(f)
讨论： （1）速度分布式(f)与用动量方程求得的(C3.4.6a)式相同；
（2）若考虑更一般的情况，沿斜直管（水平夹角为α）的流动， 并仍取管轴为z 轴，重力在z 方向也有分量：ρg sinα=常数， 重力在z 方向的分量的作用与压强梯度的作用相似。
C3.4.2 泊肃叶定律(2-1)
C3.4.2 泊肃叶流动


x
u
u x

v
u y

w
u z




p x


2u

( u 'u

x
')

( u 'v ')
y

( u ' w')
z

上式称为不可压缩流体湍流时均值运动方程或雷诺方程。与层流
N-S方程相比多了三项 。湍流中的应力矩阵为
p
P


p

(b)
z:
0


p z


[1r
r
(r
vz r
)]
(c)
[例C3.4.1] 圆管定常层流：N－S方程精确解(3-2)
由(a)式积分得
p g rsin f ( ,z)
上式中f 为任意函数，将上式代入(b)式得
0


g
cos


gcos

1 r
f

,
f
已知: 中轴的直径为d = 80 mm，b = 0.06 mm，l = 30 mm，n = 3600转/分
润滑油的粘度系数为μ= 0.12 Pa·s 求: 空载运转时作用在轴上的 (1) 轴矩Ts ；
(2) 轴功率。 解： (1)由于b << d 可将轴承间隙内的周向流 动简化为无限大平行平板间的流动。
在轴线上τ＝0 ，在壁面上最大值
w

G 2
R
2. 速度分布
由牛顿粘性定律和斯托克斯公式
du G r dr 2
u G r2 C
4
由边界条件r＝R时，u＝0 ，得 C G R2
4
速度分布式为
u G (R2 r2)
4
轴线最大速度为
um

G
4
R2
[例C3.4.1] 圆管定常层流：N－S方程精确解(3-1) 已知: 粘度为μ的不可压缩流体在半径为R的水平直圆管中作定常流动。 求: 用柱坐标形式的N-S方程推导速度分布式。
0
0

( u t

u
u x

v
u y
)

f
x

p x


(
2u x2

2u y 2
)
0 00
0
00
( v
t

u
v x

v
v y
)


fy

p y

( 2v
x2

2v y2
)
简化得：
p x


d2u dy2
,
p 0 y
第二式表明压强与y无关（截面上均布），仅是x的函数。 第一式左边与y无关，右边与x无关，只能均为常数。

0.12 36000.08 60 0.03103

6 104
(N/m2 )
(2) 转动轴所化的功率为
Ts
wA
d 2
w
dl
d 2

6 104

0.082
0.03 /
2
18.1 (N
- m)
作用在轴上的转矩为力Fx
Ws
Ts

Ts
2 n
60
Ts
C3.3.1 平板泊肃叶流动(4-3)
可得
d2u dy2

1

dp dx
常数
积分得
u

1
2
dp dx
y2
C1y
C2
边界条件： 1．速度分布
y = 0，u = 0，C2= 0
y
=
b，u
=
0，C1


1
2
dp dx
b
u 1 dp ( y2 by)
2 dx
最大速度
um

b2
8
求: (1) 被测液体的粘度； (2)设ρ=1055 kg/m3，校核Re数。
解： (1)由泊肃叶公式


GR4

p d4

8Q
8Q l 16

2070 (0.5103)4
128 3.97 109 0.2

4 103
(Pa s)
(2)校核Re数
Re

Vd

4 Q d

41055 3.97 109
0.5103 4103

2.7

2300
C3.5.1 湍流与湍流切应力(5-1)
C3.5 圆管湍流流动 C3.5.1 湍流与湍流切应力
湍流
特性
输运特性
表达法
结构特性 体均法 时均法
随机性 掺混性 涡旋性 小尺度随机运动 大尺度涡旋场 拟序结构
(2)过渡区 l ~ t (3)湍流核心区：u 分布均匀,l ~ 0 ;雷诺应力占主导。
实验证实粘性底层和过渡区占的比例很小，常可忽略不计。 用湍流核心区的速度分布代表圆管流动。
C3.5.1 湍流与湍流切应力(5-4)
4. 计算雷诺应力的混合长度理论：
u v l du dy
2
t

uv
解： 设轴向坐标为z ，建立柱坐标系(r,θ, z )如
图所示。设vr = vθ= 0，由连续性方程可得
vz 0 z
解得vz = vz (r)；重力在z轴方向分量为零，N-S方程在柱坐标系中的分量式
为附录中C所列，化简后可得
r:
0


gsin

p r
(a)
θ:
0


gcos

1 r
0
0
0 p 0
0 0



yxx
p zx
xy y zy

xz yz





uu vu
z wu
uv vv wv
uw

vw ww
dp dx
C3.3.1 平板泊肃叶流动(4-4)
2. 切应力分布
du dp ( y b )
dy dx 2
切应力沿y方向为线性分布， 在壁面达最大值
w

b 2
dp dx
3. 流量
Q
b
udy
b
1
dp
y2 by dy
b3
dp
0
0 2 dx
12 dx


0
可见 f 仅是z 的函数，取截面平均压强，其梯度可写成 ddpz。由(c)式
1 r
r
(
r
vz r
)

1
dp dz
(d)
(d)式左边仅是r 的函数，右边仅是z 的函数，只有均等于常数才能相等,
dp/dz保持常数。(d)式积分两次可得
vz

1 4
dp dz
r
2

C1lnr

C2
(e)
轴承固定, 而轴以线速度U=ωd /2运动, 带动润滑油作纯剪切流动, 即简 单库埃特流动。间隙内速度分布为
uU y b
[例C3.3.2] 圆柱环形缝隙中的流动：库埃特流(2-2) (1) 作用在轴表面的粘性切应力为
w


du dy

U b

2 n d 1 60 2 b

nd 60b

F


p x
dx
r2

2
rdx

0
dp 2
dx r
p仅与x 有关, τ与x 无关. 只有均为常数才相等. 令比压降为 G p dp 常数 l dx
1 dp r G r
2 dx 2 上式称为斯托克斯公式，说明切应力沿径向线性分布。
C3.4.1 用动量方程求解速度分布(2-2)
4. 平均速度
V

Q b

b2
12
dp dx

2 3
um
C3.3.2 平板库埃特流(2-1)
C3.3.2 平板库埃特流动
在平板泊肃叶流上再增加上板以U 运动条件，方程不变。
1. 速度分布
u

1
2
dp dx
y2
C1y
C2
y 0,u 0, C2 0
U b dp
yb,
u U

l2

du dy


t
du dy
定义湍流粘度
t
l2
du dy
定义湍流Hale Waihona Puke 动粘度vtt
l2
du dy
C3.5.2 圆管湍流速度分布
C3.5.2 圆管湍流速度分布
1. 湍流对数律 根据量纲分析、普朗特混合长度理论和尼古拉兹的实验结