矩形函形rect =⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x x 0⎪⎩⎪⎨⎧≤-其他,0210,1a x x 函数以x0为中心，宽度为a （a >0）高度为1的矩形，当x0=0，a =1时，矩形函数形式变成rect (x),它是以x=0为对称轴的，高度和宽度均为1的矩形。

当x0=0, a =1时，矩形函数形式变成rect (x)，它是以x=0为对称轴的，高度和宽度均为1的矩形，二维矩形函数可表为一维矩形函数的乘积⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-b y y a x x rect 00，a ，b>0c sin 函数()()a x x ax x a x x c /0/0sin 0sin --=⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππ a >0，函数在x=x0处有最大值1。

零点位于()Λ2,10=±=-n na x x .对于x0=0，a =1，函数图像三角函数⎪⎩⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛Λ,0,1ax a x a >0符号函数()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=0,10,00,1sgn x x x x 阶跃函数()⎩⎨⎧<>=0,00,1x x x step圆柱函数在直角坐标系内圆柱函数定义式 ⎪⎩⎪⎨⎧<+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+其它,0,12222ay x a y x circ极坐标内的定义式为 ⎩⎨⎧><=⎪⎭⎫ ⎝⎛ar ar a r circ ，，01卷积的定义函数()x f 和函数()x h 的一维卷积，有含参变量的无穷积分定义，即()()()()()x h x f d x h x f x g *=-=⎰∞∞-αα定义()x f 和()x h 的二维卷积：()()()()()y x h y x f d d y x h f y x g ,*,,,,=--=⎰⎰∞∞-βαβαβα卷积的基本性质 线性性质 交换律平移不变性 ()()()()() *212121⎰∞∞---=---=--x xx g d x x h x f x x h x x f ααα结合律坐标缩放性质 ()()()ax g aax h ax f 1*=函数()y x f ,与δ函数的卷积()()()()()⎰⎰∞∞-=--=y x f d d y x f y x y x f ,,,,*,βαβαδβαδ即任意函数()y x f ,与δ函数的卷积，得出函数()y x f ,本身，而()()()0000,,*,y y x x f y y x x y x f --=--δ 互相关 两个函数()y x f ,和()y x g ,的无相关定义为含参变量的无穷积分，即 ()()()()()y x g y x f d d g y x f y x R fg ,,,,,*☆=--=⎰⎰∞∞-βαβαβα或 ()()()()()y x g y x f d d y x g y x f y x R fg ,,,,,*☆=++=⎰⎰∞∞-βαβα互相关卷积表达式：()()()()y x g y x f y x g y x f ,*,,,*--=☆性质：（1）()()y x R y x R fg gf ,,≠，即互相关不具有交换性，而有()()y x R y x R fg gf --=,,*（2）()()()0,00,0,2gg ff fg R R y x R ≤自相关 当()()y x g y x f ,,=时，即得到函数f 的自相关定义式()()()()()y x f y x f d d f y x f y x R ff ,,,,,*☆=--=⎰⎰∞∞-βαβαβα和 ()()()y x f y x f y x R ff ,*,,*--=性质：（1）自相关函数具有厄密对称性()()y x R y x R ff ff --=,,* 当()y x f ,是实函数时，()y x R ff ,是偶函数（2）()()0,0,ff ff R y x R ≤傅里叶变换基本性质 线性性质 ()=ηξ,F (){}()=ηξ,,,G y x f (){}b a y x g ,,,为常数，则()(){}()()ηξηξ,,,,gG aF y x bg y x af +=+ 对称性 设()=ηξ,F (){},,y x f 则(){}()ηξηξ--=,,f F迭次傅里叶变换以两次连续傅里叶为例，则有{{()y x f ,}}=()y x f --,对二元函数连续作二维傅里叶变换，即得其倒立像坐标缩放性质a,b 为不等于零的实常数，若(){}=y x f ,()ηξ,F ，则(){}⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a F ab by ax f ηξ,1, 函数()y x f ,的图像变窄，其傅里叶变换()ηξ,F 的图像将变宽变矮；()y x f ,的图像变宽，则()ηξ,F 的将变窄变高 平移性 设(){}=y x f ,()ηξ,F ，且00,y x 为实常数，则有(){}(){}00002ex p ,y x j y y x x f ηξπ+-=--()ηξ,F体积对应关系 设(){}=y x f ,()ηξ,F ，则有()()dxdy y x f F ,0,0⎰⎰∞∞-=，()()ηξd d y x F f ,0,0⎰⎰∞∞-=复共轭函数的傅里叶变换 设(){}=y x f ,()ηξ,F ，则(){}()ηξ--=,,**F y x f ，(){}()ηξ,,**F y x f =--若()y x f ,为实数，显然有()ηξ,F ()ηξ--=,*F 此时称()ηξ,F 具有厄米对称性 傅里叶变换基本定理 卷积定理 设(){}=y x f ,()ηξ,F ，设(){}=y x g ,()ηξ,G ，则有()(){}=y x g y x f ,*,()ηξ,F ()ηξ,G 和()(){}=y x g y x f ,,()ηξ,F ()ηξ,*G相关定理（维纳——辛钦定理） （1） 互相关定理 设(){}=y x f ,()ηξ,F ，(){}=y x g ,()ηξ,G ，则有()(){}=y x g y x f ,,☆()ηξ,*F ()ηξ,G()ηξ,*F ()ηξ,G 为函数()y x f ,和()y x g ,的互谱量密度或简称互谱密度（2） 自相关定理 设(){}=y x f ,()ηξ,F ，则有()(){}()2,,,ηξF y x g y x f =☆ ()2,ηξF 为()y x f ,的能谱密度巴塞伐定理 设(){}=y x f ,()ηξ,F ，且积分设()()⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-ηξηξd d F dxdy y x f 22,,与都存在，则有()()⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-=ηξηξd d F dxdy y x f 22,,广义巴塞伐定理 设(){}=y x f ,()ηξ,F ，(){}=y x g ,()ηξ,G ，则有()()()()⎰⎰⎰⎰∞∞-∞∞-=ηξηξηξd d G F dxdy y x g y x f ,,,,**导数定理 设(){}=y x f ,()()()()()()(),,,,,,,,,,n m n m n m n m n m n m F F y x y x f y x fF ηξηξηξηξ∂∂∂=∂∂∂=++则有 ()(){}()()nmn m j j y x fπηπξ22,,=()ηξ,F(){}nm nmj j y x f y x ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππ22,()()ηξ,,n m F积分定理 设(){}=,x f ()ξF 则有()()()()ξπξξδααF jF d f x 2021-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎰∞- 矩定理()Λ2,1,0,,,=⎰⎰∞∞-n m dxdy y x f y xnm零阶矩定理 此时m=n=0，即有()()0,0,F dxdy y x f =⎰⎰∞∞-线性系统：一个系统同时具有叠加性和均匀性时一个系统对输入1f 和2f 的输出响应分别为1g 和2g ，即有()=221,y x g (){}111,y x f ，()=222,y x g (){}112,y x f 叠加性：(){}=+112111,),(y x f y x f (){}111,y x f +(){}112,y x f =()+221,y x g ()222,y x g均匀性：(){}ay x af =111,(){}111,y x f =()221,y x ag线性平移不变系统：系统既具有线性又具有空间平移不变性用表达式可以表示为：()()()()()单位脉冲响应输入函数输出函数y x h y x f d d y x h f y x g ,*,,,,=--=⎰⎰∞∞-βαβαβα 线性平移不变系统的传递函数：()()()ηξηξηξ,,,F G H =说明：原点脉冲响应的频谱密度可以表征系统对输入函数中不同频率的基元成分的传递能力传递函数()ηξ,H 一般是复函数，其模的作用在于改变输入函数各种频率基元成分的模，其辐角的作用在于改变这些基元成分的初相位 本征函数：函数()y x f ,满足条件(){}()y x af y x f ,,=式中a 为一复常数，则称()y x f ,为算符{…}所表征的系统的本征函数系统的本征函数是一个特定的输入函数，相应的输出函数与输入函数之比是一个复常数平面波的空间频率：空间呈正弦或余弦变化的物理量在其某一方向上单位距离所包含的空间周期数 平面波的复振幅表达式：()()[]()[]z y x j a y x jk a z y x U ζηξπγβα++=++=2ex p cos cos cos ex p ,, 分别沿z y x ,,方向的空间频率：λγζλβηλαξcos ,cos ,cos ===空间角频率：λπ2=kλ1表示平面波沿传播方向的空间频率复振幅分布：()()()[]⎰⎰+=∞∞-ηξηξπηξd d y x j G y x g 2exp ,, 称()ηξ,G 为复振幅分布()y x g ,的空间频谱平面波的角谱：()dxdy x j y x g G ⎰⎰∞∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛λβλαπλβλαcos cos 2exp ,cos ,cos基尔霍夫衍射公式：()()()ds re r n r n r e a j Q U jkrjkr ⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2,cos ,cos 10000λ 菲涅耳衍射：()()()()()0020200002exp ,exp ,dy dx z y y x x jk y x U z j jkz y x U ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-=⎰⎰∞∞-λ 菲涅耳衍射的充分条件：()()[]2max2020381y y x x z -+->>λ夫琅禾费衍射：满足()max202021y x z +>>λ规定的z 值范围的衍射透镜对光波的相位变换作用：是由透镜本身的性质决定的，与入射光波复振幅()y x U ,1的具体形式无关 角谱理论是在频域讨论光的传播，是把孔径平面光场分布看做许多不同方向传播的平面波的线性组合 泰伯效应：当用单色平面波垂直照明一个具有周期性透过率函数的图片时，发现在该透明片后的某些距离上出现该周期函数的像，这种不用透镜就可以对周期物体成像的现象称为泰伯效应或自成像，是一种衍射成像点扩散函数：当该面元的光振动为单位脉冲即δ函数时，这个像场分布函数叫做点扩散函数或脉冲响应透镜的脉冲响应就等于透镜孔径的夫琅禾费衍射图样，其中心位于理想像点()0~,~y x 处 透镜的点扩散函数表达式为：()()()()[]{}y d x d y y y x x xj y d x d P My y x x h i iiii i ~~~~~~2exp ~,~~,~0000-+--=--⎰⎰∞∞-πλλ相干传递函数：在频域中用()i i y x h ,的频谱函数()ηξ,H 来描述系统的成像特性，()ηξ,H 称为衍射受限系统的相干传递函数（CTF ） 光学传递函数：()ηξ,称为非相干成像系统的光学传递函数（OTF ），它描述非相干成像系统在频域的效应分辨率是评判系统成像质量的一个重要指标。