）可化为齐次微分方程的方程对于形式为y 'fa x1a x2b y1b y2c1c2(4)c1c 0的微分方程，当时是齐次方程，否则不是齐次微分方程. 在非齐次方程情2a b11a b x , X YX h y Y k形，当时，作代换，其中为新自变量，为新未知2 2h, X Yk函数，为待定常数，将方程(4)化为关于和的齐次方程，求出这方程的通解，再a b1 1a b换回原变量，即为方程(4)的通解；当时，作适当的变量代换，将方程化为可2 2分离变量方程，在其通解中换回原变量，即为方程(4)的通解.dy y x 2dx x y 4例3 解方程.1 21 y x0 x 32x 4y0 y 1 1 1解：因为，所以解代数方程组，得到. 作变2XdY Y Xx 3 x X 3Y y 1 y Y 1dX Y X量变换，即，则原方程化为. 这是齐次方程. 令u YX，则此方程变为du u 1u XdX 1u，化简并变量分离，得到u 1 12 du dXu 1 X，两边积分，得到ln(u )12arctan u ln| X| C12.YuX化简并用代入，得到X Y 2 2 C earctanYX.因此原方程的通解为y 1arctan( 2 2x3)(y1)Cex 3.#（4）一阶线性微分方程形式为y 'P(x)y Q(x)(5) 的方程，称为一阶线性微分方程.Q(x ) 0①当时，则(5)为y'P(x)y0，(6) (6)称为一阶线性齐次微分方程.方程(6)的解法：(i) 分离变量法；(ii) 公式法：yP(x)dxCeP(x)dx P(x)其中记号表示的某个原函数.Q(x ) 0 y 'P(x)y 0②当不成立时，则(5)为一阶线性非齐次微分方程. 此时称为它所对应的线性齐次微分方程.设(5)为一阶线性非齐次微分方程. 则它的通解结构：设(5)所对应的线性齐次方程(6)的Y y* y Y y*通解为，方程(5)的一个特解为，则方程(5)的通解为.方程(5)的解法：P(x)dxy Ce(i)常数变易法求出它所对应的线性齐次方程(6)的通解；将通解中的任C u(x)意常数换成函数，设yP(x)dxu(x)e(7)u(x) u(x) 为方程(5)的解，将(7)代入(5)，求出（其中包含任意常数）；把求出的代入(7)，便得(5)的通解.(ii)公式法yQ x e P x dx dx CeP( ) ( ) ( )x dx(8)方程(5)的通解也可以写成yxtP(t) x P(s)dsdte x Q(t)edt0 0xxCx, x II P (x ),Q (x ) C其中 （ 为的连续区间）， 为任意常数.附注: 与非线性方程不同,线性方程的通解包含了方程的所有解.(x 1) ( 1) 1 dy nyxen xdxn例 4 求方程 的通解，这里 为常数.解：将原方程改写为dy dx x n 1y (xn x1) e .先求它所对应的齐线性方程为dy dxxn1ydy nydx x 1的通解. 由，经变量分离后得到此齐线性方程的通解为ny C(x 1) .#ny u(x)(x 1) 其次，应用常数变易法求原非齐线性方程的通解. 为此，设并将它代入到原方程( dyx1) ( 1) 1ny x en xdx，得到dy( ndu x )nn 1 n n x(x 1) n(x 1) u(x ) u(x)(x1) (x1) e dx dx x 1化简后，得到du(x ) dxx e，两边积分，得到x u(x ) e C，C这里是任意常数. 于是原方程的通解为y 1)( )(x n ex C.#附注: 也可直接套用公式求方程(x 1) ( 1) 1dyny x en xdx的通解如下：n ndx dxx 1 dx C x n ex Cx nx 1y e e(x1) e( 1) ( ).(5)贝努利方程形式为y 'P(x)y Q(x)y n 0,1n( ) (9) 的方程称为Bernoulli 方程.z 1zynBernoulli 方程的解法：作代换，可以将Bernoulli 方程化为以为未知函数的一阶线性方程z '(1n)P(x)z (1n)Q(x).y 1zn求出这方程的通解后，再将换成，即为方程(9)的通解.2 3(x y xy)y' 1y(1) 1例5 求的解.2 3(x y xy y y x) ' 1解：方程不是以为未知函数, 为自变量的Bernoulli 方程, 但我们可将它改写为dxyx dy3x2 y.x y n 2它是以为未知函数, 为自变量且的Bernoulli 方程. 于是它的通解为1 2y22x(Ce 2 y ) 1 .y C 0 x (2 y 2) 1(1) 1将初始条件: 代入,得到. 于是所求的解为.#(6)全微分方程.y'f(x, y)当把一阶微分方程写成对称形式P(x, y)dx Q(x, y)dy0(10)P(x, y)dx Q(x, y)dy u(x, y)时，如果其左边恰好是某个二元函数的全微分，即du(x, y) P(x, y)dx Q(x, y)dy,则称(10)为全微分方程.P Q,y xG命题：设在单连通区域内连续，则(10)为全微分方程的充分必要条件是P yQxG在内恒成立.注意：凡是可分离变量的方程一定是全微分方程.全微分方程的解法：u(x, y)(i)凑全微分法将所给的方程重新组合，使之左边是某个二元函数的全微分，u(x, y ) C右边为零，则所给方程的通解为.u(x, y) du(x, y ) P(x, y)dx Q(x, y)dy(ii)不定积分法要找函数使得，即u uP(x, y), Q(x, y )x y.uP(x, y )x x由对求不定积分，u(x, y ) P(x, y)dx (y)(11)(y)其中起不定积分中积分常数的作用；uQ(x, y)u(x, y) y (y ) (y )y将对求偏导数，代入中，定出. 再将代入(11)即得所给全微分方程的通解.P(x, y dx Q x, y)dy 0 G) ((iii)曲线积分法（公式法）设是定义在单连通区域内的全微分方程，取曲线积分u(x, y)(x,y)P(s,t)ds(x0 ,y0 )Q(s,t)dt(x 0 y G u(x, y ) C , )其中是区域中的一个给定的点. 则便是方程所求的通解.2 2 2 3(3x6xy)dx(6x y4y)dy0例6 求方程的通解.2 2 2 3P(x, y) 3x6xy,Q(x, y) 6x y4y解：记.则P yQ12xy, 12xyx，u2 23x6xy(x, y) (0,0)x因此方程为全微分方程. 取，令且u2 36x y4yy，于是x2 23 2 2u(x, y) (3x y6xy)dx(y) x3x y(y).u2 36x y4yu(x, y) x3 3x2y2 (y)(y) y为确定，将代入到等式中，得到2 2 36x y'(y) 6x y4y，d y( )34y4 (y)y4 dy(y) y于是，积分后，得到. 将代入到3 2 2u(x, y) x3x y(y) 中，得到3 2 2 4u(x, y) x3x y y.因此，方程的通解为x3 3 2 2 4x y y C，C其中为任意常数.#在某些情况下，形如P(x, y)dx Q(x, y)dy0(12)P Qy xG的微分方程虽然不是全微分方程(这里在内不恒成立)，但用不恒等于零的(x, y)函数乘以(12)的左边后能将其化为全微分du(x, y) (x, y)P(x, y)dx(x, y)Q(x, y)dy，(x, y)P(x, y)dx(x, y)Q(x, y)dy0这时就是全微分方程了. 象这样的函数(x, y)称为方程(12) 的积分因子.方程(12)的解法：(x, y)积分因子法先求出积分因子. 一般地，求非全微分方程的积分因子是困难的，没有一般的规律可循，但对具有某些特殊性质的微分方程，还是可以求出积分因子的. 如P Q P Qy x y xf(x)Q Qx(i) 当（即表达式仅为的函数）时，则可取( ,x y ) (x)ef(x)dx为积分因子；Q P Q Px y x yg(y)yP P(ii) 当（即表达式仅为的函数）时，则可取( ) y)x, y(g( y)dy e为积分因子. 再用求出的积分因子去乘(12)的左边，则(12)就变成全微分方程了，求出该方程的通解，且此也为原方程(12)的通解.注意：①积分因子不是唯一的，因而通解可能有不同的形式；②要注意增根和减根，(x, y ) 0 y y(x)使函数的函数若不满足原方程时，则产生增根，应舍去此解；此外，1duP( , ) ( , ) 0x y dx Q x y dy(x, y) y y(x) u由，因使的函数也满足原方程，故应将此解补上.二高阶微分方程(1) 可降阶的高阶微分方程y(n ) f x( )①(13)n方程(13)的解法：经过次积分，就可得到方程(13)的通解.y"f(x, y') y②(不显含未知函数) (14)dpy"p'y'p p(x) dx方程(14)的解法：设(即)，则，方程(14)化为dpf(x, p)dxx p这是以为自变量，为未知函数的一阶微分方程. 利用一阶微分方程求解方法，如p x p y'果求得通解（联系与的等式），解出即，再积分一次便得原方程(14)的通解.2 x2dy dyyxdx dx 2例7 求方程的解.dypdx解：设，则原方程化为.22 xp xy p2dypx dx两端关于求导并用代入，得到dp dpxp 2p x pdx dx或.p xdp21dxdp1 02p x0 dx由此得或.dp1 0dx从解得p xC，22 xp x yp2并将它代入得到原方程的通解2xy Cx22 C.2p x 0又从解得p x2.22 xp x yp2将它代入得到原方程的一个解y2x4，2x2y Cx CC 2 且此解不能由通解取适当的得到. 所以原方程的解：通解及一个2xy4解.#y x" f(y, y')③(不显含自变量) (15)dp dp dy dpy "py 'p p[y(x)] dx dy dx dy方程(15)的解法：设(即)，则，方程(15)化为dppdyf(y, p)y p这是以为自变量，为未知函数的一阶微分方程. 利用一阶微分方程求解方法，如p y p y'果求得通解（联系与的等式），解出即，分离变量并积分，便得原方程(15)的通解.3dy dy2x y 0dx dx例8 求方程的解.dy dy0 pdx x dx解：当时，解出，并令，则原方程化为x y23pp.1 dxy p dy两端关于求导并用代入，得到1 pp 123p dpd y22p(y 3p)d pdy或3(y 2p)dp pdy0 . 经检验，它是一个全微分方程，经分项组合后，得到通解2 pyp 4C,即yC 4p2p.3y px2p将它代入，得到x C 3p2p2p3pC443p2p.因此，原方程的参数形式的通解为C 32x p244p( pC 13y p2p 2 0),或C 32x t244t(tC 13y t2t 2 0).p y0 C 0当时，由方程直接推知也是方程的解此解不能由通解取适当的得到.(2) 二阶线性微分方程y"P(x)y'Q(x)y f(x)(16)f(x, y) 0①①当(16)右端时，则(16)为y"P(x)y'Q(x)y0(17)(17)称为二阶线性齐次微分方程.y y方程(17)的通解结构：设和是方程(17)的两个线性无关的特解，则方程(17)的通1 2yCy C y1解为.1 2 2y方程(17)的解法：在简单的情况下，若由观察得一特解，则求另一线性无关的特解1y 2 y u(x) 2 y u xy u(x) y( ) 可用降阶法，即设，其中为待定函数. 将代入(17)可求2 1 112P(x)dxy y e dx2 1u(x) y y y出，从而可求出，也可以用公式求出，于是可求出方2 1 2程(17)的通解.解的线性无关的判定1 I n(n 1)2 ny, y, , y设是定义在区间上的个次可微函数，则称行列式y y y1 2 ny' y' y '1 2 n(n1) (n) (n 1)1y y y1 2 n1 W(x)y, y, , y2 n为的伏朗斯基行列式，记为.W y1, y2,, y n W(x ) 0(x ) 0若不成立，则线性无关. 注意：若，不能肯定12 y, y, , yn线性相关. 例如，设0 xy1 x2 x2x x 0y2 0 x 0，，W(x x I (,) y, y) 01则易证明，，但却是线性无关的.21 n2 ny, y, , y当是阶线性齐次微分方程n(n) a x y a x y1y( ) a y ( ) '( )(x)1 n 1 nW(x ) 0的解时，由能推出它们是线性相关的. 于是有下面的判断方法1 n2 ny, y, , y命题：当是阶线性齐次微分方程n(n1) a x y a x yy( ) a(x)y ( ) '( )1 n 1 nW(x ) 0的解时，若不成立，则它们线性无关；否则线性相关.特别地，对于两个函数，只要看它们的比，若比不恒等于常数，则它们线性无关；否则线性相关.f(x ) 0②当(16)右端不成立时，则(16)为二阶线性非齐次微分方程，其通解结构：Y y*Cy C y1设(16)所对应的齐次方程(17)的通解为，且方程(17)的一个特解为，1 2 2yY y *则方程(16)的通解为.f ) 1 x ) f x * (xf ( ( )yy *若方程(16)的右端，且 与分别是方程212y "P (x )y 'Q (x )y f1(x )与y "P (x )y 'Q (x )y f2(x )y 1y **的特解，则就是方程(16)的特解.2可用常数变易法求方程(16)的通解. 先求出(16)所对应的齐次方程(17)的通解YC1 yC y，(18)12 2C1x 2 x CC ( ) C ( )把(14.18)中的与分别换成与 . 设12yC 1 (x )yC (x )y122(19)C ) 2 (x )1 (xC y '为方程(16)的解，将(19)代入(16)时，为了不使与出现二阶导数，求出C '1 x yC x y y "( )' ( )后令，再求，代入(14.16)得122C ' xC ' (x )y( )y1122C ' (x )y ' C ' (x )y '1122f 0 (x )C (C 2 (x ) 1x )由此求出与；C(x) ( )1Cx2把求出的与（包含任意常数）代入(14.19)便得方程(14.16)的通解.③二阶常系数线性齐次微分方程y"py'qy0，(20) p q其中和均为常数.用特征根法求方程(20)的通解.(i)写出(20)的特征方程r2 pr q；(21)r r(ii)求出方程(21)的两个根和；1 2r r(iii)根据和的不同情形，按下表写出(20)的通解.1 2r、r方程(20)的通解1 2r两个不相等的实根、1 r y C e r x C e r x11 2 22两个相等的实根r1r y C C x e r x1( )1 22一对共轭复根r i y x1 ( 1 cos x C sin x),2e C2n上述求方程(20)的方法及通解形式可推广到阶常系数线性齐次微分方程，其一般形式为y( ) (n 1) p y p y np y'1 n 1 n 0,(22)ip(i1,2, ,n)其中为常数.(22)的特征方程为rn p r p r p1n 1n 1 n1 n 1n 1 n 0,(23)根据特征方程(23)的根的不同情形，得出方程(22)通解中不同的对应项：r Cerx若是单实根，则有一项对应项：；erx C C x C x k1r k k( )若是重实根，则有项对应项：；1 2 kr r i1,r若是一对共轭复根，即，则有两项对应项：1,22e x(C1x C xcos sin )；2r i1 k2k若,2 是一对重共轭复根，则有项对应项：）（）e x[(C1 C x C x k 1 cos x D D x D x k 1 xsin ]2 k 1 2 k；而方程(22)的通解则是上述这些解的线性组合.y (4) y " y 02 ' 5 "例9 求方程的通解.解：特征方程为r 4 2r 3 5r 2 0r 1 r 0,r 1 2 r1,x r3 ,r4i1,r特征根是. 对应的特解为；对应的特解为2 3,42e x cos 2x,e x sin 2x.y1 C x e x(C cos 2x C sin 2x)C因此原方程的通解为，2 3 4C1,C,C,C其中为任意常数. #2 3 4④二阶常系数线性非齐次微分方程y"py'qy f(x)(24)p q其中和均为常数.方程(24)的解法：先求出方程(24)所对应的齐次微分方程(20)的通解YC1y C y，1 2 2y* y Y y*再求出方程(24)的一个特解，则方程(24)的通解为.y*的求法：f(x) y*(i) 待定系数法当方程(24)的右端为某些特殊类型函数时，用待定系数法求.f(x) e P(x)xP(x)型，其中为常数，为的多项式. 方程(24)的特解mm x m设为y* x k Q(x)e xm，(25)k0、1 Q(x)m 其中按不是特征方程(21)的根、是单根或二重特征根分别取为或2；P(x)是与的同次多项式.mx Q m(x) y* 将(25)代入(24)，比较两端的同次幂的系数，求出的各项系数便可求出.y"2y'y4xex例10 求方程的通解.r rr2 112 2r 1 0解：特征方程有二重根，设其特解的形式为.y* x2 (ax b)ex2 y(6ax2b)e x4xe x3 ,0*a b将代入原方程得到，比较两端系数得到，于是2y x3e* xxY(CC x)e13. 另一方面，对应的齐次方程的通解为，因此原方程的2通解为. #2y (C C x)e x x3ex1 32f(x) e P x x P x) s in x]x、P(x) P(x)[ ( ) c os ( l、型，其中均为常数，分l n n x l m别为的次、次多项式，其中有一个可为零，方程(24)的特解设为(26)y* x e[Q(x) c os x R sin x ]k xm mk i i其中按(或)不是特征方程(21)的根或是单根分别取为0 或1，Q m R m(x) x m m max{l,n}(x)是与为的多项式，.Q(x) R m(x)m将(26)代入(24)，比较两端同类项的系数，求出和中各项系数便可求出y*.n k上述结论可推广到阶常系数线性非齐次微分方程. 这时(25)中的是特征方程含根k i i的重复次数；(26)中的是特征方程含根(或)的重复次数.(ii) 常数变易法此法不如待定系数法方便，常数变易法需要积分，而待定系数法只f(x)需求导. 因此，一般来说只有当不属于前面讨论过的两种特殊类型函数时，才利用常y*数变易法求.(3)欧拉（Euler）方程：欧拉方程的一般形式为(27)(n) p x y p xy p y f xnx n n 1 ( 1) ( ),y'1 n 1 nip(i1,2, ,n)其中为常数.。