专题06 导数的几何意义灵活应用
【学习目标】
1．了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的意义及几何意义．
3．能根据导数定义求函数y ＝C (C 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1
x ，y ＝x 的导数．
4．能利用基本初等函数的导数公式及导数运算法则进行某些函数的求导． 【知识要点】
1．平均变化率及瞬时变化率
(1)函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率用________表示，且Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）
x 2－x 1.
(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是：
0lim x ∆→ Δy Δx
＝0
lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx
.
2．导数的概念
(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝
lim x ∆→ f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx
.
(2)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)是一个确定的数，当x 变化时，f ′(x )是x 的一个函数，称f ′(x )为f (x )的导函数(简称导数)，即f ′(x )＝ 0
lim x ∆→f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx
.
3．导数的几何意义和物理意义
几何意义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数就是曲线y ＝f (x )上_____________________的斜率k ，即k ＝_______；切线方程为______________________．
物理意义：若物体位移随时间变化的关系为s ＝f (t )，则f ′(t 0)是物体运动在t ＝t 0时刻的___________ 4．基本初等函数的导数公式 (1)常用函数的导数
①(C )′＝________(C 为常数); ②(x )′＝________； ③(x 2)′＝________； ④⎝⎛⎭⎫
1x ′＝________； ⑤(x )′＝________． (2)初等函数的导数公式
①(x n )′＝________； ②(sin x )′＝__________；
③(cos x )′＝________； ④(e x )′＝________； ⑤(a x )′＝___________； ⑥(ln x )′＝________； ⑦(log a x )′＝__________． 5．导数的运算法则
(1)[f (x )±g (x )]′＝________________________； (2)[f (x )·g (x )]′＝_________________________；
(3)⎣⎢⎡⎦
⎥⎤f （x ）g （x ）′＝____________________________． 6．复合函数的导数
(1)对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这两个函数(函数y ＝f (u )和u ＝g (x ))的复合函数为y ＝f (g (x ))．
(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为___________________，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 1.变化率
例1. 【河南2019名校模拟】已知：函数，、为其图像上任意两点，则直线
的斜率的
最小值为（ ） A ． B ． C ．
D ．
【答案】B 【解析】，而，易得，
在
上单调减少，在
上单调增加，
故
,故选B.
练习1．设()f x 在0x 可导，则
等于（ ）
A ．()04'f x
B ．()0'f x
C ．()02'f x
D ．()03'f x 【答案】A
【解析】由题得=
=4()0f x '，故选A.
练习2．设定义在上的函数的导函数
满足
，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】由，，故，
即，
故选：A ． 2.导数的定义
例2．【山西2019联考】设为可导函数，且，求的值（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】根据导数的定义得到=,即可得到答案.
【详解】根据极限的运算和导数的定义得到：=
故答案为：B.
【点睛】这个题目考查了导数的定义，，，凑出分子是y 的变化量，分
母是x 的变化量即可.
练习1．设函数()f x 在1x =处可导，则（ ）
A ．()1f '
B ．()1
12
f -' C ．()21f -' D ．()1f -' 【答案】B
【解析】∵函数()f x 在1x =处可导，
∴，
∴．选B ．
练习2．已知函数
在处可导，若，则
A ．
B ．
C ．
D ． 【答案】B
【点睛】本题主要考查导数的概念以及导数的计算. 3.求倾斜角
例3．【福建省莆田第六中学2019第一次模拟】将函数
的图象绕坐标原点逆时针方向
旋转角θ（(]
0,θα∈），得到曲线C ，若对于每一个旋转角θ，曲线C 都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为（ ） A ．π B ．2π C ．3π D ．4
π
【答案】D 【解析】函数
的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其任意切线的倾斜
角小于等于90︒时，其图象都依然是一个函数图象，因为0x ≥是1
1
y x '=+是x 的减函数，且01y <'≤,当且仅当0x =时等号成立，故在函数的图象的切线中， 0x =处的切线倾斜角最大，
其值为
4π，由此可知4
max π
α=，故选D. 练习1．设点P 在曲线上，点Q 在直线y =2x 上，则PQ 的最小值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．
D ．
【答案】D
【解析】在曲线上求一点，使得过这点的切线与直线平行，再用两条平行线间的距离公式，可求得
的最小值.
【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线和直线间的最短距离，它的主要思想方法是通过将直线平移到曲线上，使得平行直线和曲线相切，这个时候，两条平行线间的距离，就是曲线上的点和直线上的点的距离的最小值.在求切线的过程中，要把握住切点和斜率两个关键点.属于中档题.
练习2．若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】根据题意，设切线的斜率为k，其倾斜角是θ，求出函数f（x）的导数，利用导数的几何意义可得
k＝f′（1），即tanθ，结合θ的范围，分析可得答案．
【详解】根据题意，设切线的斜率为k，其倾斜角是θ，
f（x）lnx﹣x，则f′（x）x21，
则有k＝f′（1），
则tanθ，
又由0≤θ＜π，则θ，
故选：B．
【点睛】本题考查利用导数分析切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．
练习3.．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】求出曲线在处切线斜率，从而可得进而得到.
【详解】函数的定义域为，时，，即且为锐角，则
故选A.
4.曲线上某点处的斜率
例4．【陕西省彬州市2018-2019学年上学期高2019届】已知函数，在点处的切线为，则切线的方程为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意，求得，得到，得出切线为的斜率为，利用直线的点斜式方程，即可求解。

【详解】由题意，函数，则，
所以，即在点处的切线为的斜率为，
所以切线的方程为，即，故选B。

【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解在某点处的切线方程，其中解答中正确求解函数的导数，利用导数的几何意义，求得切线的斜率，再利用直线的点斜式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

练习1．已知函数的图像在点处的切线与直线平行，则实数（）
A．2 B．C．D．-2
【答案】A
【解析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝2处的导数，由导数值等于求得实数a的值．
【详解】由f（x）＝，得
，
则．
考点：导数的几何意义及但点到直线的距离公式的综合运用.
【易错点晴】导数是研究和刻画函数的单调性和极值等的重要工具,也是中学数学中的重要知识点和高考命
题的重要内容和考点.本题以所满足等式条件为背景,考查的是函数求导法则及导数的几何意
义的灵活运用.求解时先运用求导法则求出函数的导数为x
x y 1
2/-
=,然后依据题设求出切线与直线
平行时,切点P 到这条直线的距离最小,所以112=-t t ,解之得1=t ,2
1
-=t ,求出切点
坐标,从而使得问题获解. 练习1．已知，则
的最小值为 （ ）
A ．
5103 B ．518 C ．516 D ．5
12
【答案】B ．
【解析】设)3,(a
a P ，)3
,
(b
b Q -，则，)3,(a a P 的轨迹为直线3
x y =
，)
3,(b b Q -的轨迹为双曲线x
y 3
-
=，双曲线上一点)3,(00x x -到直线03=-y x 的距离为
，
的最小值为
5
18
【命题意图】本题主要考查距离公式、 基本不等式等知识，考查学生转化与化归、逻辑推理能力．。