第四章 正态分布
第一节 正态分布的概率密度与分布函数
一、选择
1. 设),(~2
σμN X ,那么当σ增大时，则)(σμ<-X P （ C ） (A) 增大 (B) 减少 (C) 不变 (D) 增减不定 2. 随机变量~(,1),X N μ且{2}{2},P X P X >=≤则μ=（ B ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4
二、填空
1. 设随机变量),100(~2
σ
N X ,且3085.0)103(=>X P ,
则=<<)10397(X P 0.383 2.设随机变量),50(~2
σ
N X ,且6826.0)5347(=<<X P ,
则=>)53(X P 0.1587
三、计算题
1. 某地区的月降水量X （单位：mm ）服从正态分布)4,40(2
N ,试求该地区连续10个月降水量都不超过50mm 的概率.
9396
.09938.010Y P 9938.010B Y mm 50Y 10mm 50109938
.0)5.2()4
40
50440P )50P A P mm 50A 10＝）＝＝（），（～的月数”，则过＝“该地区降水量不超设天贝努利试验，相当做超过个月该地区降水量是否观察（（）＝（”
＝“某月降水量不超过解：设==-≤-=≤φx x 第二节 正态分布的数字特征
一、选择
1. 设随机变量X 与Y 独立，)4.0,10(~,)
2.0,10(~B Y B X ，则=+)2(Y X E （ D ） (A) 6 (B) 4 (C) 10 (D) 8
二、填空
___
2______;1____e 1
)(.11
22
的方差为的数学期望为则，
的概率密度函数为已知连续型随机变量X X x f X x x
-+-=π
.___2___))2
1(,0(,.22π=--Y X E Y X N Y X 的数学期望则随机变量的随机变量，
正态分布是两个相互独立且服从设
三、计算题
.
d )(d )()2(;
)1(e
61)(.16
4
42c x x p x x p DX EX x x p X c c
x x ，求常数若已知，求，
的概率密度函数为已知连续型随机变量⎰⎰∞
+∞-+--
=+∞<<∞-=π
.
203
221)32
(
)
3
2(
1)3
2(
)
3
2(121
3
23
21)()
32(
213
2321)()2(3)(,2)(),3,2(~3
21
61
)()1(3
22
3
2)2(2
32
3
2)2(3
2)2(6
4
4222222==-=-Φ-Φ-=-Φ-Φ-=-=
=-Φ=-=
====
=
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
∞+--∞+⨯--
∞+-
-∞
-∞
-⨯--
∞
-⨯--
+--
c c c c c c dt e x t dx e
dx x P c dt e
x t dx e
dx x P X D X E N X e
e
x P c t c
x c
t c c x c x x x 所以，，从而，知所以，得从而，知所以，由于
解π
ππ
πππ
第三节 二维正态分布
一、计算题
1.已知矢径OP 的终点的坐标为),(Y X 服从二维正态分布
2
2
221
),(y x e y x f +-=
π
求矢径OP 的长度OP Z =的概率密度 解 22Y X OP Z +=
=
)()()(22z Y X P z Z P z F Z ≤+=≤= 当0≤z 时，显然有0)(=z F Z ；当0>z 时
dxdy
e z F y x z
y x Z 2
2
22221)(+≤+-
=
⎰⎰
π
.121
2
2
20
22z r z e
dr re
d -
-
-==
⎰⎰
π
θπ
所以，Z 的分布函数为
⎪⎩⎪⎨⎧≤>-=-
.0,
0;0,1)(2
2
z z e z F z Z
对z 求导数，即得Z 的概率密度
⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-.0,
0;0,)(2
2
z z ze z f z Z
第四节 正态随机变量的线性函数的分布
一、选择
1.设X ，Y 是相互独立的随机变量，且),(~,),(~2
222
11σμσμN Y N X ，则下列结论正确的是（B ）
(A ))(,(~22121σσμμ+++N Y X (B)),(~2
22121σσμμ+++N Y X (C)))(,(~22121σσμμ---N Y X (D)),(~2
22
121σσμμ---N Y X
{}{}2
12
121212122,)D (,)C (,)B (,)A ()
(,5,4);5,(~),4,(~,.2p p p p p p p p A Y P p X P p N Y N X Y X >=<=-≥=-≤=都有对任何实数才有的个别值只对都有对任何实数都有对任何实数则记均服从正态分布与设随机变量μμμμμμμμ
二、填空
1.设随机变量X 与Y 独立，且)2,1(~,)1,0(~2
N Y N X ，则32+-=Y X Z 的
概率密度为+∞<<-∞=
--
z e
z f z z ,41)(16
)2(2π
2.设随机变量X 与Y 独立，且)1,1(~,)1,0(~N Y N X ，则)1(≤+Y X P = 0.5
.
___21___,2
1
}1{).21
,(.3＝则如果
分布相互独立且都服从正态与已知随机变量μμ=≤+Y X P N Y X
第五节 中心极限定理
一、填空
____
21___}2)({2.1≤≥-X E X P X 式有估计，则根据切比雪夫不等的方差为设随机变量
二、计算题
1.已知一本书有500页，每一页的印刷错误的个数服从泊松分布)
2.0(P .各页有没有错误是相互独立的，求这本书的错误个数多于88个的概率.((1.2)0.8849Φ=) 解：设i X 表示第i 页上的错误个数，)500,2,1(， =i 则)2.0(~P X i ，因此2.0)(,2.0)(==i i X D X E )500,2,1(， =i
设X 表示这本书上的错误总数，由列维中心极限定理知
)100,100(~500
1
N X X i i ∑==
因此{}{
}12881881(1.2)0.884910P X P X P -⎫
>=-≤=-≤=Φ=⎬⎭ 2.某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占20%，以X 表示在随意抽查的100个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数. 求被盗索赔户不小于14户且不多于30户的概率近似值. ( 利用棣莫弗--拉普拉斯定理近似计算.
933.0)5.1(,994.0)5.2(=Φ=Φ )
解: ）（2.0,100~B X ， 因为 100=n 较大,
所以X 近似服从正态分布. 20=np , 16=npq . (p q -=1) ）
（）（4
20
14)42030(
3014-Φ--Φ=≤≤X P )5.1)5.2(-Φ-Φ=（
927.0)933.01(994.0=--=
3.某品牌家电三年内发生故障的概率为0.2,且各家电质量相互独立.某代理商发售了一批此品牌家电,三年到期时进行跟踪调查：
（1）抽查了四个家电用户,求至多只有一台家电发生故障的概率； （2）抽查了100个家电用户,求发生故障的家电数不小于25的概率
( (2)利用棣莫弗---拉普拉斯定理近似计算. 8944.0)25.1(=Φ )
解:设X 表示发生故障的家电数,则 (1) ）（2.0,
4~B X
）（1≤X P =）（0=X P +）
（1=X P
=4
8.0+8192.08.02.03
1
4=⨯⨯C
(2) ）（2.0,100~B X ， 因为 100=n 较大,
所以X 近似服从正态分布. 20=np , 16=npq . (p q -=1)
）（）
（4
20
251)25(125-Φ-=≤-=≥X P X P )25.11（
Φ-= 1056.08944.01=-=。