对称性： [x, y] = [y, x]． 证：
[x, y] x1 y1 x2 y2 L xn yn y1 x1 y2 x2 L yn xn [y, x]
线性性： [l x, y] = l[x, y]．
[x + y, z] = [x, z] + [y, z] 证：
[l x, y] (l x)T y l xT y l( xT y) l[ x, y]
( || x || + || y ||)2=(x,x)+2(|| x |||| y ||)+(y,y) 由施瓦兹不等式|(x,y)|≤ || x |||| y || || x + y || ≤ || x || + || y ||
x + yx y
y x
三、向量间的夹角
由施瓦兹（Schwarz）不等式
[l x, l x] l[x, l x] l[l x, x] l 2[ x, x]
|| l x || [l x,l x] l 2[x, x] | l | [x, x] | l |43; y || ≤ || x || + || y ||． 证: ∵ || x + y||2=(x+y,x+y)=(x,x)+2(x,y)+(y,y)
0
得
x1 x2
0
x3
1
1
从而有基础解系
0
，令
a3
0
则a3即为所求．
1
1
五、规范正交基与施密特正交化过程
定义： n 维向量e1, e2, …, er是向量空间 V R中n 的向量， 满足
✓ e1, e2, …, er 是向量空间 V 中的一个基（最大无关组）； ✓ e1, e2, …, er 两两正交； ✓ e1, e2, …, er 都是单位向量， 则称 e1, e2, …, er 是V 的一个规范正交基．
[a2, a3] = a2T a3 = x1 － 2 x2 + x3 = 0
Ax
1 1
1 2
1 1
x1 x2 x3
0
0
1
Ax
1
1 2
1 1
x1 x2 x3
0
0
1 1 1 r 1 1 1 r 1 1 1 r 1 0 1
1
2
1
~
0
3
0
~
0
1
0
~
0
1
= k1 [a1, a1] + k2 [a1, a2] + … + kr [a1, ar] = k1 [a1, a1] + 0 + … + 0 = k1 ||a1||2 从而 k1 = 0． 同理可证，k2 = k3 = … = kr =0． 综上所述， a1, a2, …, ar 线性无关．
1
1
P(x1, x2)
x2
在二维空间中，若令 x = (x1, x2)T，则
| OP | x12 x22 [x, x]
O
x1
P x1
在三维空间中，若令 x = (x1, x2, x3)T，则
x3
x2 O
| OP | x12 x22 x32 [ x, x]
二、向量的长度
定义：令
|| x || [ x, x] x12 x22 L xn2 0
[x, y]2 ≤ [x, x] [y, y] = || x || ·|| y ||
当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，
[x, y] 1
|| x || || y ||
定义：当 x ≠ 0 且 y ≠ 0 时，
arccos [ x, y]
|| x || || y ||
称为 n 维向量 x 和 y 的夹角．
[ x y, z] ( x y)T z ( xT yT ) z ( xT z) ( yT z) [ x, z] [ y, z]
当 x = 0（零向量） 时， [x, x] = 0； 当 x ≠ 0（零向量） 时， [x, x] > 0． [x, x] = x12 + x22 + … + xn2 ≥ 0
9
施瓦兹（Schwarz）不等式 [x, y]2 ≤ [x, x] [y, y]
证：对 lR [x+ly, x+ly]0
即[x, x]+2l[x, y]+l2 [y, y] 0 于是：(2[x, y])2-4[x, x][y, y]0 [x, y]2 ≤ [x, x] [y, y]
回顾：线段的长度
线性代数第五章
相似矩阵及二次型
第五章二次型理论是一个独立的 内容与前面四章的联系不是太大， 但求特征向量需要涉及求齐次线 性方程组的解，因此也可以看成 是方程组理论、矩阵理论、向量 组理论的一个应用。
§1 向量的内积、长度及正交性
一、向量的内积 二、向量的长度 三、向量间的夹角 四、正交向量组及其性质 五、规范正交基与施密特正交化过程 六、正交阵
称 || x ||为 n 维向量 x 的长度（或范数）． 当 || x || = 1时，称 x 为单位向量．
向量的长度具有下列性质：
• 非负性：当 x = 0（零向量） 时， || x || = 0； 当 x≠0（零向量） 时， || x || > 0．
• 齐次性： || lx || = | l| · || x || ．
例：已知3
维向量空间R3中两个向量
a1
1
,
a2
2
1
1
正交，试求一个非零向量a3 ，使a1, a2, a3 两两正交．
分析：显然a1⊥a2 ．
解：设a3 = (x1, x2, x3)T ，若a1⊥a3 ， a2⊥a3 ，则
[a1, a3] = a1T a3 = x1 + x2 + x3 = 0
当 [x, y] = 0，称向量 x 和 y 正交．
y
x
显然：若 x = 0，则 x 与任何向量都正交．
四、正交向量组及其性质
定义：两两正交的非零向量组成的向量组称为正交向量组． 定理：若 n 维向量a1, a2, …, ar 是一组两两正交的非零向量， 则 a1, a2, …, ar 线性无关． 证明：设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量），那么 0 = [a1, 0] = [a1, k1a1 + k2a2 + … + kr ar]
1 0 0 0
例：
e1
0 0
,
e2
1 0
,
e3
0 1
,
e4
0
0
0
0
0
1
是 R4 的一个规范正交基． e1, e2, e3是R4 中由e1, e2, e3生成的 向量空间的一个规范正交基。