上海市浦东新区2019届高三二模数学试卷
2019.4
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 若集合{|5}A x x =>，集合{|7}B x x =≤，则A
B = 2. 若行列式
128012x −=，则x = 3. 复数12i i
z +=的虚部为 （其中i 为虚数单位） 4. 平面上有12个不同的点，其中任何3点不在同一直线上，如果任取3点作为顶点作三角 形，那么一共可作 个三角形（结果用数值表示）
5. 如果一个圆柱的高不变，要使它的体积扩大为原来的5倍，那么它的底面半径应该扩大 为原来的 倍
6. 已知函数()sin 2()f x x ϕ=+（0ϕ>）是偶函数，则ϕ的最小值是
7. 焦点在x 轴上，焦距为6，且经过点(5,0)的双曲线的标准方程为
8. 已知无穷数列{}n a 满足11201831201921
n n a n n ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩，则lim n n a →∞= 9. 二项式61(2)2x x
−展开式的常数项为第 项 10. 已知6个正整数，它们的平均数是5，中位数是4，唯一众数是3，则这6个数方差的最大值为 （精确到小数点后一位）
11. 已知正方形ABCD 边长为8，BE EC =，3DF FA =，若在正方形边上恰有6个不同的点P ，使PE PF λ⋅=，则λ的取值范围为
12. 已知2()22f x x x b =++是定义在[1,0]−上的函数，若[()]0f f x ≤在定义域上恒成立，而且存在实数0x 满足：00[()]f f x x =且00()f x x ≠，则实数b 的取值范围是
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 如图，水平放置的正三棱柱的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
14. 点(2,0)P 到直线1423x t y t =+⎧⎨
=+⎩（t 为参数，t ∈R ）的距离为（ ） A. 35 B. 45 C. 65 D. 115
15. 已知点(,)P x y 满足约束条件50252000400
x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤≤⎪⎪≥⎩，则目标函数z x y =−的最小值为（ ） A. 40 B. 40− C. 30 D. 30−
16. 已知()||f x a x b c =−+，则对任意非零实数a 、b 、c 、m ，
方程2()()0mf x nf x t ++=的解集不可能为（ ）
A. {2019}
B. {2018,2019}
C. {1,2,2018,2019}
D. {1,9,81,729}
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 已知正三棱柱111ABC A B C −中，122AA AC ==，延长CB 至D ，使CB BD =.
（1）求证：1CA DA ⊥；
（2）求二面角1B AD C −−的大小.（结果用反三角函数值表示）
18. 已知向量(2sin ,cos2)m x x ωω=，(3cos ,1)n x ω=，其中0ω>，若函数()f x m n =⋅的最小正周期为π.
（1）求ω的值；
（2）在△ABC 中，若()2f B =−，3BC =，sin 3sin B A =，求BA BC ⋅的值.
19. 浦东一模之后的“大将”洗心革面，再也没进过网吧，开始发奋学习，2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发了他的思考：假设地球（设为质点P ，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径约为700R =万米）的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知地球的近木星点A （轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，远木星点B （轨道上离木星表面最远的点）到木星表面距离为2500万米.
（1）求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；
（2）若地球在流浪的过程中，由A 第一次逆时针流浪到与轨道中心O 的距离为ab 万米时（其中a 、b 分别为椭圆长半轴、短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假定地球变轨后的轨道为一条直线L ，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求“变轨系数”k 的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞.（精确到小数点后一位）
20. 已知各项均不为零的数列{}n a 满足11a =，前n 项的和为n S ，且22212n n n
S S n a −−=， *n ∈N ，2n ≥，数列{}n b 满足1n n n b a a +=+，*n ∈N .
（1）求2a 、3a ；
（2）求2019S ；
（3）已知等式11k k n n kC n C −−=⋅对1k n ≤≤，*,k n ∈N 成立，请用该结论求有穷数列{}k k n b C ，
1,2,,k n =⋅⋅⋅的前n 项和n T .
21. 已知函数()y f x =的定义域D ，值域为A .
（1）下列哪个函数满足值域为R ，且单调递增？（不必说明理由）
① 1()tan[()]2f x x π=−，(0,1)x ∈；② 1
()lg(1)g x x
=−，(0,1)x ∈；
（2）已知12
()log (21)f x x =+，()sin 2g x x =，函数[lg()]f x 的值域[1,0]A =−，试求出满 足条件的函数[lg()]f x 一个定义域D ；
（3）若D A ==R ，且对任意的,x y ∈R ，有|()||()()|f x y f x f y −=−，证明：()()()f x y f x f y +=+.
参考答案
一. 填空题
1. (5,7]
2. 3
3. 1−
4. 220
5. 5
6. 4π
7. 22
154
x y −= 8. 0 9. 4 10. 12.3 11. (1,8)− 12. 13[,)28−−
二. 选择题
13. B 14. D 15. B 16. D
三. 解答题
17.（1）略；（2）arctan 4
18.（1）()2sin(2)6f x x πω=+，1ω=；（2）23
B π=，32− 19.（1）22
22
120001600x y +=；（2）( 1.8,1.1)− 20.（1）26a =，34a =；（2）(1)(1)n n S n n =++−，20194078379S =
（3）42n b n =+，2n ≥，(22)22n n T n n =+⋅+−
21.（1）①；（2）可以为[0,
]12π；（3）略.。