高考函数问题专题复习高职考考点归纳：1. 映射一般地，设B A 、是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合A 到集合B 的映射，记作：B A f →:。

注：理解原象与象及其应用。

（1）A 中每一个元素必有惟一的象；（2）对于A 中的不同的元素，在B 中可以有相同的象； （3）允许B 中元素没有原象。

2. 函数（1） 定义：函数是由一个非空数集到时另一个非空数集的映射。

（2） 函数的表示方法：列表法、图像法、解析式法。

注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。

3. 函数的三要素：定义域、值域、对应法则（1） ∆定义域的求法：使函数（的解析式）有意义的x 的取值范围 主要依据： ① 分母不能为0 ② 偶次根式的被开方式≥0 ③ 特殊函数定义域0,0≠=x x yR x a a a y x ∈≠>=),10(,且 0),10(,log >≠>=x a a x y a 且)(,2,tan Z k k x x y ∈+≠=ππ（2） ∆值域的求法：y 的取值范围① 正比例函数：kx y = 和 一次函数：b kx y +=的值域为R② 二次函数：c bx ax y ++=2的值域求法：配方法。

如果x 的取值范围不是R 则还需画图像③ 反比例函数：xy 1=的值域为}0|{≠y y④ d cx b ax y ++=的值域为}|{c ay y ≠⑤ cbx ax nmx y +++=2的值域求法：判别式法⑥ 另求值域的方法：换元法、反函数法、不等式法、数形结合法、函数的单调性等等。

（3） 解析式求法：在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。

4. 函数图像的变换 （1） 平移)()(a x f y a x f y -=→=个单位向右平移 )()(a x f y a x f y +=→=个单位向左平移a x f y a x f y +=→=)()(个单位向上平移 a x f y a x f y -=→=)()(个单位向下平移（2） 翻折)()(x f y x x f y -=→=上、下对折轴沿 |)(|)(x f y x x f y =→=下方翻折到上方轴上方图像保留)||()(x f y y x f y =→=右边翻折到左边轴右边图像保留5. 函数的奇偶性（1） 定义域关于原点对称（2） 若)()(x f x f -=-→奇 若)()(x f x f =-→偶 注：①若奇函数在0=x 处有意义，则0)0(=f ②常值函数a x f =)(（0≠a ）为偶函数 ③0)(=x f 既是奇函数又是偶函数 6. ∆函数的单调性对于],[21b a x x ∈∀、且21x x <，若⎩⎨⎧><上为减函数在称上为增函数在称],[)(),()(],[)(),()(2121b a x f x f x f b a x f x f x f 增函数：x 值越大，函数值越大；x 值越小，函数值越小。

减函数：x 值越大，函数值反而越小；x 值越小，函数值反而越大。

复合函数的单调性：))(()(x g f x h =)(x f 与)(x g 同增或同减时复合函数)(x h 为增函数；)(x f 与)(x g 相异时（一增一减）复合函数)(x h 为减函数。

注：奇偶性和单调性同时出现时可用画图的方法判断。

7. 二次函数（1）二次函数的三种解析式①一般式：c bx ax x f ++=2)(（0≠a ）②∆顶点式：h k x a x f +-=2)()( （0≠a ），其中),(h k 为顶点③两根式：))(()(21x x x x a x f --= （0≠a ），其中21x x 、是0)(=x f 的两根 （2）图像与性质∆ 二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质：① 开口 →>0a 开口向上 →<0a 开口向下 ② ∆对称轴：ab x 2-= ③ ∆顶点坐标：)44,2(2ab ac a b -- ④ ∆与x 轴的交点：⎪⎩⎪⎨⎧→<∆→=∆→>∆无交点交点有有两交点0100⑤ 一元二次方程根与系数的关系：（韦达定理）∆⎪⎩⎪⎨⎧=⋅-=+a cx x a b x x 2121⑥ c bx ax x f ++=2)(为偶函数的充要条件为0=b ⑦ 二次函数（二次函数恒大（小）于0）⇔>0)(x f ⎩⎨⎧⇔<∆>轴上方图像位于x a 0轴下方图像位于x a x f ⇔⎩⎨⎧<∆<⇔<000)(⑧ 若二次函数对任意x 都有)()(x t f x t f +=-，则其对称轴是t x =。

⑨ 若二次函数0)(=x f 的两根21x x 、 ⅰ. 若两根21x x 、一正一负 则⎩⎨⎧<≥∆0021x xⅱ. 若两根21x x 、同正（同负）⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆0002121x x x x 若同正，则 ⎪⎩⎪⎨⎧><+≥∆0002121x x x x 若同负，则ⅲ.若两根21x x 、位于),(b a 内，则利用画图像的办法。

则若,0>a ⎪⎩⎪⎨⎧>>≥∆0)(0)(0b f a f 则若,0<a ⎪⎩⎪⎨⎧<<≥∆0)(0)(0b f a f注：若二次函数0)(=x f 的两根21x x 、；1x 位于),(b a 内，2x 位于),(d c 内，同样利用画图像的办法。

8. 反函数（1）函数)(x f y =有反函数的条件y x 与是一一对应的关系（2）求)(x f y =的反函数的一般步骤：①确定原函数的值域，也就是反函数的定义域 ②由原函数的解析式，求出⋯=x③将y x ,对换得到反函数的解析式，并注明其定义域。

（3） ∆原函数与反函数之间的关系 ① 原函数的定义域是反函数的值域 原函数的值域是反函数的定义域② 二者的图像关于直线x y =对称③ 原函数过点),(b a ，则反函数必过点),(a b ④ 原函数与反函数的单调性一致指数函数与对数函数：1. 指数幂的性质与运算 （1）根式的性质：①n 为任意正整数，nn a )(a =②当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，||a a n n = ③零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。

（2） 零次幂：10=a )0(≠a （3） 负数指数幂：n n aa 1=- ),0(*N n a ∈≠ （4） 分数指数幂：n m nm a a= )1,,0(>∈>+n N n m a 且（5） 实数指数幂的运算法则：),,0(R n m a ∈> ①nm nmaa a +=⋅ ②mnn m aa =)( ③nn n b a b a ⋅=⋅)(2. 幂运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一个数的n 次方。

3. ∆幂函数⎩⎨⎧∞+=<∞+=>=）上单调递减，在（时，当）上单调递增，在（时，当0000aa ax y a x y a x y 4. 指数与对数的互化b N N a a b =⇔=log )10(≠>a a 且 、 )0(>N5. 对数基本性质：①1log =a a ②01log =a ③N aNa =log ④N a N a =log∆⑤互为倒数与a b b a log log ab a b b a b a log 1log 1log log =⇔=⋅⇔∆⑥b mnb a n a m log log =6. 对数的基本运算：∆N M N M a a a log log )(log +=⋅ N M NMa a alog log log -= 7. ∆换底公式：aNN b b a log log log =)10(≠>b b 且8. ∆指数函数、对数函数的图像和性质 指数函数 对数函数定 义 )1,0(的常数≠>=a a a y x )1,0(log 的常数≠>=a a x y a图 像性 质(1) 0,>∈y R x (2)∆ 图像经过)1,0(点 （3）∆为减函数为增函数；xx a y a a y a =<<=>,10,1 (1) 0,>∈y R x (2) ∆图像经过)0,1(点 （3）∆上为减函数在上为增函数；在),0(log ,10),0(log ,1+∞=<<+∞=>x y a x y a a a9. 利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性比较两个数的大小，将其变为同底、同幂（次）或用换底公式或是利用中间值0，1来过渡。

10. 指数方程和对数方程（1） 指数式和对数式互化 （2） 同底法 （3） 换元法 （4） 取对数法（5） ∆超越方程（作图法）注：∆解完方程要记得验证根是否是增根，是否失根。

一、函数基础题1、在下列四个函数中，定义域为{x ︱x ∈R 且x ≠0}的函数是 ( )A. xy sin 1= B. 23-=xy C. 23x y = D.x y lg =2、设23433=x ,则x= ( ) A.3 B.9 C.893 D.4933、函数y=3x 与xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=31的图象之间的关系是 ( ) A.关于原点对称 B.关于x 轴对称 C.关于直线y=1对称 D.关于y 轴对称 4、函数f(x)=x ︱x ︱是 ( ) A.偶函数，又是增函数 B.偶函数，又是减函数 C.奇函数，又是增函数 D.奇函数，又是减函数5、设函数f(2x)=㏒3(8x 2+7),则f(1)= ( ) A.2 B.㏒3 39 C. 1 D.㏒3 156、设4524log =x ，则x 等于 ( ) A.2 B.2 C. 21D.47、函数21])12lg([-=xy 的定义域是 ( )A.(0, +∞)B.(1,+ ∞)C.[0,+∞)D.[1,+ ∞)8、已知函数f(x)=log 2(ax+b)，f(2)=2,f(3)=3,则 ( ) A.a=1,b= -4 B.a=2,b= -2 C.a=4,b=3 D.a=4,b= -49、函数y=x 2+2x 与y=x 2-2x 的图象 ( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于x 轴和y 轴都不对称10、已知关于x 的方程x 2+ax -a=0有两个不等的实根，则 ( ) A.a ＜-4或a ＞0 B.a ≥0 C.-4＜a ＜0 D.a ＞-411、函数y=x 2-x 和y=x -x 2的图象关于 ( ) A.坐标原点对称 B.x 轴对称 C.y 轴对称 D.直线y=x 对称 12、函数xxy -+=11log 2( ) A.是偶函数 B.既是奇函数，又是偶函数 C.是奇函数 D.既不是奇函数，也不是偶函数13、关于x 的方程x 2-(a+3b)x-2b=0的两根之和为8，两根之积为-4，则 ( ) A.a=-2,b=-2 B.a=-2,b=2 C.a=2,b=-2 D.a=2,b=214、设x,y 为实数，则x 2=y 2的充分必要条件是 ( )A.x=yB.x=-yC.x 3=y 3D.|x|=|y|15、点（2，1）关于直线y=x 的对称点的坐标为 ( ) A.(-1,2) B.(1,2) C.(-1,-2) D.(1,-2)16、函数1313)(+-=x x x f ( )A.是偶函数B.是奇函数C.既是奇函数，又是偶函数D.既不是奇函数，也不是偶函数 17、使函数21)(x x f =为增函数的区间是 ( ) A.(0,+∞) B.(-∞,0) C.(- ∞,+ ∞) D.(-1,1)18、设a=log 0. 5 6.7,b=log 24.3,c=log 25.6，则a,b,c 的大小关系为 ( ) A.b ＜c ＜a B.a ＜c ＜b C.a ＜b ＜c D.c ＜b ＜a 19、如果指数函数y=-a x 的图象过点（3，-81），则a 的值为 ( ) A.2 B.-2 C.21- D.2120、使函数y=log 2(2x-x 2)为增函数的区间是 ( )A. [1,+∞)B.[1,2)C.(0,1]D.(-∞,1]21、函数2655)(xx f x x +-=- ( )A.是奇函数B.是偶函数C.既是奇函数，又是偶函数D.既不是奇函数，也不是偶函数22、设甲：x>3，乙：x>5,则 ( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充分必要条件D.甲不是乙的必要条件,也不是乙的充分条件 23、点P （3，2）关于y 轴的对称点的坐标为 ( ) A.（3，-2） B.（-3， 2） C.（0，2） D.（-3，-2）24、设log 32=a ，则log 29等于 ( ) A.a 1 B.a 2 C.223a D.232a 25、函数)(x f y =在[a ，b]上单调，则使得)3(+=x f y 必为单调函数的区间是( )A.[a ，b+3]B.[a+3，b+3]C.[a-3，b-3]D.[a+3，b] 26、已知3104log )2(2+=x x f ，则)1(f 等于 ( ) A.314log 2 B.21 C.1 D.227、下列函数中为偶函数的是 ( )A.y=cos(x+1)B.y=3xC.y=(x -1)2D.y=sin 2x28、函数x y 21-=的定义域是 ( ) A.),(+∞-∞ B.),0[+∞ C.),0(+∞ D.]0,(-∞＊33、若函数),31(26log )(4>-=x x x f 则=)1(f ( )A.21 B. 41C.2D.4 34、偶函数)(x f 在(﹣∞,0)上是减函数,那么 ( ) A.)2()3()1(f f f <<- B.)3()2()1(f f f <<- C.)1()3()2(-<<f f f D.)1()2()3(-<<f f f35、点M(1,﹣1)关于点N(3,2)的对称点M ′的坐标是 ( ) A.(5,5) B.(4,1) C.(6,4) D.(5,4)36、若函数)(x g y =的图象与xy ⎪⎭⎫⎝⎛=31的图象关于直线x y =对称,则=)(x g ( )A.x 3logB.﹣x 3logC.x 3D.x -3 37、函数)11(11lg)(<<-+-=x xx x f 是 ( )A.奇函数且是增函数B.奇函数且是减函数C.非奇非偶的增函数D.非奇非偶的减函数 *38、实系数方程012222=-++a ax x 有两个相异正实根的充分必要条件是 ( ) A.22>a B.122<<a C.122<<a D.221-<<-a39、3121125.0)9.3(94-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=________.40、函数y=log 2(6-5x-x 2)的定义域是_______ _____.41、若2441=⎪⎭⎫⎝⎛x,则x=__________.42、已知2log 3=x ，则x=__________.43、函数232x x y +-=的定义域是_____ _______. 44、设x 1和x 2为x 2+8x+7=0的两个根，则(x 1-x 2)2=____ ______. 45、函数)34(log 31-=x y 的定义域是__ ___________.46、设x 1和x 2为方程x 2+ax+b=0 (a ＞0)的两个根，且x 12+x 22=4,x 1x 2=32，则a 等于______ ___. 47、函数212-=x y 的定义域是__ ___________. 48、已知函数b x x f +=3)(的图象与函数13)(-=xx g 的图象关于直线x y =对称,则b 的值等于 . 49、函数)0()11)(4(>++=x xx y 的最小值等于 .二、二次函数及其应用50、二次函数y=x 2+4x+1的最小值是 ( ) A.1 B.–3 C. 3 D. –451、二次函数y=-x 2+4x-6的最大值是 ( ) A.-6 B.-10 C.-2 D.252、设函数f(x)=(m -1)x 2+2mx+3是偶函数，则它在 ( ) A.区间（-∞，+∞）是增函数 B.区间（-∞，+∞）是减函数 C.区间[0，+∞)是增函数 D.区间(-∞，0]是增函数53、设函数f(x)=2ax 2+(a -1)x+3是偶函数，则a 等于 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.254、点P （0，1）在函数y=x 2+ax+a 的图象上，则该函数图象的对称轴方程为 ( ) A.x=1 B.21=x C.x=-1 D.21-=x 55、函数y= -x(x -1) ( ) A.有最小值1 B.有最小值-1 C.有最大值41 D.有最大值41- 56、函数3212-+=x x y 的最小值为 ( ) A.25- B.27- C.-3 D.-457、已知二次函数的图象以点（1，3）为顶点，并通过点（2，5），则此二次函数的解析式为y=_______________.三、函数综合题58、（8分） 计算 327232271343log 21125--⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+59、(8分) 计算 ()02211sin )613sin(256log 259--++⎪⎭⎫⎝⎛-π60、（9分）实数m 取何值时，关于x 的方程x 2+（m －2）x －(m+3)=0的两根的平方和最小？并求出该最小值.61、(8分) 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象过点（1，-12），且它的顶点为（-1，-16），求a,b,c 的值.62、(9分) 已知二次函数f(x)=ax 2+bx+c 的图象C 与x 轴有两个交点，它们之间距离为6，C 的对称轴方程为x=2,且f(x)有最小值-9，求（ⅰ）a,b ,c 的值； （ⅱ）如果f(x)不大于7，求对应x 的取值范围.64、(11分) 假设两个二次函数的图象关于直线x=1对称，其中一个函数的表达式为y=x 2+2x -1，求另一个函数的表达式.65、(11分) 已知二次函数y=x 2+bx+3的图象与x 轴有两个交点，且这两个交点间的距离为2，求b 的值.附：参考答案(一)39.323 40. （-6，1） 41.45-42.81 43.{x ︱x ≤1或x ≥2} 44.36 45.]1,43( 46.33447. [-1,+∞] 48.3 49.9 50-56.BCDCD CB57.y=2x 2 -4x+5 58.23 59.61860.当m=1时，最小值为9 61.a=1,b=2,c= -15 62.(1) a=1,b= -4,c= -5 ; (2) -2≤x≤6 63.253+=a 64.y=x 2-6x+7 65.b=±4。