（4）《实数》知识点总结及典型例题练习题第一节、平方根1.平方根与算数平方根的含义平方根：如果一个数的平方等于a ，那么数x 就叫做a 的平方根。

即a x =2，记作x=a ± 算数平方根:如果一个正数x 的平方等于a ，那么正数x 叫做a 的算术平方根，即x 2=a ，记作x=a 。

２.平方根的性质与表示⑴表示：正数a 的平方根用a ±表示，a 叫做正平方根，也称为算术平方根，a -叫做a 的负平方根。

⑵一个正数有两个平方根：a ±（根指数２省略） ０有一个平方根，为０，记作00= 负数没有平方根⑶平方与开平方互为逆运算开平方：求一个数a 的平方根的运算。

a a =2==⎩⎨⎧-a a0<≥a a()a a =2（0≥a ）⑷a 的双重非负性：0≥a 且0≥a （应用较广） 例：y x x =-+-44 得知0,4==y x⑸如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。

区分：４的平方根为____ 4的平方根为____ ____4=４开平方后，得____ (6)若0>>b a ，则b a > (7)())0,0(0,0>≥=≥≥=⨯b a b a b a b a ab b a 典型习题：（1）求算数平方根与平方根1:求下列数的平方根36 0.09 （-4）² 0 102:求eg1中各数的平方根（2）解简单的二次方程3:281250x -= 4 :4(x+1)2=8（3）被开方数的意义5:若a 为实数,下列代数式中,一定是负数的是( ) A. －a 2 B. －( a +1)2 C.－2a D.－(a -+1) 6:实数a 在数轴上的位置如图所示, 化简:2)2(1-+-a a（4）:有关x 的取值范围目前中考的所有考点 考点：例题：求使得下列各式成立的x 的取值范围 7:53-x8: 当______m 时，m -3有意义；当______m 时，33-m 有意义9:x-1110.等式1112-=+⋅-x x x 成立的条件是（ ）. A 、1≥x B 、1-≥xC 、11≤≤-xD 、11≥-≤或x(5)非负性知识点：总结：若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．10．已知b a ,是实数，且有0)2(132=+++-b a ，求b a ,的值.11: ．已知实数a 、b 、c 满足，2)21(-c =0,,求a+b+c 的值.13.若111--+-=x x y ，求x ，y 的值。

14．522y 2++-+-=x x x ，求x y 的平方根和算术平方根。

15. 若0|2|1=-++y x ，求x+y 的值。

16.若312-a 和331b -互为相反数，求ba的值。

17．若054=-++-y x x ，求xy 的值.18．若10m +=，求20004m n -的值。

其它问题19．已知b a ,为有理数，且3)323(2b a +=-，求b a +的平方根20．设a 、b 是有理数，且满足(21a +=-，求b a 的值21．已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 、y 满足04422=+++-y y x ，求2008220092()()()a b x cd y a b cd y +-+++-的值．22. 已知实数a 满足1992a a -=，则21992a -的值是（ ） Ａ．1991 Ｂ．1992 Ｃ．1993 Ｄ．199423 .已知x 、y 互为倒数，c 、d 互为相反数，a 的绝对值为3，z 的算术平方根是5，求22c d xy a-++的值24．请你估算11的大小（ ）A.1﹤11﹤2B. 2﹤11﹤3C. 3﹤11﹤4D. 4﹤11﹤5 25．若数轴上表示数a 的点在原点的左边，则化简22a a +的结果是（ ） 26、21++a 的最小值是________，此时a 的取值是________．27、当ｘ＝－8时，则32x 的值是（ ）A ，－8B ，－4C ，4D ，±4 28、若a=23-,b=-∣－2∣，c=33)2(--,则a 、b 、c 的大小关系是（ ）.A.a ＞b ＞cB.c ＞a ＞bC.b ＞a ＞cD.c ＞b ＞a第二节：立方根和开立方１．立方根的定义如果一个数的立方等于a ，呢么这个数叫做a 的立方根，记作3a２. 立方根的性质任何实数都有唯一确定的立方根。

正数的立方根是一个正数。

负数的立方根是一个负数。

０的立方根是０. ３. 开立方与立方开立方：求一个数的立方根的运算。

()a a =33a a =33 33a a -=- （a 取任何数）这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

*０的平方根和立方根都是０本身。

三、推广： n 次方根１. 如果一个数的n 次方（n 是大于１的整数）等于a ，这个数就叫做a 的n 次方根。

当n 为奇数时，这个数叫做a 的奇次方根。

当n 为偶数时，这个数叫做a 的偶次方根。

２. 正数的偶次方根有两个。

n a ± ０的偶次方根为０。

00=n 负数没有偶次方根。

正数的奇次方根为正。

０的奇次方根为０。

负数的奇次方根为负。

实战演练：1、36的平方根是 ；16的算术平方根是 ；2、8的立方根是 ；327-＝ ；3、37-的相反数是 ；绝对值等于3的数是4、的倒数的平方是 ，2的立方根的倒数的立方是 。

5、2的绝对值是 ，11的绝对值是 。

6、9的平方根的绝对值的相反数是 。

7+的相反数是 ，-的相反数的绝对值是 。

8-+的相反数之和的倒数的平方为 。

一、填空1．如果162=x ，那么_____=x ；2．144的平方根是______，64的立方根是_______； 3．_____2516=±，_____814=-，____104=，_____106=-；4．______287169=，_____8333=，_____643=--； 5．要切一面积为16平方米的正方形钢板，它的边长是__________米； 6．5-的相反数是__________，绝对值是_________，倒数是_________；9．=0144.0_______;=-327102_________;=+•632__________，=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2323________，()()_______2525=+-；10．比较大小：5-______6-， 14.3- _______π，213-______ 21；12．若492=x ，则x =______，若64)1(3=-x ，则x =______； 14．如果0)6(42=++-y x ，那么=+y x ；15．若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，则______3=++cd b a ； 21．2)5(-的平方根是二、 选择题1．与数轴上的点一一对应的是（ ）A.实数B. 正数C. 有理数D. 整数 2．下列说法正确的是（ ）．A ．（-5）是()25-的算术平方根B ．16的平方根是4±C ．2是-4的算术平方根D ．64的立方根是4± 3．如果1-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ ）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．若 ()03212=-+++-z y x 则x+2y+z= （ ）A ．6B ．2C ．8D ．05一组数246135,343,22,16,27,2,14.3,313---π 这几个数中，无理数的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7.一个自然数的算术平方根是x ，把么下一个与他它相邻的自然数的算术平方根是（ ） A. 12+x B. 1+x C. 1+x D. 12+x 8.若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（ ） A. ±2 B. ±4 C. 2 D. 49.计算(1)461211)31()31()2(023-+÷+++⨯--(2) 02010)---+第三节、实 数1. 实数：有理数和无理数统称为实数 实数的分类：① 按属性分类： ② 按符号分类2. 实数和数轴上的点的对应关系：实数和数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示． 数轴上的每一个点都可以表示一个实数．2的画法：画边长为1的正方形的对角线在数轴上表示无理数通常有两种情况： 思考：（1）－a 2一定是负数吗？－a 一定是正数吗？ （2）大家都知道是一个无理数，那么－1在哪两个整数之间？(3)15的整数部分为a,小数部分为b ，则a= , b= (4)判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。

① 无限小数都是无理数； ② 无理数都是无限小数； ③ 带根号的数都是无理数；④ 有理数都是实数，实数不都是有理数； ⑤ 实数都是无理数，无理数都是实数； ⑥ 实数的绝对值都是非负实数； ⑦ 有理数都可以表示成分数的形式。

3. 实数大小比较的方法 一、平方法： 比较23和3的大小二、移动因式法： 比较32和23的大小三、求差法： 比较215-和1的大小 练习：一、比较下列各组数的大小：① 2-和3- ② 15和543④ 7-和－2.45 ⑤ 327-与31练习：平方根1. 36的平方根是 ；16的算术平方根是 ；2. 平方数是它本身的数是 （ ） ；平方数是它的相反数的数是 ( ) ；3. 当x=__________ 时，12+x 有意义；4.下列各式中，正确的是（ ）(A)2)2(2-=- (B) 9)3(2=- (C) 393-=- (D) 39±=±6.若a<0，则a a 22等于（ ） A 、21 B 、21- C 、±21D 、09. 计算 ⑴ 914414449⋅⑵494 ⑶41613+-10.若1＜x ＜3练习：立方根1.当x= _________时，325+x 有意义；2.若164=x ，则x=_________；若813=n ，则n= ________。

3.若23-=x ，则x= __________； 若x -=364，则x =__________；4.若n 为正整数，则121+-n 等于（ ）A. -1B. 1C. ±1D. 2n+15.求χ的值：8)12(3-=-x6.（1）18783333-+-（2）83122)10(973.0123+--⨯-（3）333)6(25.0343--•+-实数习题集作业1．若式子2)4(a --是一个实数，则满足这个条件的a 有（ ）. A 、0个B 、1个C 、4个D 、无数个2．已知ABC ∆的三边长为c b a ,,，且b a 和满足04412=+-+-b b a ，则c 的取值范围为 .3．若b a ,互为相反数，d c ,互为倒数，则=++333cd b a . 4． 若y=,122--+-x x 则y x 的值为多少5．已知0)8(652=++++-z y x ，求13+-+z y x 的值.6．计算（1）)138)(138(-+ （2）)83)(31()35(2-++-（3）222222513683)4(--++-- （4）)625()23(2-+。