C2.4.4 偶极子
物理背景 点源点汇无限接近(δ→0)形成的流场。 （偶极矩M = Qδ= 常数，源→汇）
当偶极子位于原点 M cos
vr 2 r2 M sin
v 2 r2
M
2
cos
r
M
2
x x2 y2
M
2
sin
r
M
2
y x2 y2
等势线Φ=C 流线 Ψ=C
x
1 2C
2
y2
1 4C 2
Ursin
Q 2
(a)
（2）速度分布式为
Urcos
Q 2
lnr
(b)
vr
r
Ucos
Q 2 r
(c)
v
1 r
Usin
(d)
（3）流线方程为
Ursin
Q 2
C
(e)
C 取不同值代表不同流线。其中通过駐点的流线的一部分为该流场绕流 物体的轮廓线，即物面流线。
[例C2.4.4] 兰金半体绕流：均流+点源(2-2)
C2.2 一般概念
C2.1 引言(工程背景) C2.2 一般概念
1. 欧拉运动方程 （无粘）
v t
v
v
f
p
兰姆—葛罗米柯方程 （无粘)
2. 欧拉积分（无粘、无旋 正压、重力 、定常）
v
t
v2 2
v v
f
p
v2 gz
2
dp 常数
(全流场）
伯努利积分（无粘、无旋 不可压、重力、定常）
（4）物面流线的左半支是负x轴的一部分（θ=π），驻点A（-b,0）由
下式决定
vr,
( Ucos
Q
2 r
)
U
Q
2 b
0
b
Q
2 U
通过驻点A（-b,0）的右半部分物面流线由A点的流函数值决定
Ur
sin
Q
2
A,
Q 2
流线方程为
r
Q
2U
sin
b( sin
)
(g)
物面流线及部分流线如右上图所示，右半部分所围区域称为兰金(Rankine)
u U ,v 0
Ux Urcos Uy Ursin
u Ucos ,v Usin
U xcos ysin U ycos xsin
C2.4.2 点源与点汇
C2.4.2 点源与点汇
物理背景 点源（Q > 0）：流体从一点均匀地流向各方向; 点汇（Q < 0）：流体从各方向均匀地流入一点。
半体，在无穷远处θ→0和2π，物面流线的两支趋于平行。由（g）式可
确定两支距x轴的距离分别为
y0 (rsin ) 0,2 [b( )] 0,2 b
x2
y
1 2C
2
1 4C 2
[例C2.4.4] 兰金半体绕流：均流+点源(2-1)
已知: 位于原点的强度为Q（Q＞0）的点源与沿x方向速度为U的Байду номын сангаас流叠
加成一平面流场。 求： （1）流函数与速度势函数；（2）速度分布式；（3）流线方程；
（4）画出物面流线及部分流线图。
解：（1）流函数与速度势函数的极坐标形式分别为
v x
u y
0
存在速度势Φ
2 i 0
平面势流
平面流
u
x
,v
y
u
y
,v
x
不可压缩
u x
v y
0
存在流函数Ψ
2 0
2 i 0
• 挑选一些基本解φi(ψi)，叠加后若满足边界条件即是所求之解。
C2.4.1 均流
C2.4.1 均流
物理背景 全流场以等速( U )做平行直线流动
速度分布 势函数 流函数
v2 2
gz
p
常数
（全流场）
C2.2 一般概念(2-2)
3. 斯托克斯定理 （封闭曲线、涡束）
开尔文定理 （无粘、正压、有势力）
蜒l v dr A ndA
d
0 （沿封闭流体线） dt
[例C2.2.2] 有自由面的势涡：无旋流伯努利方程
已知: 涡量处处为零的涡旋运动称为势涡（参见C2.4.3），速度分布为 v=v0=C/r，C为常数，r为径向坐标。
和第二、四象限角平分线为渐近线的双曲线族，如上图中的虚线所示。
[例C2.3.2] 90°角域流的速度势和流函数(2-2)
（2）再计算速度散度
v
u x
v y
k
k
0
说明该流场是不可压缩平面流动，存在流函数 Ψ(x,y)，由（C2.3.11）式
y
u kx,
kxy g(x)
x
ky g'(x) v ky,
v u v 0
x y
u ,v=
y
x
Ψ=C (流线）, QAB B A 流线与等势线正交
[例C2.3.2] 90°角域流的速度势和流函数(2-1)
已知: 90°角域流的速度分布式为：u=kx,v=－ky（k为常数）。
求：（1）判断该流场是否存在速度势，若存在请确定其形式并画等势线图； （2）判断该流场是否存在流函数。若存在请确定其形式并画流线图；
求： 若势涡具有自由面（例如河中的水旋，见图）， 试确定自由面方程。
解： 势涡流场为无旋流场，伯努利方程在全流 场成立，在任意高度的两点上流体微元的总能量 守恒。设自由面的水平边界渐近线为z=z 0，渐近线 的无穷远点与自由面上的任意点有关系式
v2 2
gzs
ps
v02 2
gz0
p0
在水平边界上r0→∞，v0=c/r0→0；且在自由面上，ps=p0，由上式可得
g'(x) 0,
g(x) C
上式中C为常数，流函数为
k x y C (b)
流线方程为xy=常数，在 xy平面上是分别以 x, y轴为渐近线的双曲线族，如 上图中的实线所示。x, y轴也是流线，称其为零流线。流线族与等势线族正 交。
C2.4 平面势流与基本解
C2.4 平面势流与基本解
无旋流
2 0
v2 2
gzs
gz0
将v=C/r代入上式可得自由面方程为旋转双曲线方程
z0
zs
C2 2gr2
C2.3 速度势与流函数
C2.3 速度势与流函数
名称 :
势函数Φ(x,y)
条件:
无旋流
引入: 定义: 等值线:
v u
0
z x y
u ,v= x y
Φ=C (等势线)
性质: 等势线与速度垂直
流函数Ψ(x,y) 平面不可压缩
当源汇位于原点O
vr
Q
2 r
v 0
Q lnr 2
Q 2
当源汇位于A点
Q
2
lnr1
Q
2
1
C2.4.3 点涡
C2.4.3 点涡 物理背景 与平面垂直的直涡线（强度为Γ）诱导的流场。
当点涡位于原点O
vr 0
v
2 r
2
lnr 2
当点涡位于A点
2
1
2
lnr1
C2.4.4 偶极子
解：（1）先计算速度旋度
v x
u y
0
说明流场是无旋的，存在速度势φ(x, y)，由（C2.3.2）式
x
u kx,
1 2
kx2
f (y)
y
f
' ( y)
v
ky,
f
(
y)
1 2
ky2
C
上式中C为常数。速度势函数为
1 2
k
(x2
y2)
C
(a)
等势线方程为x2－y2=常数，在xy平面上是分别以第一、三象限角平分线