【试题内容】求z x y =+，在点2222,⎛⎝ ⎫⎭⎪沿单位圆x y 221+=外法线方向的方向导数。

【试题答案及评分标准】cos cos αβ==22(4分)∂∂∂∂z xz y==11 所以∂∂z n =+=22222(10分)【090702】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求z x y =+32在点()11,沿单位圆x y 222+=外法线方向的方向导数。

【试题答案及评分标准】cos cos αβ==22(4分)∂∂∂∂z xzy==32 所以∂∂z n =⨯+⨯=322222522(10分)【090703】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数z x y =⋅+ln()1在点()11,沿曲线2122x y -=切线（指向 x 增大方向）向量的方向导数。

【试题答案及评分标准】tan (,)α==42211x ycos cos αβ==1525(4分)所以∂∂ααβz y xy =+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥ln()cos cos (,)1111=⋅+⋅=+ln (ln )21512251521(10分)【试题内容】求函数z e y x =+⎛⎝ ⎫⎭⎪ln 12在()01,点沿曲线y e x=切线正向（指向 x 增大方向）的方向导数。

【试题答案及评分标准】tan cos cos 'ααβ=======y e x xx 00122(4分) ∂∂∂∂z xz yy y (,)(,)(,)01012011211==-+=-所以∂∂z a =⨯+-⨯=1221220() (10分)【090705】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数z x y =+2ln arctan 在()11,点沿ϖa 方向的方向导数，其中 a ϖ为曲线 y x =2在()11,点的切向量，方向为 x 增大的方向。

【试题答案及评分标准】tan cos cos 'ααβ=====y x 121525(4分)∂∂∂∂πz xxz yy y (,)(,)(,)(,)arctan 111111211221112===⋅+=所以∂∂πππz a =⨯+⨯=+215225225()(10分)【090706】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数z y e x=-在()1,e 点沿曲线 y e x=切线正向（ x 增大方向）的方向导数。

【试题答案及评分标准】tan 'α=====y e e x xx 11cos cos αβ=+=+11122ee e(4分)∂∂∂∂z xe ez ye xe e (,)(,)(,)1111=-=-=所以∂∂z a e e e e=-⨯++⨯+=1111022(10分)【090707】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】设()z x y=cos ，ϖl 为曲线y x =+12sin 在 x =0处的切向量（指向 x 增大方向），求∂∂zl(,)01。

【试题答案及评分标准】tan cos 'α=====y xx x 0222cos cos αβ==1525(4分)∂∂∂∂z x y x x z yx x y y (,)(,)(,)(,)(cos )(sin )(cos )ln(cos )0110101010=-===-所以∂∂zl=0(10分)【090708】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求z xy =arctan 在点()11,沿曲线2322x y +=外法线方向的方向导数。

【试题答案及评分标准】切线斜率tan '(,)(,)α==-=-yxy111122法线斜率tan ϕ=12所以cos sin ϕϕ==2515(4分)∂∂∂∂z x y xy z yx xy (,)(,)(,)(,)()()1121111211112112=+==+= 所以∂∂z l =⨯+⨯=⋅122512153215(10分)【090709】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数z x y=+22在()11,点沿ϖa 方向的方向导数，其中ϖa 为曲线x y x 222+=在 ()1,1点的内法线向量。

【试题答案及评分标准】切线斜率tan (,)α=--=x y1011内法线向量{}n 001=-,，cos cos αβ==-01 (4分)∂∂∂∂z x xz yy (,)(,)(,)(,)ln ln 11111111222222===⋅=所以∂∂zn=⨯+⨯-=-2022122ln ()ln(10分)【090710】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数z y x =+sin 在12,π⎛⎝ ⎫⎭⎪点沿ϖa 方向的方向导数，其中ϖa 为曲线x t y t ==22sin ,cos π在t =π6处的切向量（指向t 增大的方向）。

【试题答案及评分标准】tan d d sin cos αππππ==-=-==y xt tt t 66222cos sin απαππ=+=-+11122(4分)∂∂∂∂ππππz x x y x z yy x(,)(,)(,)(,)cos sin sin 121212122012122=+==+=所以∂∂πππz a =⨯++⨯-+011122122()()=-+ππ2212(10分)【090711】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数z t t xy =+⎰d 142在点（1，-1）处沿{}ϖa =-11,方向的方向导数。

【试题答案及评分标准】∂∂z xy x y (,)(,)1124811112--=+=∂∂z yxy x y (,)(,)114811211--=+=-(5分)cos cos αβ=-=1212所以∂∂z a =⨯-+-⨯=-⋅12121123212()() (10分)【090712】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数u r r x y z ==++arctan ,222在点（1,1,1）处沿{}ϖa =-101,,方向的方向导数。

【试题答案及评分标准】cos cos cos αβγ===-12012(3分)∂∂∂∂u x r x r u yr y r (,,)(,,)(,,)(,,)111211111121111114311143=+⋅==+⋅=∂∂u zr zr(,,)(,,)111211111143=+⋅=(6分)∂∂u a =+-⎛⎝ ⎫⎭⎪=143120120(10分)【090713】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数u r r x y z ==++sin ,222在点（1,2,-2）处沿{}ϖa =111,,方向的方向导数。

【试题答案及评分标准】cos cos cos αβγ===13(3分)∂∂∂∂u x r x r u yr yr (,,)(,,)(,,)(,,)cos cos cos cos 122122122122133233----=⋅==⋅=∂∂u zr z r(,,)(,,)cos cos 122122233--=⋅=-(6分)∂∂u a =1333cos(10分)【090714】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数r x y z =++222在点M x y z 0000(,,)处沿 0M 到坐标原点 O方向 M 0的方向导数。

【试题答案及评分标准】{}M x y z 0000=---,,cos cos cos αβγ=-=-=-x r y r z r 000(3分)其中r x y z 0020202=++ ∂∂∂∂∂∂rxx r r yy r r zz r M M M 00000===(7分)所以∂∂ra x y z r =-++=-020202021(10分)【090715】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数u x y z=在点（1,2,-1）处沿{}ϖa =-122,,方向的方向导数。

【试题答案及评分标准】cos cos cos αβγ===-132323(3分)∂∂∂∂u x y x u yx x zyz yy z zz(,,)(,,)(,,)(,,)ln 12111211211121120------=⋅==⋅=∂∂u zx x y yy z z(,,)(,,)ln ln 1211210--=⋅=(7分) 所以∂∂u a =⨯=121316(10分)【090716】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数u y x z =+()23在点（2,1,1）处沿该点向径方向的方向导数。

【试题答案及评分标准】{}ϖr =211,,，61cos 61cos 62cos =γ=β=α (3分)5)(42)1,1,2(32)1,1,2()1,1,2()1,1,2(=+=∂∂==∂∂z x yu xyx u∂∂u zyz (,,)(,,)211221133==(6分)所以∂∂u r =⨯+⨯+⨯=426516316166(10分)【090717】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】【试题内容】求函数u z y x=⋅在点（1,2,1）处沿{}ϖa =-332,,方向的方向导数。

【试题答案及评分标准】cos cos cos αβγ===-322322222(3分) ∂∂∂∂u x yz z u yz x x(,,)(,,)(,,)(,,)ln 12112112112101====∂∂u zy x z x (,,)(,,)12111212=⋅⋅=-(6分)所以∂∂u a =+⨯-=-3222222122() (10分)【090718】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数u z x y =+22在点（－3,4,1）处沿{}ϖa =321,,方向的方向导数。

【试题答案及评分标准】cos cos cos αβγ===314214114(3分)∂∂∂∂u x xz x y u yyzx y (,,)/(,,)(,,)/(,,)()()----=-+==-+=-3412232341341223234131254125∂∂u zx y(,,)(,,)--=+=34122341115(6分)所以∂∂u a =⨯+-⨯+⨯=31253144125214151142612514()(10分) 【090719】【计算题】【较易0.3】【方向导数与梯度】【方向导数梯度】 【试题内容】求函数u z e x y =⋅+22在点（0,1,－2）处沿{}ϖa =-012,,方向的方向导数。