II型系统
Ka
lim
s0
s
2 K II (1s
s 2 (T1s
1)( 2s
1)(T2 s
1) 1)
K II
ess
A Ka
A K
III型及以上系统
Ka
lim
s0
s2 K (1s 1)( 2s 1)
s (T1s 1)(T2s 1)
( III)
ess 0
如系统的输入是几种典型信号的组合
xi
(t)
0型系统
Kp
ess
lim G(s)H (s) lim
s0
s0
AA 1 Kp 1 K0
K 0 ( 1s 1)( 2 s 1)( 3 s 1)
(T1s 1)(T2 s 1)(T3 s 1)
K0
I型或高于I型的系统
Kp
lim
s0
G(s)H
(s)
lim
s0
K (1s 1)( 2 s
s (T1s 1)(T2 s
lim
s0
sE(s)
lim
s0
1
sX i (s) G(s)H (s)
lim
s0
1
G
s (s)
H
(s)
A s2
lim
A
lim
A A
s0 s sG(s)H (s) s0 sG(s)H (s) Kv
其中
Kv
lim
s0
sG(s)H (s)
定义为稳态速度误差系数。
0型系统
Kv
lim
s0
sK 0 (1s 1)( 2 s 1)( 3s 1)
1(t)
t
1 2
t
2
则根据线性系统叠加原理，系统总的稳态误差
ess
1 1 Kp
1 Kv
1 Ka
强调：在误差分析中，只有当输入信号为阶跃信号，斜坡(速度)
信号和抛物线(加速度)信号，或者上述三种信号的线性组合时， 稳态位置误差系数，稳态速度误差系数和稳态加速度误差系数才
有意义。
用稳态误差系数法求系统的稳态误差, 实际上是利用终值定理求系 统的终值误差，因此当输入信号为其它形式的信号时，如正(余)弦
s (T1s 1)(T2 s 1)(T3s 1)
ess
A Kv
0
7.1.3 抛物线(加速度)信号引起的稳态误差
ess
lim
t
e(t)
lim
s0
sE ( s)
lim
s0
sX i (s) 1 G(s)H (s)
lim
s0
s 1 G(s)H (s)
A s3
lim
s0
A s2G(s)H (s)
A Ka
信号，稳态误差系数的方法无法使用。
7.2 动态误差系数
例7-1 某两个控制系统的传递函数为
G1 (s)
10 s(s 1)
G2 (s)
s(s 2
10
2s
1)
试确定系统的稳态误差。
解 根据静态误差系数的定义，可得这两个系统的静态 误差系数为
K p1 K p2
Kv1 10 这两个系统完全不相同，但它们的稳态误差却完全相 同，不能只用静态误差系数来唯一确定控制系统的误差特
性。还需要增加控制系统的动态误差性能指标。
动态误差系数法可以描述稳态误差随时间的变化规律。
动态误差系数计算：采用长除法
1.首先求出误差传递函数
e (s)
E(s) X i (s)
(T1s 1)(T2 s 1)(T3s 1)
0
ess
A KV
Ｉ型系统
Kv
lim
s0
sK I (1s 1)( 2 s 1)( 3s 1)
s(T1s 1)(T2 s 1)(T3s 1)
KI
ess
A Kv
A K
II型及以上系统
Kv
lim s0
sK (1s 1)( 2 s 1)( 3s 1)
其中
Ka
lim
s0
s 2G(s)H (s)
定义为稳态加速度误差系数。
0型系统
Ka
lim s0
s 2 K0 (1s 1)( 2 s 1)
(T1s 1)(T2 s 1)
0
ess
A Ka
Ｉ型系统
A
Ka
lim s0
s
2 K I (
s(T1s
1s
1)(
1)(T2 s
2s
1)
1)
0
ess Ka
这是一个收敛域在s=0邻域的无穷级数，式中系数 C0,C1,C2,C3, 称为动态误差系数。
1
1 G(s)H (s)
2. s接升幂形式排列
G(s)H(s)
K s
1 b1s b2s2 bmsm 1 a1s a2s2 an sn
M (s) N(s)
式中
M (s) K (1 b1s b2 s 2 bm s m )
N (s) s (1 a1s a2s2 ansn )
1)( 3s 1)
1)(T3s 1)
( I )
ess 0
在阶跃输入时，0型系统的稳态误差为一常值，其大小与开 环增益有关，开环增益越大，稳态误差越小，但总有误差。
如要求在阶跃输入时，系统稳态误差为0，则系统必须是I 型或高于I型的系统
7.1.2 斜坡信号引起的稳态误差
ess
lim
t
e(t)
将M(s)，N(s)代入误差传递函数
e (s)
1 1 G(s)H (s)
N (s) N(s) M (s)
将上式用综合除法展开成按s升幂的级数
e (s) C0 C1s C2 s 2 Ck s k
误差信号可表示为
E(s) e (s) X i (s) (C0 C1s C2 s 2 Ck s k ) X i (s)
第7章 控制系统的误差分析
7.1 稳态误差 7.2 动态误差系数 7.3 扰动信号作用下的稳态误差
7.1 稳态误差
Xi (s) xi (t)
误差信号
E(s) G(s)
e(t)
B(s) H (s)
b(t)
e(t) xi (t) b(t)
Xo (s) xo(t)
进行Laplace变换得 E(s) X i (s) B(s) X i (s) E(s)G(s)H (s)
则误差函数
E(s) X i (s) 1 G(s)H (s)
利用终值定理可得
e ss
lim e(t) t
lim s0
sE(s) lim sX i (s) s0 1 G(s)H (s)
稳态误差依赖于参考输入 X i (s) 及开环传递函数G(s)H (s) 。
7.1.1 阶跃信号引起的稳态误差
ess
lim
t
e(t)
lim
s0
sE(s)
lim
s0
1
sX i (s) G(s)H (s)
s
A
lim
s0 1 G(s)H (s) s
lim
A
A
s0 1 G(s)H (s) 1 K p
其中
Kp
lim
s0
G(s)H (s)
定义为稳态位置误差系数。
所谓位置不仅限于字面上的含义，输出量可以是位置，也 可以是温度、压力、流量等，因为这些物理名称对于分析 问题并不重要，故把它们统称为位置。